Pour caract´eriser une impulsion, une premi`ere approche consiste `a ´evaluer la largeur spectrale et la dur´ee de l’impulsion. La largeur spectrale est d´etermin´ee `a partir de l’in- tensit´e spectrale (Eq 1.28), la dur´ee `a partir de l’intensit´e temporelle (Eq. 1.29). Dans cette th`ese, trois d´efinitions diff´erentes de ces largeurs ont ´et´e utilis´ees : la largeur `a mi- hauteur (la plus usit´ee dans la litt´erature), la largeur `a 1/e et la largeur rms (Eq. 1.58). La figure 1.4 illustre ces trois d´efinitions dans le cas d’une impulsion gaussienne de largeur `
a mi-hauteur ∆λ∼ 132 nm centr´ee `a 800 nm et de phase spectrale nulle, d´ej`a utilis´ee en figure 1.3.b. (a) 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 pulsation (rad fs−1) Intensité (u.a.) ω0 ∆λ∼ 132 nm ∆λ1/e∼ 159 nm ∆ω = 0.39 rad fs−1 ∆ω1/e∼ 0.46 rad fs−1 σ5.9radfs−1∼ 0.16 rad fs−1 (b) −20 −10 0 10 20 0 0.5 1 Temps (fs) Intensité (u.a.) ∆t∼ 7.2 fs ∆t1/e∼ 8.6 fs σ21.4ps∼ 3.1 fs
Figure 1.4 – (a) Intensit´e spectrale d’une impulsion gaussienne de largeur `a mi-hauteur ∆λ ∼ 132 nm (ou ∆ω = 0.39 radfs−1) et de phase spectrale nulle, ω0 correspond `a la
pulsation centrale, ∆ω1/e et ∆λ1/e aux largeurs `a 1/e respectivement en pulsation et en
longueurs d’onde, σ5.9 rad fs−1 `a la largeur rms o`u 5.9 rad fs−1 correspond `a l’intervalle
sur lequel le calcul a ´et´e effectu´e. (b) Intensit´e temporelle correspondante, ∆t largeur `a mi-hauteur, ∆t1/e largeur `a 1/e et σ21.4ps largeur rms o`u 21.4 ps correspond `a l’intervalle
sur lequel le calcul a ´et´e effectu´e.
1.2.1
D´efinitions
• Largeur `a mi-hauteur :
th`ese, elle sera toujours d´etermin´ee `a partir du centre de l’impulsion7. ∆t d´esignera la largeur `a mi-hauteur dans le domaine temporel, ∆ω la largeur `a mi-hauteur dans le do- maine spectral.
• Largeur `a 1/e :
Il s’agit de la largeur `a 1/e de l’intensit´e. Elle sera toujours d´etermin´ee `a partir du centre de l’impulsion et sera not´ee ∆t1/e dans le domaine temporel et ∆ω1/e dans le domaine
spectral.
• Largeur rms :
La largeur rms se d´efinit comme le moment d’ordre 2 pond´er´e par l’intensit´e (Eq. 1.58). Elle sera not´ee σt dans le domaine temporel et σω dans le domaine spectral.
σt = v u u t R+∞ −∞(t− τ0)2|E(t)|2dt R+∞ −∞ |E(t)|2dt σω = v u u t R+∞ −∞(ω− ω0)2|E(ω)|2 dω2π R+∞ −∞ |E(ω)|2 dω2π (1.58)
On dit qu’une impulsion est limit´ee par transform´ee de Fourier lorsque, pour un spectre donn´e, la dur´ee de l’impulsion est la plus petite possible.
1.2.2
Produit ”temps-fr´equence” (Time Bandwidth Product, TBP)
Le champ ´electrique exprim´e dans le domaine temporel est reli´e au champ ´electrique dans le domaine spectral par une transform´ee de Fourier. Largeur spectrale et dur´ee d’une impulsion ne sont donc pas deux grandeurs ind´ependantes (quelle que soit la d´efinition choisie pour exprimer ces grandeurs). Ainsi la largeur spectrale rms et la largeur temporelle rms v´erifient l’in´egalit´e 1.598. L’´egalit´e est obtenue pour une impulsion gaussienne limit´ee par transform´ee de Fourier. Il s’agit donc de l’impulsion qui prend ”le moins de place” dans les deux domaines (temporel et spectral).
σtσω ≥
1
2 (1.59)
Nous notons T BP le produit de la largeur spectrale par la dur´ee de l’impulsion. Ainsi : T BPF W HM = ∆t∆ω, T BP1/e = ∆t1/e∆ω1/e, T BPrms = σtσω. Pour un spectre donn´e,
ce produit renseigne sur la complexit´e de l’impulsion ie sur le rapport de la dur´ee de
7. La largeur `a mi-hauteur peut aussi ˆetre d´etermin´ee en partant des extr´emit´es de l’intervalle consi- d´er´e. Elle est alors tr`es sensible `a la pr´esence de plusieurs pics d’amplitude sup´erieure `a 0.5 (du maximum de l’intensit´e).
l’impulsion sur la largeur de la plus petite structure pr´esente dans l’impulsion9. Plus le produit TBP est grand, plus l’impulsion est complexe. En l’absence de phase d’ordre 2 (section 1.3), le produit TBP peut donner directement le nombre de structures fines ou pics pr´esents dans l’impulsion [12]. Pour une forme de spectre donn´e, l’impulsion limit´ee par transform´ee de Fourier correspond `a la valeur minimale du produit TBP. Cette valeur est donn´ee dans le tableau 1.1 pour chacune des trois formes de spectre suivantes : gaussienne, lorentzienne et s´ecante [9].
Forme du spectre T BPF W HM T BPrms
gaussienne 2.77 0.5 s´ecante hyperbolique 1.98 0.525
lorentzienne 0.89 0.7
Table 1.1 – Produit TBP pour des impulsions de forme de spectre gaussienne, lorent- zienne et s´ecante limit´ee par transform´ee de Fourier. T BPF W HM : produit des largeurs `a
mi-hauteur, T BPrms : produit des largeurs rms.
Consid´erons trois impulsions de forme de spectre respectivement gaussienne, lorent- zienne et s´ecante hyperbolique, de mˆeme largeur `a mi-hauteur ∆ω ∼ 0.18 rad fs−1 (∆λ∼ 60 nm), toutes les trois limit´ees par transform´ee de Fourier (Figure 1.5). Les largeurs spectrales rms sont par contre diff´erentes puisque la largeur rms prend en compte ce qui se passe dans les pieds de l’impulsion, ce qui n’est pas le cas de la largeur `a mi-hauteur. Ainsi : σωgauss ∼ 0.08 rad fs
−1 , σωlorentz ∼ 0.13 rad fs −1 , σωsec ∼ 0.1 rad fs −1 (´evalu´ee sur une fenˆetre de 8.8 rad fs−1). La largeur temporelle `a mi-hauteur peut ˆetre calcul´ee pour chacune de ces trois impulsions en utilisant le tableau 1.1. Elle est diff´erente pour cha- cune de ces trois impulsions : ∆tgauss = 15.7 fs, ∆tlorentz = 5.0 fs, ∆tsec = 11.2 fs (pour
∆ω∼ 0.177 rad fs−1).
La figure 1.5 illustre bien le fait que ce sont les pieds de chaque impulsion dans le do- maine spectral qui contribuent principalement `a la largeur `a mi-hauteur dans le domaine temporel. Plus la forme du spectre s’´etend dans les pieds de l’impulsion plus la largeur `
a mi-hauteur est petite dans le domaine temporel. Pour une mˆeme largeur spectrale `a mi-hauteur, l’impulsion de forme lorentzienne a donc une largeur temporelle plus petite que celles des deux autres formes spectrales. Par contre, la partie de chaque impulsion cor- respondant `a la largeur `a mi-hauteur dans le domaine spectral se retrouve dans les pieds de l’impulsion dans le domaine temporel. C’est pourquoi les trois impulsions semblent confondues dans les pieds de l’intensit´e temporelle (Figure 1.5.b).
9. La complexit´e de l’impulsion est not´ee η dans certains articles [11]. Elle est proportionnelle au produit TBP avec par exemple pour une gaussienne, η∼ T BPF W HM/4 ln 2.
(a) 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 0 0.5 1 pulsation (rad fs−1) Intensité (u.a.) ∆ω∼ 0.18 rad fs−1 ∆λ∼ 60 nm (b) −40 −20 0 20 40 0 0.5 1 Temps (fs) Intensité (u.a.) ∆t∼ 15.7 fs ∼ 11.2 fs ∼ 5 fs
Figure 1.5 – Intensit´e spectrale (a) et temporelle (b) de trois impulsions limit´ees par transform´ee de Fourier de formes de spectre diff´erentes et de mˆeme largeur spectrale `a mi-hauteur ∆ω ∼ 0.18 rad fs−1 (ou ∆λ ∼ 60 nm). En noir : une gaussienne, en bleu : une s´ecante hyperbolique, en rouge : une lorentzienne. ∆t, largeur temporelle `a mi-hauteur.
1.2.3
Limites des d´efinitions :
•Largeur `a mi-hauteur :
La largeur `a mi-hauteur d´efinie plus haut n’a pas de sens pour une impulsion pr´esentant une structure `a plusieurs pics de mˆeme amplitude ou d’amplitude sup´erieure `a la moiti´e du maximum de l’intensit´e (cas de la somme de deux impulsions de mˆeme amplitude d´e- cal´ees temporellement). Cette largeur ne prend pas en compte la structure de l’impulsion en dessous de la moiti´e du maximum de l’amplitude (par exemple la pr´esence de rebond sur l’intensit´e temporelle d’une impulsion `a phase spectrale cubique, section 1.3). Exp´eri- mentalement, elle est tr`es facile `a d´eterminer.
•Largeur `a 1/e :
Les mˆemes remarques s’appliquent `a la largeur `a 1/e en rempla¸cant la moiti´e du maximum de l’intensit´e par 1/e du maximum de l’intensit´e.
•Largeur rms :
D’un point de vue th´eorique, cette largeur est plus pertinente que la largeur `a mi-hauteur puisqu’elle prend en compte les pieds de l’impulsion. Elle est particuli`erement adapt´ee pour d´ecrire des impulsions complexes. En revanche exp´erimentalement elle est difficile `a ´
evaluer. En effet, sa d´efinition (Eq.1.58) montre que sa d´etermination n´ecessite de recons- truire l’intensit´e (spectrale ou temporelle) avec un contraste infini sur un support infini. Cette grandeur est donc ´evalu´ee exp´erimentalement sur un support fini avec le contraste maximum que la mesure utilis´ee permet. La largeur rms est alors d´ependante du contraste et de la largeur du support utilis´e. Pour que cette grandeur reste pertinente, nous l’utili- serons pour comparer une impulsion `a l’impulsion correspondante limit´ee par transform´ee de Fourier `a support et contraste donn´es.
Remarque : Pour une impulsion d’amplitude rectangle dans un domaine, la largeur rms n’est pas d´efinie dans le domaine associ´e par transform´ee de Fourier.
Dans cette th`ese, pour caract´eriser la largeur spectrale d’une impulsion, nous utilise- rons :
– la largeur `a mi-hauteur en longueur d’onde dans la plupart des cas,
– la largeur `a 1/e pour des spectres pr´esentant des modulations lentes d’amplitude. Pour caract´eriser la dur´ee de l’impulsion, nous utiliserons `a la fois la dur´ee `a mi-hauteur et la largeur rms.
La variance temporelle de l’impulsion σ2
t est reli´ee `a la variance temporelle de l’impul-
sion `a phase spectrale plate (ϕ = 0) par la relation 1.60 [10][8]. σt2 = σt2
ϕ=0+ σ
2
τg (1.60)
Pour un spectre donn´e, l’impulsion limit´ee par transform´ee de Fourier (la plus courte pos- sible) est obtenue pour ∆τg = 0 ie pour un retard de groupe ind´ependant de la pulsation.
De mˆeme la variance spectrale de l’impulsion σ2
ω est reli´ee `a la variance spectrale de
l’impulsion `a phase temporelle nulle (φ = 0) par la relation 1.61 [10][8]. σ2ω = σωφ=0+ σ
2
−dφdt = σωφ=0+ σ
2
ω(t) (1.61)
Pour un spectre donn´e, la largeur spectrale la plus courte est obtenue pour une pulsation instantan´ee ω(t) ind´ependante du temps. Lorsque la pulsation instantan´ee varie avec le temps, l’impulsion est dite `a d´erive de fr´equence positive lorsque la pente de la pulsation instantan´ee est positive et n´egative dans le cas contraire. L’introduction d’une phase temporelle variant de fa¸con non-lin´eaire avec le temps ´elargit donc spectralement une impulsion. Le ph´enom`ene d’automodulation de phase en est une illustration.