Analyse de la phase mesur´ ee Notations

La moyenne coeffs2D_m sur chaque coefficient d’ordre diff´erent est ensuite calcul´ee.

coeffs2D_m = 1 21 20 X j=0 coeffs2D_j

Apr`es soustraction du retard r´esiduel, la moyenne des 21 phases ∆ϕfj(x, ω) est calcul´ee

et on d´etermine la phase ∆ϕf(x, ω) :

∆ϕf(x, ω) = ϕsh(x, ω) (5.13)

5.1.6

Analyse de la phase mesur´ee - Notations

La comparaison des phases ∆ϕf(x0, ω) et ∆ϕf(x, ω) `a la phase φsh programm´ee (φsh =

0 pour l’exp´erience n◦1) et l’analyse des coefficients coeffsm et coeffs2Dm constituent deux

de la dispersion optique de l’AOPDF et celle de la g´en´eration de phases polynomiales. C’est pourquoi, ces deux approches sont appliqu´ees dans ce chapitre pour chaque phase φsh. Cette ´etude n´ecessite, cependant, une ´etape pr´eliminaire : la d´etermination de la

pr´ecision de mesure des phases ∆ϕf(x0, ω) et ∆ϕf(x, ω) et des coefficients coeffsm et

coeffs2D_m . Cette ´etape est d´etaill´ee ci-dessous.

D´etermination de la pr´ecision intrins`eque `a la mesure

Je d´efinis par pr´ecision intrins`eque d’une mesure, la valeur limite en-dessous de laquelle l’´ecart `a la phase programm´ee mesur´e ne peut pas ˆetre attribu´e `a l’AOPDF.

J’ai d´emontr´e dans le chapitre 4 que la pr´ecision de mesure de la diff´erence de phase en sortie d’interf´erom`etre est limit´ee par le contraste fini (pi´edestal + r´epliques) des im- pulsions utilis´ees. Une m´ethode de d´etermination de cette pr´ecision, bas´ee sur le calcul de l’interf´erogramme `a partir `a la fois des spectres mesur´es ind´ependamment sur chaque voie et de l’ajustement polynomial de la phase mesur´ee, a ´et´e ´egalement propos´ee. Cette m´ethode est adapt´ee, dans ce chapitre, pour estimer la pr´ecision de mesure de ∆ϕf(x0, ω),

∆ϕf(x, ω), coeffsm et coeffs2Dm . Comme cette pr´ecision d´epend de la largeur du filtre tem-

porel utilis´e pour isoler la composante AC (section 4.7) et que cette largeur est diff´erente pour chaque phase φsh programm´ee, cette pr´ecision sera d´etermin´ee pour chacune de ces

phases.

La proc´edure d’estimation de la pr´ecision de mesure des coefficients de Taylor coeffsm

et de ∆ϕf se d´ecompose en trois ´etapes. Elle repose sur la reconstruction de la phase

∆ϕf(x, ω), `a partir d’interf´erogrammes simul´es, par le mˆeme traitement que celui utilis´e

sur les interf´erogrammes exp´erimentaux (section 5.1.5).

• Etape 1 :

Il s’agit d’estimer la pr´ecision de reconstruction de la phase de r´ef´erence ϕref. Pour cela,

on calculera, dans le cas de l’exp´erience n◦1, le signal d’interf´erom´etrie spectrale associ´e `

a l’interf´erence de deux impulsions :

– de spectres ´egaux `a ceux mesur´es exp´erimentalement sur chaque voie de l’interf´ero- m`etre en l’absence d’AOPDF,

– de diff´erence de phase spectrale ´egale `a l’ajustement polynomial de ϕinterf ero,

– d´ecal´ees temporellement d’un retard τinterf ero.

Dans le cas de l’exp´erience n◦2, on calculera le signal d’interf´erom´etrie spectrale associ´e `

a l’interf´erence de deux impulsions :

– de spectres respectivement ´egaux `a ceux mesur´es exp´erimentalement sur chaque voie de l’interf´erom`etre pour une phase φcomp programm´ee avec l’AOPDF,

– de diff´erence de phase spectrale ´egale `a l’ajustement polynomial de ϕref = ϕinterf ero+

– d´ecal´ees temporellement d’un retard τ_{AOP DF}0 .

La diff´erence de phase utilis´ee pour calculer l’interf´erogramme est not´ee φsimu_ref . La phase reconstruite par le traitement expos´e dans la section 5.1.5 est not´ee ϕsimu_ref .

•Etape 2 :

Elle consiste `a estimer la pr´ecision de reconstruction de la phase Φj (j quelconque, Eqs 5.8

et 5.11). Pour cela, un nouvel interf´erogramme est calcul´e `a partir des spectres mesur´es ind´ependamment sur chaque voie pour une phase φcomp, une diff´erence de phase spectrale

Φsimu ´egale `a l’ajustement polynomial de Φj et un retard τAOP DF. Afin de prendre en

compte la d´ependance de l’efficacit´e de diffraction du dispositif avec la phase appliqu´ee et de reproduire le plus fid`element possible le rapport signal `a bruit et le contraste des franges obtenus exp´erimentalement, le spectre de la voie de mesure est multipli´e par un facteur correctif adapt´e `a chaque phase programm´ee. La phase reconstruite par le traite- ment expos´e dans la section 5.1.5 est not´ee Φrec_simu.

Enfin, la diff´erence ∆ϕsimu_f = Φrec_{simu− ϕ}simu_ref est calcul´ee et compar´ee `a la phase appli- qu´ee ∆φsimu_f = Φsimu− φrefsimu. On en d´eduit les ´ecarts rms σinterf ero et σinterf ero2D :

σinterf ero =

s

PNω−1

i=0 (∆ϕsimuf (x0, ωi)− ∆φsimuf (x0, ωi))2

Nω (5.14) σ_{interf ero}2D = s PNω−1 i=0 PNx−1 k=0 ∆ϕsimuf (xk, ωi)− ∆φsimuf (xk, ωi)
2 NxNω (5.15)

o`u Nω est le nombre de points suivant ω et Nx le nombre de points suivant x.

Les ajustements polynomiaux de ∆ϕsimu

f (x0, ω) et ∆ϕsimuf (x, ω) similaires `a ceux effectu´es

sur les donn´ees exp´erimentales (section 5.1.5) permettent de d´eterminer les coefficients de leur d´eveloppement de Taylor respectivement coeffssimu en ω0 et coeffs2Dsimu en ω0 et x0.

Ces derniers sont compar´es `a ceux de la phase initiale coeffssimu_ini et (coef f s)2Dsimu ini . Leur

pr´ecision de mesure est donn´ee par les ´ecarts relatifs interf ero_{coef f s} et interf ero_{coef f s2D} :

interf ero_{coef f s} = coeffs

simu

ini − coeffs simu

coeffssimu_ini (5.16) interf ero_{coef f s2D} = coeffs2D

simu

ini − coeffs2Dsimu

coeffs2Dsimu ini

(5.17)

Deux types d’analyses apportant des informations compl´ementaires sont effectu´es sur les phases exp´erimentales : une analyse en terme de coefficients de Taylor et une analyse en terme de phase r´esiduelle.

Analyse des phases exp´erimentales en terme de coefficients de Taylor

Le coefficient de Taylor d’ordre le plus ´elev´e de la phase φsh programm´ee est not´e

coeffsprog. La pr´ecision de g´en´eration de cette phase est caract´eris´ee par les ´ecarts re-

latifs coef f s et 2Dcoef f s avec les coefficients correspondant coeffsm et coeffs2Dm d´etermin´es

respectivement par l’analyse en x = x0 et sur l’ensemble du d´etecteur (section 5.1.5).

coef f s =

coeffsprog− coeffsm

coeffsprog

(5.18)

2D_{coef f s} = coeffsprog− coeffs

2D m

coeffsprog

(5.19)

Les pr´ecisions de d´etermination des coefficients coeffsm et coeffs2Dm sont donn´ees par les

grandeurs interf ero_{coef f s} (Eq. 5.16) et interf ero_{coef f s2D} (Eq. 5.17).

La pertinence des ajustements polynomiaux effectu´es sur ∆ϕfj(x0, ω) et ∆ϕfj(x, ω) est

caract´eris´ee par les ´ecarts rms σ_polyj (Eq. 4.12) et σ_poly2Dj (Eq. 4.39). Seules leurs moyennes σ_polym et σ_poly2Dm sont report´ees dans ce manuscrit.

σ_polym = 1 21 20 X j=0 σj_poly (5.20) σ_poly2Dm = 1 21 20 X j=0 σj_poly2D (5.21)

Bien que le fait de moyenner chaque grandeur sur 21 tirs limite l’effet des fluctuations tir `a tir de la phase sur la pr´ecision de mesure, il est int´eressant de les quantifier. Pour cela, on calcule les variations rms σcoeffs et σcoeffs2D associ´ees aux 21 coefficients coeffsj et

aux 21 coefficients coeffs2D_j .

σcoeffs = s P20 j=0(coeffj − coeffm)2 21 (5.22) σ_coeffs2D = s P20 j=0 coeffs 2D j − coeffs 2D m
2 21 (5.23)

Analyse en terme de phase r´esiduelle

La pr´ecision de g´en´eration de chaque phase φsh programm´ee est caract´eris´ee en terme

d’´ecart rms σϕ et σϕ2D : σϕ = s PNω−1 i=0 (∆ϕf(x0, ωi)− φsh(ωi)) 2 Nω (5.24) σ_ϕ2D = s PNω−1 i=0 PNx−1 k=0 (∆ϕf(xk, ωi)− φsh(ωi)) 2 NxNω (5.25)

Les pr´ecisions avec lesquelles les phases ∆ϕf(x0, ω) et ∆ϕf(x, ω) sont mesur´ees sont res-

pectivement donn´ees par σinterf ero (Eq. 5.14) et σinterf ero2D (Eq. 5.15).

Les variations tir `a tir des phases ∆ϕj_f(x0, ω) et ∆ϕjf(x, ω) sont exprim´ees en terme

de fluctuations rms : f luct(ω) = s P20 j=0 ∆ϕ j f(x0, ω)− ∆ϕf(x0, ω)
2 21 (5.26) 2D_{f luct}(x, ω) = s P20 j=0 ∆ϕ j f(x, ω)− ∆ϕf(x, ω)
2 21 (5.27)

De fa¸con `a pouvoir comparer ces fluctuations aux ´ecarts σϕ et σϕ2D mesur´es, elles sont

´

egalement caract´eris´ees par les grandeurs σf luct et σ2Df luct.

σf luct = s PNω−1 i=0 (f luct(x0, ωi)) 2 Nω (5.28) σ_{f luct}2D = s PNω−1 i=0 PNx−1 k=0 (f luct(xk, ωi)) 2 NωNx (5.29)