La microscopie électronique en transmission

A sequência da questão I da primeira entrevista requer que se tenha em conta o número de pontos de cada figura e a direcção em que estes devem ser colocados. Existe uma relação de proporcionalidade directa entre o número de pontos de cada figura e a respectiva ordem.

Caracterização de uma figura próxima

Uso da covariação. Sofia começa por observar o modo como a variação no número da figura produz variação no número de pontos que a constitui. Mais concreta- mente observa o modo como varia o número de pontos, de uma figura para a figura seguinte. Este conhecimento sobre a forma como a sequência evolui permite-lhe repre- sentar cada nova figura, acrescentando dois pontos à figura imediatamente anterior:

Eh… Então, eu reparei que aqui, cada vez que passa de figura, vão acres- centando mais 2 pontos (…). Por exemplo, agora na figura 6 vou acres- centar mais 2 pontos, depois na 7, mais 2, na 8, mais 2, e por aí fora.

Associação entre a direcção e a paridade da ordem. No que diz respeito à direc- ção em que os pontos devem ser representados, Sofia encontra uma estratégia de carác- ter geral, que lhe permite não só compreender o caso da 12.ª figura, como também o de qualquer outra figura da sequência. A aluna associa as direcções em que os pontos são colocados com a paridade da ordem de cada um dos termos. Assim, observa que a

direcção vertical está associada aos termos de ordem ímpar e que a horizontal está asso- ciada aos de ordem par. Após esta generalização tem lugar a particularização para a figura em causa:

As figuras que são pares estão na… Na vertical… E as ímpares estão na horizontal (…). E agora está aqui a pedir para fazer a 12.ª e como é número par, e como os outros números pares estão na vertical, também vou fazer na vertical.

A aluna não revela dificuldade na descrição do modo como os pontos que inte- gram a 12.ª figura devem ser representados.

Uso da correspondência. Na parte final do seu raciocínio, ao analisar a figura que acabou de representar, Sofia inicia uma outra estratégia, identificando a relação de correspondência entre alguns valores das variáveis. Ao detectar um padrão nos casos das figuras números 5 e 6, aplica a mesma regularidade ao caso da 12.ª figura:

Professora: Quantos pontos tem?

Sofia: 24 [responde rapidamente, com segurança]. Professora: Porquê?

Sofia: Porque, como aqui tem… [conta os pontos da figura 5] 10… na

figura a seguir, na 6, tinha 12… Então, depois eu multipliquei por 2 e… Deu 24.

Deste modo, as estratégias iniciais utilizadas por Sofia na caracterização de uma figura próxima são: (i) o uso da covariação para determinar o número de pontos de figu- ra para figura; (ii) a associação da direcção a um conjunto de números com uma pro- priedade em comum – a paridade; e (iii) o uso da relação de correspondência entre o número de pontos de cada figura e a respectiva ordem.

Caracterização de uma figura distante

Uso da covariação. Tal como sucedeu na caracterização da 12.ª figura, a aluna alega que, de uma figura para a seguinte, são acrescentados dois pontos e procura utili- zar o seu conhecimento sobre a covariação. Quando sente a necessidade de representar todas as figuras que precedem a 100.ª, resolve procurar uma nova estratégia:

Professora: Consegues imaginar a figura número 100?

Sofia: Sim, montes de pontos assim, por ali fora (…). Tem… Cada vez

que passa de figura… Acrescenta dois pontos.

Professora: Então, mas… Estás a dizer que eu tenho que fazer as figuras

Sofia: Não, pode-se multiplicar… [hesita]

Professora: Então, ajuda-me lá… Eu continuo sem perceber como é que

construo a centésima figura.

Sofia: [pausa prolongada] Não sei, não faço ideia.

Uso da correspondência. Neste excerto, Sofia apresenta alguma evidência de que poderá chegar a uma estratégia mais adequada ao seu propósito, envolvendo o conheci- mento da relação entre a ordem e o número de pontos em cada figura, quando sugere que se poderá efectuar uma multiplicação. No entanto, apesar da minha insistência, a aluna não especifica o modo como pode fazer esta operação, não dando seguimento ao raciocínio que iniciou na caracterização da 12.ª figura. Revelando reduzida confiança nesta possibilidade, acaba por não conseguir determinar o número de pontos da figura pretendida. Assim, a caracterização da figura número 100 torna evidentes as suas pri- meiras dificuldades.

Pertença de uma figura à sequência

Identificação de uma regularidade. No que diz respeito à existência de uma figu- ra com exactamente sessenta e quatro pontos colocados na horizontal, Sofia observa que o número de pontos em cada uma das figuras é sempre par:

Sofia: [Lê o enunciado e escreve imediatamente a palavra “sim” no espa-

ço reservado à alínea 3].

Professora: Queres explicar em que estás a pensar?

Sofia: Eu acho que sim [existe], porque… Todos os pontos… Cada figu-

ra tem um número par de pontinhos e 64 também é um número par.

Professora: Hum, hum. Sofia: [Escreve a frase:

Avança, de imediato, para a alínea seguinte].

Com base nesta sua observação, conclui que existe uma figura com sessenta e quatro pontos e não procura averiguar qual a direcção em que estes devem ser coloca- dos. A sua resposta é dada sem hesitação, mas está incorrecta.

Generalização

Sofia revela dificuldade em generalizar a relação entre as variáveis e, em lugar de tentar construir o seu próprio raciocínio, alega que não se lembra de como se faz.

Deste modo, reage como se a regra pretendida se tratasse de um mero algoritmo que pudesse ter sido aprendido anteriormente:

Professora: Uma regra… Existe alguma regra geral que permita… Nós

sabemos sempre qual é a forma correcta de construir uma certa figura?

Sofia: Não me lembro.

Professora: Existe alguma coisa que tu consigas encontrar, que se verifi-

que sempre? [pausa prolongada] Não estás a ver?

Sofia: Não.

Reflexão

Antes da unidade de ensino, Sofia encara a letra apenas numa das suas possíveis acepções, isto é, como incógnita. Deste modo, quando se depara com as diferentes expressões algébricas incluídas na questão II, exprime imediatamente a necessidade de descobrir o valor que as letras representam, embora isso só faça sentido no caso das equações do 1.º grau. A aluna não interpreta a letra como número generalizado e revela dificuldades em encará-la como variável.

Na situação referente ao número de calendários das gémeas, a sua resposta baseia-se, sobretudo, na sua intuição (incorrecta) sobre os efeitos das operações de adi- ção e multiplicação, decorrentes das experiências anteriores que viveu na Aritmética. Não reconhece que as expressões podem tomar valores distintos, dependendo dos valo- res de x, evidenciando, novamente, dificuldades com a noção de variável. Além disso, não revela a capacidade de usar outros processos, aritméticos ou algébricos, para retirar conclusões sobre a situação, interpretando as expressões de um modo um tanto precipi- tado. Revela, ainda, dificuldades quanto ao significado de algumas das expressões, nomeadamente ao confundir os significados de 2x e x2. No entanto, parece aceitar a falta de fechamento de expressões como x + 4, não procurando, em nenhum momento, pro- ceder a uma simplificação indevida.

Na resolução de equações do 1.º grau, Sofia manifesta comportamentos distin- tos, dependendo do respectivo grau de dificuldade. Consegue resolver a equação de tipo aritmético por um processo intuitivo, mostrando compreender a noção de equação e reconhecer se um número é (ou não) solução, por substituição. Assim, parece com- preender que a resolução de uma equação exige a equivalência entre os dois membros que a constituem. No entanto, nesta fase, não consegue resolver a equação do tipo algé- brico. Revela, neste ponto, ter contactado com o processo de resolução de equações no ano anterior e mostra-se intimidada por não se recordar como fazê-lo.

Na sequência que lhe é apresentada, Sofia identifica, como regularidade, o aumento constante de dois pontos entre duas figuras consecutivas. É com base neste conhecimento que imagina a forma como a sequência pode ser prolongada. Em termos mais gerais, associa a direcção em que os pontos devem ser colocados em cada figura à paridade da posição em que esta surge na sequência. As estratégias que utiliza permi- tem-lhe caracterizar a 12.ª figura. Daí que aponte esta primeira alínea da questão I como aquela em que se sente mais à vontade na primeira entrevista. No entanto, a sua prefe- rência pelo uso da covariação mostra-se menos eficaz quando a questão se torna mais exigente. As dificuldades surgem quando tenta caracterizar a 100.ª figura e determinar o número de pontos de qualquer figura da sequência. Embora existam, no seu discurso, indícios de que pode formular uma generalização baseada na relação de correspondên- cia entre as duas variáveis em jogo, não desenvolve o seu raciocínio, revelando forte “receio” de arriscar.

Esta atitude pode dever-se a uma certa novidade que este tipo de questão, envol- vendo uma sequência constitui para si e à insegurança que sente na construção do seu próprio conhecimento matemático. De um modo geral, Sofia revela alguma resistência em explorar as situações que lhe são propostas. Em vez de experimentar casos concre- tos, usar tentativa e erro e formular conjecturas, procura recordar regras já aprendidas. A aluna não utiliza, como recurso, a capacidade de inverter o raciocínio desenvolvido e verificar a sua validade. Estas atitudes evidenciam a sua dificuldade em desenvolver estratégias de forma autónoma.