La représentation des propriétés ontologiques

De par son importance dans les représentations des relations ontologiques, la relation de tout et partie doit être intégrée dans le formalisme DTF. Pour cela, il est tout d'abord nécessaire d'expliquer comment des propriétés de la relation, par exemple la transitivité et la distributivité, peuvent être formalisées. Cette caractérisation des structures primitives se situe au niveau onto-logique. L'intérêt ne porte que sur la relation de tout et partie pour laquelle la transitivité est vériée, puisqu'il n'existe pas de consensus concernant les autres relations. Notons que la théorie des types dépendants permet d'exprimer la transitivité comme une propriété qui dépend d'une valeur correspondant aux diérentes manières par lesquelles les diérentes parties contribuent à la structure du tout (e.g., les distinctions proposées par Winston, Chan and Herrmann [141]). Cependant, cet aspect ne sera pas développé ici.

DTF permet d'exprimer conjointement des relations quelconques (structure de données) ainsi que les propriétés et contraintes que doit vérier cette structure au sein du même cadre formel. De cette manière, le contenu computationnel est "séparé" des preuves et de l'expression des contraintes.

Dénition 36. (Spécication) Une spécication Sp est une paire contenant un type de Sp-structuresStruc[Sp]appellé structure type deSpet un prédicatAx[Sp]sur la structureStruc[Sp]. Elle est décrite par unΣ-type :

Sp , ΣStruc : T ype . Ax(Struc) (2.5) avecAx:Struc→P rop

La structureSpest dite consistante s'il existe une Sp-structure et si cette structure satisfait les axiomes deAx[Sp]. Dans la suite est utilisée la notation simpliée^P[x₁ :T₁, x₂ :T₂, ..., x_n:T_n] pour dénoterΣx₁ :T₁.Σx₂ :T₂. . . . , .T_n.

Toute relation est formalisée par leΣ-type :

Rel , Σx : T ype .Σy : T ype . R(x, y) (2.6) Transitivité

Toute relation transitive est dénie par la spécication suivante :

Struc[T r],^{X · T r :Rel}

Chapitre 2. Vers la spécication du cadriciel (framework) DTF

et pour toute relation r de type Struc[T r](avecT r une notation abrégée pourT r[r]) :

Ax[T r],

∀u, u0:T r .

(R_u =R_u0 :P rop & π₁π₂u=π₁u0 :T ype)⊃

(R_u(π₁u, π₁π₂u) & R_u0(π₁u0, π₁π₂u0)⊃R_u(π₁u, π₁π₂u0))

oùR_u ,π₂π₂uetR_u0 ,π₂π₂u0. L'axiome établit que si la proposition dans la structureRelest identique (R_u =R_u0) et que si nous appliquons deux fois la relation avec le second argument de la première et que celui ci est identique au premier argument de la seconde, alors la relation est valide entre le premier argument de R_u et le second argument de R_u0. En clair, une preuve de la transitivité d'une relation R peut être obtenue en lisant cette information dans une table, ce qui prouve la structureStruc[T r], et toute relation de ce type doit satisfaire les axiomesAx[T r] pour que la spécication soit vériée. Un des intérêts de ce mécanisme de spécication est qu'une spécication donnée peut être étendue et ré-utilisée dans d'autres spécications. Cet aspect est crucial pour l'application des spécications aux ontologies. Comme les relations méréologiques et topologiques sont à la base d'ontologies formelles, une spécication peut être illustrée dans le cas de la relation spatiale (ou temporelle) partie-de (partOf), qui est transitive.

Une preuve de Struc[T r](partOf) est donnée par vérication de la paire < partOf, q₁ >

avec q₁ une preuve de T ransitive(partOf). Plaçons-nous dans un cas où la relation partOf est transitive, et en supposant qu'existent dans une base de connaissances, les termesu etu0 :

u : Σx:soldier.Σy:section. partOf(x, y)

u⁰ : Σx:section.Σy :platoon. partOf(x, y)

Il est supposé qu'il existe dans la base de données, les preuves respectives pour les deux rela-tions : < P aul, < sec35, p₁ >> et < sec35, < P8, p₂ >> avec p₁ et p₂ les preuves respectives de partOf(P aul, sec35) et partOf(sec35, P8). Dans l'axiome Ax[T r](partOf), les conditions sont vériées (R_u = R_u0 = partOf et π₁π₂π₁u = π₁σ₁u0 = sec35 : section) apportant ainsi la preuve departOf(P aul, P8)puisque nous avons simultanémentR_u(π₁π₁u, π₁π₂π₁u) (preuve

partOf(P aul, sec35) etR_u0(π₁π₁u0, π₁π₂π₁u0)(preuve partOf(sec35, P8)).

Remarquons qu'au travers de la dénition 2.6, la spécication de la transitivité ou de la distributivité s'applique à n'importe quel type. Si nous voulons nous restreindre à certains types, il sut, soit de spécier le type au niveau de la relation 2.6, soit de spécier dans l'axiome un ou plusieurs prédicats que doivent satisfaire ces types.

Distributivité

Un autre cas intéressant est la distributivité à gauche et à droite [3]. Il ne sera considéré ici, faute de place, que la distributivité à gauche, la distributivité à droite pouvant se trai-ter de la même manière sans diculté supplémentaire. Dans une collection d'agrégats d'indivi-dus appelée collection, la distributivité existe pour la relation hasP artaussi appelée hasItem,

hasP articipant, hasElement, etc. Toute relation DR distributive à gauche par rapport à une relation DR0 est spéciée par :

Struc[DR, DR⁰],^X 

 ^DR_DR0 ^::^RelRel

2.4. Le noyau de DTF et pour toute paire de relationsr, r0de typeStruc[DR, DR0](avecDR, DR0 une notation abrégée pourDR[r], DR0[r0]) : Ax[DR, DR⁰], ∀u:DR,∀u0 :DR0 . (π₂π₂u=π₂π₂u0 ⊃ ⊥ & π₁u=π₁u0 :T ype)⊃ (R_u(π₁π₁u, π₁π₂u) & R_u0(π₁π₁u⁰, π₁π₂u⁰)⊃ R_u(π₁π₂u0, π₁π₂u)) avecR_u,π₂π₂u etR_u0 ,π₂π₂u0.

L'axiome établit que si les propositions des structures sont distinctes (R_u=R_u0 ⊃⊥) et que le premier argument de la première relation est identique au premier argument de la seconde, alors la relation de R_u est valide avec comme arguments respectifs, le premier argument de

R_u et le second argument de R_u0. S'il existe une preuve de la distributivité d'une relation DR

par rapport àR0, c'est à dire une preuve de l'existence de Struc[DR, DR0], alors toute paire de relations de ce type doit satisfaire les axiomesAx[DR, DR0]pour que la spécication soit vériée. Les prédicats sur des collections s'appliquent de manière diérente sur les articles compo-sant la collection. Dans le cas, par exemple, de la distributivité à gauche interprétée pour une relation binaire générique qui possède une collection d'arguments à gauche, si une relation de typehasP art est distributive à gauche par rapport à une relationR, alors la relation R qui est valable pour un tout est aussi valable pour ses parties. Une règle similaire est également valable pour une relation distributive à droite.

Une preuve de Struc[DR, DR0](hasObjective, hasP art) est donnée par vérication de la paire emboîtée< hasObjective,< hasP art,q₁ >>avecq₁une preuve deL−Distrib(hasObjective, hasP art). Par exemple, le fait que les objectifs d'un groupe sont les mêmes que ceux de ses membres, peut s'exprimer par les types dépendants. Sachant que la relation hasObjective est distributive à gauche sur hasP art, où existent dans une base de connaissances, les termesu et

u0 tels que :

u : Σa:association.Σb:topic . hasObjective(a, b)

u⁰ : Σx:association.Σy:person . hasP art(x, y).

alors, avec les preuves respectives établissant la diérence des propositions et l'identication des premiers arguments, (hasObjective = hasP art) est absurde et association est l'argument commun. Les preuves respectives de R_u et R_u0, e.g., hasObjective(ACM −SIGART, AI) et

Chapitre 2. Vers la spécication du cadriciel (framework) DTF