Application à la microspectrométrie Raman

Smith (2003) identifica dois modos distintos de análise de uma função. Por um lado, a compreensão da relação de correspondência que existe entre cada valor da variável x e o valor de y que lhe está associado. Em alguns casos, com base nesta análise conjunta dos valores de x e y, é possível escrever uma expressão algébrica que represen- ta esta correspondência. Uma outra forma de olhar para uma função diz respeito à análi- se do modo como a variação dos valores de uma variável produz variação nos valores da outra. De acordo com esta perspectiva, identificam-se os correspondentes padrões de variação, ou seja, analisa-se a covariação de x e y.

De um modo geral, Smith (2003) refere que a abordagem que diz respeito ao estudo da covariação é utilizada pelos alunos de forma mais intuitiva, como uma primei- ra abordagem aos problemas que pretendem resolver. O estudo da covariação permi- te-lhes compreender uma função através dos padrões de mudança que se verificam em cada uma das variáveis. A abordagem inicial baseada no estudo destas regularidades pode constituir a base para o desenvolvimento de uma relação de correspondência que pode, então, ser expressa algebricamente. O estudo da covariação é importante porque a mudança é o que é observado e apreendido e, frequentemente, o que é mais importante numa determinada situação (Smith, 2003). Slavitt (1997, referido por Smith, 2003) sus- tenta que dar mais importância à compreensão da covariação pode proporcionar ao alu- no uma maior compreensão sobre o conceito de função.

No caso particular em que uma função é linear, admite uma expressão geral da forma y = ax + b, em que a e b são números reais. No caso particular em que b = 0, esta relação tem a forma y = ax, dizendo respeito a uma situação onde há proporcionalidade directa. Existindo uma dependência de tipo linear entre as variáveis x e y, a modificação dos valores da variável independente tem consequências directas nos valores tomados pela variável dependente. A particularidade deste tipo de relação funcional é o facto de possuir taxas de variação constantes. No caso em que a variável x é discreta, que surge frequentemente a propósito da exploração de sequências de números, a diferença entre

um termo e o termo consecutivo é constante, o que se torna relativamente simples para os alunos (Orton & Orton, 1999). Se a variável é contínua, como no caso geral de uma função afim, é possível identificar regularidades quando se analisa a mudança existente nos valores da variável dependente, à medida que a variável independente sofre altera- ções em incrementos iguais (Smith, 2003). Por outro lado, a variação que ocorre nos valores que ambas as variáveis tomam pode dar-se no mesmo sentido, quando aumen- tam simultaneamente, ou em sentidos contrários, quando ao considerarmos valores cada vez maiores para uma das variáveis, observamos que à outra correspondem valores cada vez menores. Outro aspecto importante que pode ser analisado é a rapidez com que variam os valores de cada uma das variáveis, em relação aos valores da outra (Friel, Rachlin, & Doyle, 2001).

Ao longo dos últimos anos, têm surgido diversos estudos que procuram com- preender o modo como os alunos lidam com relações funcionais lineares em diferentes níveis de ensino. Esses estudos permitem identificar estratégias usadas pelos alunos, isto é, combinações de dois ou mais processos, que lhes permitem progredir na perseguição de um determinado objectivo (Orton & Orton, 1999).

Hargreaves, Threlfall, Frobisher e Shorrocks-Taylor (1999) descrevem um estu- do desenvolvido com alunos entre os 7 e os 11 anos, que envolve sequências lineares e quadráticas. No que diz respeito às sequências lineares, identificam como potenciais actividades a desenvolver pelos alunos: (i) a procura de padrões numa sequência; (ii) a construção de sequências; (iii) o reconhecimento da existência de um padrão numa sequência; (iv) a descrição oral e escrita de uma sequência; (v) a continuação de uma sequência dada; (vi) a previsão sobre os que poderão ser termos seguintes numa sequên- cia; (vii) a sugestão de uma regra de formação para a sequência; (viii) o teste de uma determinada regra de formação da sequência; e (ix) a generalização dessa regra através de palavras ou símbolos algébricos. De acordo com estes autores, o facto de um aluno ser capaz de continuar uma sequência evidencia uma compreensão sobre o padrão que se vai repetindo. No entanto, essa compreensão torna-se mais profunda quando este é capaz de descrever correctamente um elemento geral dessa sequência. A exploração de sequências de números proporciona aos alunos uma oportunidade para o reconhecimen- to de padrões, a sua descrição e generalização. Assim, esta actividade também é consi- derada por estes autores como preparatória relativamente ao estudo dos aspectos mais formais da Álgebra. Com base no seu estudo identificam como principais estratégias utilizadas pelos alunos na exploração de sequências lineares, as seguintes:

i) O cálculo da diferença entre pares de termos consecutivos e a determinação das diferenças sucessivas. O aluno começa por observar a diferença existente entre dois

números consecutivos, repetindo esse processo sucessivamente. Segue-se a análise da natureza dessas diferenças e a determinação da diferença entre as diferenças encontra- das previamente. Uma vez que no caso das sequências lineares as diferenças entre ter- mos consecutivos são constantes, a diferença entre as diferenças consecutivas é nula.

ii) Análise da natureza dos números. O aluno identifica uma proprieda-

de/qualidade aplicável ao conjunto de todos os números que fazem parte da sequência, por exemplo, a paridade de todos ou alguns dos seus elementos.

iii) Comparação entre as tabelas de multiplicação e as tabuadas. O aluno procu-

ra comparar os elementos da sequência com os múltiplos. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, 14 nota que há alguma proximidade com a sequência dos múltiplos de 3, desde que a todos os seus termos seja subtraída de uma unidade.

Um outro estudo, desenvolvido nos Estados Unidos com 10 alunos do 6.º ano, sem contacto formal anterior com a Álgebra, tem como principal objectivo investigar o modo como estes utilizam equações para descrever e representar situações problemáti- cas, envolvendo situações lineares e não lineares. Os alunos participantes neste estudo conseguem, no momento em que são entrevistados, generalizar e descrever relações, usando representações verbais, simbólicas, ou uma combinação entre ambas, por vezes de um modo não estandardizado. Contudo, por vezes, denotam algumas dificuldades em observar as equações que formulam enquanto objectos matemáticos, interpretando-as como procedimentos a efectuar. Para além disso, revelam insegurança no uso apropria- do de variáveis e não usam as equações formuladas para resolver os problemas que lhes são propostos (Swafford & Langrall, 2000).

Stacey e Macgregor (2000) relatam um estudo desenvolvido com cerca de 2000 alunos, com idades entre os 12 e os 15 anos, de escolas secundárias australianas, basea- do em testes escritos resolvidos por todas as turmas envolvidas e entrevistas individuais efectuadas a alguns alunos, em particular. Neste estudo, na análise de uma sequência linear a maior parte dos alunos consegue interpretar e continuar correctamente as tabelas fornecidas. O número de alunos que consegue completar a tabela para termos mais dis- tantes, na sequência, desce para, aproximadamente, 70% dos alunos. As autoras referem que os que o conseguiram fazer terão usado, presumivelmente, a relação funcional entre as variáveis. No entanto, em alguns casos é notória a preferência pela procura de uma relação de recorrência, que permita encontrar cada termo com base no seu predecessor.

Este tipo de relação parece ser mais intuitivo, embora não seja facilmente expresso em termos da linguagem algébrica. Neste estudo verifica-se que os alunos só tentam desco- brir a relação funcional entre as duas variáveis quando são confrontados directamente com uma questão que os faça sentir essa necessidade. Por outro lado, mesmo os alunos que conseguem identificar a relação funcional em causa manifestam dificuldades em exprimi-la usando linguagem algébrica.

De acordo com Stacey e Macgregor (2000), é importante que exista uma fase onde os alunos descrevem verbalmente o que vêem numa determinada sequência, iden- tificando padrões e reflectindo sobre quais deles são mais úteis para a compreensão das questões colocadas. Deste modo poderá surgir uma compreensão efectiva do modo como se processa a relação funcional e uma posterior representação da mesma, utilizan- do a simbologia algébrica. Zazkis e Liljedahl (2002) referem, precisamente, como evi- dência de um estudo desenvolvido com futuros professores da escola primária, que exis- te uma descontinuidade entre a capacidade de expressar generalizações verbalmente e a capacidade de usar a notação simbólica própria da Álgebra, sendo o processo de transi- ção bastante demorado e complexo.

O modo como as sequências são propostas aos alunos pode ser mais elaborado do que a simples apresentação de uma lista numérica ordenada. Segundo Orton, Orton e Roper (1999), como alternativa a esta apresentação directa dos termos numéricos, as sequências surgem, por vezes, associadas a uma representação geométrica. Estes autores apontam como principais razões para a associação a aspectos de natureza visual: (i) a convicção de que a existência de um elemento visual confere maior significado a uma determinada tarefa, tornando-a mais dinâmica e eventualmente mais simples; e (ii) o facto de esta associação proporcionar ao aluno a hipótese adicional de fundamentar o seu raciocínio em argumentos de natureza geométrica e visual e, em última análise, de seleccionar os aspectos sobre os quais se sente mais à vontade para basear a sua explo- ração. No entanto, consideram necessária alguma precaução relativamente a esta opção, no sentido de tentar diversificar a tarefa, pois pode, também, atribuir-lhe um carácter mais problemático e gerar dificuldades acrescidas aos alunos.

Stacey (1989) relata duas investigações envolvendo a exploração de padrões, no âmbito de sequências lineares subjacentes a um conjunto de figuras geométricas. Com base na primeira investigação realizada com alunos entre os 9 e os 11 anos de idade, esta autora identifica quatro estratégias principais de raciocínio utilizadas pelos alunos:

(i) o método de contagem; (ii) o método da multiplicação das diferenças; (iii) o método do objecto inteiro (no original, whole-object method); e (iv) o método linear.

O facto de as sequências estarem associadas a uma representação geométrica justifica a utilização do método de contagem, que permite aos alunos traduzir a infor- mação que é fornecida em termos numéricos. Este método é eficaz para a determinação de termos que se encontram relativamente próximos dos termos que são fornecidos, mas começa a perder potencialidades em questões que requerem a determinação de termos muito distantes, por se tornar pouco cómodo.

Outra atitude natural a tomar no âmbito das sequências lineares é a de calcular as diferenças entre termos consecutivos que, como já foi referido, é constante. No entanto, o método da multiplicação das diferenças identificado pela investigadora vai para além desse cálculo e da sua utilização para determinar os termos seguintes na sequência que é apresentada. Os alunos utilizam o conhecimento que têm sobre a diferença entre termos consecutivos e multiplicam-na pela ordem em que uma determinada figura surge, para encontrar o termo desejado (Orton & Orton, 1999; Stacey, 1989). O facto de a diferença ser constante verifica-se, quer a relação entre a ordem e o termo na sequência seja de proporcionalidade directa quer não. No entanto, este método só é eficaz quando a rela- ção de proporcionalidade existe. A aplicação do método conduz a raciocínios como: “se a diferença entre termos consecutivos é de quatro unidades, então 4 x 20 = 80 será o 20.º termo”. Este raciocínio estaria correcto na sequência A) 4, 8, 12, 16, … em que existe proporcionalidade directa, mas não na sequência B) 3, 7, 11, 15, … em que esta não existe e o 20.º termo é igual a 79.

O terceiro método descrito também é bastante eficaz quando existe proporciona- lidade directa, falhando caso contrário. Trata-se, no fundo, de pensar que se 15 = 3 x 5, então o 15.º termo numa sequência poderá ser calculado multiplicando por 3 o 5.º termo da sequência. O método linear, identificado pela autora, diz respeito à compreensão de que, por vezes, está envolvida, para além de uma multiplicação, a operação de adição de um certo valor inteiro. Por fim, a autora salienta que alguns dos alunos utilizam mais do que um destes métodos, de forma combinada, dependendo dos objectivos que têm, ine- rentes à resolução de cada problema.

Uma segunda investigação realizada também por Stacey (1989) com os mesmos alunos, agora entre os 11 e os 13 anos de idade, mostra que, apesar das experiências que vivem nas suas aulas de Matemática, continuam a utilizar os mesmos quatro métodos principais, apesar de incluírem alguns “melhoramentos” pontuais, como por exemplo, a

adição sucessiva em vez da simples contagem. Este recurso a métodos que já domina- vam anteriormente pode ser interpretado como a tendência para o uso de determinadas ferramentas, com as quais já se sentem confortáveis e que produziram bons desempe- nhos noutras situações (Orton, 1999).

De acordo com Rivera e Becker (2005), mais do que encontrar uma fórmula algébrica que permita generalizar uma regra e explicitar uma relação funcional, é impor- tante compreender o motivo pelo qual essa fórmula funciona. Num estudo realizado nos Estados Unidos, com professores da elementary e da middle school, envolvendo sequências lineares associadas a uma representação geométrica, distinguem dois modos principais de justificação da validade destas conjecturas: (i) com base em argumentos de natureza numérica e (ii) com base em argumentos geométricos, inerentes à própria cons- tituição das figuras. Estudos desenvolvidos com alunos dos 6.º e 9.º anos, nos Estados Unidos da América, evidenciam, também, a utilização de uma multiplicidade de estraté- gias, algumas predominantemente visuais e outras predominantemente numéricas (Bec- ker & Rivera, 2005). Neste estudo, as estratégias de tipo numérico surgem mais fre- quentemente do que as de tipo geométrico. Alguns alunos iniciam a abordagem ao pro- blema com uma estratégia geométrica, mas essa estratégia é completada por uma tradu- ção para aspectos numéricos, que os conduzem à formulação de uma generalização. Em relação aos alunos que não conseguem generalizar, verifica-se que as suas dificuldades têm origem em aspectos como: (i) a confusão entre os papéis das variáveis dependente e independente; e (ii) a excessiva ligação a uma determinada estratégia de resolução, sem a capacidade de recurso a outras abordagens quando necessário.

Relativamente a implicações para a prática profissional do professor, Driscoll (1999) questiona como podem os alunos ser apoiados na transição entre um tipo de pen- samento recursivo, baseado na covariação, e o pensamento funcional, baseado na cor- respondência existente entre as variáveis. Uma estratégia possível será a reflexão sobre o modo como se relaciona a descrição recursiva, à qual os alunos atribuem maior senti- do, com a relação funcional que tentam compreender. Este autor aponta, também, algu- mas estratégias que o professor pode utilizar na sala de aula, durante as discussões gerais, no sentido de apoiar os alunos na explicitação da relação funcional em causa. Assim, defende que devem ser promovidos momentos de reflexão sobre (i) a informa- ção que é fornecida e o facto de permitir, ou não, prever o que irá acontecer noutros casos; (ii) a existência de regularidades e operações que se repitam sistematicamente ou

de uma regra matemática que permita efectuar todas as operações de uma só vez; e, ain- da, sobre (iii) a validade de uma determinada regra para outros casos particulares.