2.2 Etude de sensibilit´e
2.2.1 La m´ethode SAFE 1D `a une variable
Principe
Dans la litt´erature plusieurs m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees afin de calculer les solutions de l’´equation de dispersion. Lorsque le guide est de type plaque ou cylindre, fait de mat´eriaux homog`enes ou multicouches, isotropes ou anisotropes, les m´ethodes matricielles telles que la m´e-thode des matrices de transfert ou la m´em´e-thode des matrices d’imp´edance de surface permettent d’obtenir les courbes de dispersion des modes guid´es [56, 69, 70]. Ces techniques permettent aussi de calculer les champs de d´eplacements et de contraintes ainsi que le flux de puissance dans l’´epaisseur du guide consid´er´e. Elles se r´ev`elent n´eanmoins inad´equates lorsque le guide est de section arbitraire. C’est principalement pour cette raison qu’une m´ethode num´erique alternative, la m´ethode SAFE (pour«Semi Analytical Finite Element method»en anglais), a
´et´e d´evelopp´ee [71–75]. Cette m´ethode consiste `a r´esoudre num´eriquement un probl`eme aux valeurs propres par l’interm´ediaire d’un mod`ele ´el´ements finis, o`u la direction de propagation des ondes est connue et o`u seule la section droite du guide est maill´ee.
Dans ces travaux de th`ese le guide consid´er´e est de type plaque. L’une ou l’autre des m´e-thodes peut donc ˆetre utilis´ee pour calculer les courbes de dispersion. Pour cette ´etude seules les ondes guid´ees de type SH sont consid´er´ees, cela permet d’une part de simplifier la mise en ´equations du probl`eme (les composantes de d´eplacement dans le plan (x1,x2), ainsi que les composantes correspondantes des contraintes sont nulles) et par cons´equent d’all´eger le coˆut
des calculs. Il a ´et´e choisi de travailler avec la m´ethode SAFE. Tout d’abord, cela permet d’im-pl´ementer de mani`ere simple une condition aux limites de type ressorts [44, 76, 77] pour simuler une interface dont les propri´et´es sont variables. D’autre part, les mod`eles bas´es sur la m´ethode des ´el´ements finis permettent de simuler assez simplement des variations dans l’espace de pro-pri´et´es m´ecaniques ou encore des d´efauts localis´es. De cette mani`ere, mˆeme si le cas de figure d’un assemblage coll´e avec un d´efaut localis´e n’a pas encore ´et´e envisag´e ici, cette ´etude pourra, par la suite, ˆetre poursuivie dans ce sens.
Figure 2.5 – Pr´esentation en 3 dimensions d’une structure aluminium / colle / patch avec le maillage SAFE 1D repr´esent´e par une s´erie de points dans l’´epaisseur.
Le guide consid´er´e est constitu´e de trois mat´eriaux : un aluminium, un adh´esif de type ´epoxy et un patch en carbone ´epoxy (cf. figure 2.5). Il est d’´epaisseur finie mais de longueur et largeur infinies. Ces consid´erations g´eom´etriques permettent de travailler avec un mod`ele SAFE 1D.
Le vecteur d´eplacement d’une onde harmonique guid´ee le long de l’axe x1 et polaris´ee suivant l’axex3 (cf. figure 2.5) s’´ecrit alors de la mani`ere suivante :
U(x1,x2,x3,t) =u3(x2)eI(ωt−kx1) avec I2 =−1 (2.8) o`u ω = 2πf repr´esente la pulsation, f la fr´equence, t le temps et k le nombre d’onde. Dans ce cas particulier, deux des composantes du vecteur d´eplacement sont nulles. De plus, pour les ondesSH le gradient de d´eplacement suivant la direction x3 est nul et ´etant donn´e l’expression du d´eplacement (cf. ´equation 2.8) la d´eriv´ee partielle suivant l’axe de propagation peut ˆetre
´ecrite de la mani`ere suivante :
∂[· · ·]
∂x1
=−Ik[· · ·]
L’´equation d’´equilibre dynamique, ´ecrite dans le domaine des fr´equences, pour un mat´eriau anisotrope, peut ainsi ˆetre simplifi´ee :
C44
∂2u3
∂x22 −k2C55u3+ρω2u3 = 0 (2.9)
o`u C55 etC44 sont les modules de visco´elasticit´e du mat´eriau le long duquel se propage l’onde guid´ee. Ils peuvent ˆetre r´eels dans le cas d’un mat´eriau ´elastique ou complexes pour un mat´eriau visco´elastique. Le vecteur contrainte,T= ¯¯σ·n, o`unest le vecteur unitaire d´efinissant la normale sortante au domaine consid´er´e, s’´ecrit quant `a lui de la mani`ere suivante :
T=
Au niveau des surfaces sup´erieure, internes ou inf´erieure de l’empilement consid´er´e, le vecteur d´efinissant la normale est port´e par la direction x2. Dans ce cas la troisi`eme composante du vecteur contrainte est la seule `a ˆetre non nulle :
T3 =C44
∂u3
∂x2
n2 (2.11)
o`un2 =±1.
Les deux surfaces ext´erieures du domaine sont libres de contraintes, T3 y est donc ´egal `a z´ero. L’interface entre le composite et la colle est consid´er´ee comme parfaite, c’est `a dire que les d´eplacements ainsi que les contraintes sont continus. Pour le type d’assemblage ´etudi´e, l’interface s´eparant le joint de colle de l’aluminium est consid´er´ee comme une zone critique. Les propri´et´es adh´esives de cette interface sont mod´elis´ees par l’interm´ediaire d’une densit´e surfacique de ressorts [17, 18, 44, 45, 78, 79]. Les contraintes sont continues et un saut de d´eplacement est autoris´e :
T3 =kT∆u3 (2.12)
o`ukT repr´esente une densit´e de ressorts en cisaillement (N/m3) uniforme sur l’interface consi-d´er´ee et o`u ∆u3 = ±|uadh´3 esif−ualuminium3 | est l’expression du saut de d´eplacement. Le signe de ce dernier d´epend du domaine `a partir duquel cette condition est ´ecrite.
Une telle interface peut ´egalement ˆetre mod´elis´ee par une fine couche de solide, d’´epaisseur hinterface, de masse volumiqueρinterfaceet de module de CoulombC44=kThinterface. L’inconv´enient de ce type de mod´elisation reste son coˆut en terme de degr´es de libert´e du maillage de la simulation num´erique. Elle a n´eanmoins permis de valider la condition d’interface de type densit´e surfacique de ressorts [45, 79].
Impl´ementation COMSOL
Dans ce logiciel le formalisme adopt´e pour les probl`emes aux valeurs propres est le suivant :
o`u c,α,a,β,da,ea,q et g peuvent ˆetre des coefficients scalaires, vectoriels ou matriciels sans sens physique particulier. u repr´esente le vecteur d´eplacement et λ la valeur propre recherch´ee.
Dans le mod`ele consid´er´e une seule dimension g´eom´etrique et une seule variable d’espace sont consid´er´ees. Les coefficients c,α,a,β,da,ea,q etg sont donc des scalaires. En identifiant les deux
premi`eres ´equations du syst`eme 2.13 aux ´equations 2.9 et 2.11 on obtient :
L’assemblage ´etudi´e est constitu´e de trois mat´eriaux (composite, colle ´epoxy et aluminium) d’´epaisseurs tr`es diff´erentes, celle de l’aluminium ´etant 15 fois plus ´elev´ee que celle de l’adh´esif.
Si l’interface aluminium / colle est mod´elis´ee non pas par une densit´e surfacique de ressorts mais par une couche d’adh´esif de 10 µm, le rapport entre leur ´epaisseur respective augmente mˆeme jusque 300. De telles disparit´es peuvent, si on n’y prˆete pas attention, entraˆıner des irr´egularit´es de maillage qui se r´epercutent sur le calcul de la distribution des champs de d´eplacements, contraintes et puissance dans l’´epaisseur du guide. Par exemple, en faisant l’hypoth`ese que 4 ´el´ements quadratiques sont n´ecessaires dans l’´epaisseur de chaque mat´eriau pour discr´etiser correctement les champs de d´eplacements ou de contraintes, alors les mailles feront 50 et 2,5µm dans l’´epaisseur de la couche de colle et de l’interface respectivement tandis que des ´el´ements de 0,75mmsont requis dans l’´epaisseur de la plaque d’aluminium. Il est donc n´ecessaire d’adapter le maillage de mani`ere `a ce que la taille des ´el´ements ne varie pas de mani`ere brutale en passant d’un mat´eriau `a l’autre [80]. Ceci a des cons´equences non n´egligeables sur le nombre de degr´es de libert´e du mod`ele et justifie l’int´erˆet d’un mod`ele de type ressort pour simuler une interface de qualit´e variable. Pour l’assemblage ´etudi´e ici, l’utilisation de ce type d’interface permet par exemple de r´eduire de 49% le coˆut du maillage : 138 degr´es de libert´e pour l’assemblage avec interface de type ressort contre 273 lorsque l’interface est mod´elis´ee par une couche de 10µm. Bien ´evidemment les courbes de dispersion obtenuesvia ces deux mod`eles correspondent parfaitement entres elles (1 de diff´erence) et ´egalement 2 pr`es avec celles obtenues via la m´ethode des matrices d’imp´edance de surface [55].