ficulté puisque l’application est bijective. Pour des surfaces quelconques, l’application n’est plus bijective partout. Les difficultés apparaissent aux points où la fonction paramétrique peut prendre plusieurs valeurs. Les pôles d’une sphère sont une illustration de l’existence de points dégénérés sur une surface. De plus, il est souvent fait usage de grandeurs dépendantes de la paramétrisation dans la définition d’énergies, telles que les dérivées. De fait, plusieurs paramétrisations pour un même modèle conduiront à des résultats différents. Ou pire, une paramétrisation mal choisie peut conduire à des instabilités du système rendant impossible toute segmentation fiable.
La proposition de [Montagnat 98, Delingette 94a] est d’utiliser les maillages simplexes comme représentation géométrique du modèle déformable. Un maillage est une représentation discrète d’une surface. Habituellement, un maillage est un ensemble de triangles. Avec ses trois points, un triangle est la plus simple définition d’un plan. Un maillage triangulaire est donc composé d’une multitude de cellules polygonales, appelées faces, comportant chacune trois arêtes. Un maillage simplexe est dual à une triangulation : une face d’un maillage triangulaire est un point d’un maillage simplexe et un point d’un maillage triangulaire est une face d’un maillage sim- plexe2. Une propriété remarquable, parmi d’autres exposées dans [Delingette 94b], est que chaque
point d’un maillage simplexe dual à une triangulation possède exactement trois voisins. La figure 6.1 montre une sphère créée à partir de trois subdivisions d’un icosahédron3(6.1(a)) et son dual
simplexe (6.1(b))
Le propos de [Montagnat 98] est de démontrer l’équivalence entre les méthodes de recalage et une déformation libre4d’un maillage. L’introduction de contraintes est assurée par une définition
locale des forces internes. Les maillages simplexes sont une source d’efficacité en évitant les pro- blèmes de topologie et de paramétrisation à tel point qu’ils sont présentés comme une extension naturelle des contours actifs.
Dans un maillage simplexe déformable décrit dans [Delingette 99], comme dans la plupart des modèles déformables, les points sont considérés comme des masses physiques soumises aux lois de la mécanique de Newton. La géométrie des maillages simplexes permet de proposer une nouvelle force interne où les composantes tangentielles et normales à la surface sont basées res- pectivement sur la distance d’un point à ses voisins et sur la courbure moyenne en un point. La force de régularisation aura tendance à ramener un point vers le centre de gravité de ses voisins.
6.2 La surface B-Spline active
6.2.1 L’évolution directe du B-Snake
Tout comme les contours actifs ont rapidement été enrichis par une représentation B-Spline, les surfaces actives peuvent également en profiter. Elles bénéficient alors d’une énergie interne simplifiée et d’un schéma d’interpolation intrinsèque bienvenu dans le cadre d’une segmentation multirésolution. Dans [Huang 98], il est expliqué comment utiliser une surface B-Spline comme
2On retrouvera la même dualité entre une triangulation de Delaunay et un diagramme de Voronoï, à cela près que la
dualité Delaunay/Voronoï est géométrique alors que la dualité triangulation/simplexe est uniquement topologique.
3Images créées avec le logiciel Stella - http ://web.aanet.com.au/robertw/Stella.html 4Traduction de l’anglais free-form deformation.
(a) B-Surface originale. Il s’agit d’un ensemble de plan dans l’espace initialisés autour de l’objet à seg- menter.
(b) B-Surface finale. Après fusion des bords, la sur- face segmente une tumeur du cerveau.
FIG. 6.2: B-Surface pour la segmentation d’objet 3D (images extraites de [Chen 05]).
représentation du modèle déformable. Cependant, la construction d’une telle surface est basée sur un produit tensoriel entre deux courbes B-Splines. La topologie de la surface obtenue est alors homéomorphe à un plan. Au mieux, en adaptant les conditions aux limites, il est possible d’obtenir un cylindre ou un tore. Il s’agit là d’une contrainte forte à la conservation de la nature paramétrique d’un modèle déformable.
6.2.2 Plusieurs surfaces B-Splines pour un même modèle déformable
La dernière innovation concernant l’utilisation des B-Splines comme représentation paramé- trique d’un modèle déformable est décrite dans [Chen 05]. Plutôt que de se conformer à une topolo- gie simple de la surface, il est proposé de déformer indépendamment plusieurs surfaces B-Splines planes puis de les fusionner comme le montre la figure 6.2. Cet algorithme n’utilise pas d’énergie interne, considérant, à l’instar de [Brigger 98] pour les courbes, que les surfaces B-Splines pos- sèdent intrinsèquement de fortes contraintes sur la courbure. De plus, le calcul des forces externes orientant la déformation est reporté sur les points de contrôle B-Splines qui seront effectivement déplacés. Mais le processus de fusion des surfaces B-Splines obligatoire pour obtenir la surface n’est pas décrit et le problème topologique lié à la paramétrisation n’est pas résolu.
L
ESmodèles déformables tridimensionnels ont été traités dans ce chapitre. À l’origine, la vo-lonté était de conserver une représentation paramétrique du modèle déformable pour traduire les bases théoriques des contours actifs dans un repère à trois dimensions. Cependant, la paramé- trisation impose des contraintes topologiques. Les solutions proposées ont pour conséquence de s’affranchir d’une paramétrisation en utilisant un modèle maillé comme une triangulation ou un maillage simplexe. Dans le cas du modèle déformable représenté par une surface B-Spline, la pa-
6.2. LA SURFACE B-SPLINE ACTIVE 51
ramétrisation doit être conservée. La solution est alors de déformer plusieurs surfaces B-Spline. L’état de l’art montre une divergence des voies de recherche dans l’extension des contours actifs vers les modèles tridimensionnels. D’un côté, la paramétrisation d’une surface impose des contraintes topologiques qui sont levées par l’utilisation de modèles déformables maillés. D’un autre côté, la représentation paramétrique d’une surface avec des B-Splines surfaciques apporte les mêmes avantages en terme de régularisation que les contours actifs B-Snakes mais conserve en même temps les contraintes topologiques.
Le chapitre suivant fera un état de l’art de méthodes contribuant à améliorer la segmentation par les contours actifs paramétriques ou les modèles déformables maillés. Nous ciblerons princi- palement l’introduction de connaissance a priori dans le processus de segmentation et l’adaptation du modèle déformable à son environnement.
7
Connaissance a priori et modèle déformable
adaptatif
Les modèles déformables présentés dans les chapitres précédents sont capables de détection de contour dans une image ou dans un volume. La notion d’énergie interne d’un contour actif, liée à celle de courbure moyenne sur une surface, est le moyen de régulariser le processus de segmentation. La conséquence est une robustesse au bruit accrue.
Cependant, une segmentation erronée n’est pas uniquement causée par le bruit. D’autres para- mètres viennent perturber la position finale du modèle déformable, comme des phénomènes d’oc- clusions ou de contours subjectifs. Nous montrerons dans ce chapitre quelles sont les solutions existantes permettant de guider le modèle déformable vers un résultat correspondant au mieux à l’objet recherché.
D’abord, nous présenterons l’intégration de connaissance a priori. Il est naturel de penser que lorsque que l’objet est connu, il est plus facile de le trouver dans une image. Le problème est de traduire cette connaissance.
Nous ferons ensuite un tour d’horizon des méthodes où le modèle déformable possède diffé- rentes caractéristiques en fonction de son environnement et de son état. Nous parlerons alors de modèles déformables adaptatifs.
7.1 Connaissance a priori
Lorsque l’objet recherché dans l’image est connu, cette connaissance peut être avantageuse- ment utilisé dans le processus de segmentation. Ainsi, [Olstad 96] propose un encodage de l’in- formation a priori dans un contour. Cet encodage s’inscrit dans un contexte grammatical dont
l’implantation se fait par programmation dynamique [Amini 90]. Dans le même cadre, [Abe 03] propose une méthode où l’utilisateur dessine le contour initial. De ce contour initial sont extraites des séquences d’angles, lignes et courbes décrivant le modèle. Cet encodage de l’information a priori apporte une robustesse au bruit et évite les problèmes d’occlusions.
La connaissance a priori peut également être traduite par des descripteurs de forme, mais le modèle déformable devient alors une forme active par opposition au contour actif [Tejos 04]. Les méthodes basées sur les formes nécessitent généralement de longs apprentissages pour être effi- caces. Dans [Das 04b], les auteurs proposent d’utiliser les distributions d’intensité comme connais- sance a priori d’un objet. Nous revenons alors sur des méthodes de contours actifs basés région qui sont fortement liées à notre contexte d’équilibre de forces [Zhu 96].
Finalement, le B-Snake sans énergie interne de [Brigger 00] décrit dans le paragraphe 5.2 in- tègre à sa façon une connaissance a priori de l’objet recherché. En effet, le pas d’échantillonnage qui est utilisé comme paramètre de régularisation du contour actif doit être compatible avec les ca- ractéristiques de l’objet. Le nombre de points constituant le contour traduit alors une connaissance a priori. De plus, le pas d’échantillonnage peut être variant. La densité des points, imposant une rigidité plus ou moins forte, devient également une connaissance a priori. Il s’agit là d’un exemple où régularisation et a priori partagent une même mise en oeuvre.