6.5 Une adaptation du calcul de H.Haken
6.5.2 La condition de seuil de l’effet laser revisitée
Nous exploitons l’équation du mode de champ pour un système à trois niveaux : ˙
b = (i ωλ− κλ)b − i gX µ
¡
αµ+ βµ¢ − i gµ1Nγ0eiω0t (6.185) Nous établissons une équation de van der Pol pour la seule partie linéaire en le mode de champ électrique. Nous substituons donc les équations (6.182), (6.183) et (6.184) dans les équations (6.180) et (6.181). Nous obtenons la somme des cohérences indépendante de l’indice mu : −i g (αµ+ βµ) = bg2[{σ × i} + {θ}] σ = −1 2 (d01+ d02)ωRcos (ω0t ) 1 4ω2R+ Γ2 θ = ωR 2 (Γ0+ 2Γ)(d01− d02) sin (ω0t ) + Γ(d01+ d02)(Trω2R+ Γ0) µ ω2 R 4 + Γ2 ¶ ¡ ω2 RTr+ Γ0 ¢ (6.186)
Les contributions provenant des fonctions sinus et cosinus sont négligées parce que l’in- tégration de ces fonctions introduit un facteur enω1
0 négligeable par rapport à la pulsation
de RabiωR. Les équations (6.186) se simplifient comme suit :
σ = 0 θ =4Γ(d01+ d02)
ω2 R+ 4Γ2
En posant les notations : D01= Nd01et D02= Nd02, nous avons le résultat : ˙ b = (i ωλ)b + Ã −κλ+4Γ(D01+ D02) ω2 R+ 4Γ2 g2 ! b − i gµ1Nγ0eiω0t (6.188) Lorsque la pulsation de Rabi est nulle, nous retrouvons la condition de seuil dégagée au chapitre (5) : −κλ+(D01+ D02)g 2 Γ > 0 D01+ D02> κλΓ g2 (6.189)
Lorsque la pulsation de Rabi est non nulle, nous pouvons poser la condition généralisée suivante : −κλ+4Γ(D01+ D02)g 2 ω2 R+ 4Γ2 > 0 D01+ D02> κλ(ω2R+ 4Γ2) 4Γg2 (6.190)
Nous obtenons une contradiction. La somme des inversions de populations augmente- rait lorsque la pulsation de Rabi croît. Cela n’est pas conforme aux résultats dégagés lors des calculs menés selon la démarche de Scully et al. Nous choisissons de ne pas déve- lopper plus en avant les calculs effectués en adaptant le procédé de H. Haken. Nous ne comprenons pas l’origine de la présente contradiction. Il est possible que notre décou- page de l’axe des temps en deux périodes ne soit pas valide. Néanmoins, il a produit un abaissement du seuil de l’effet laser dans la cavité en Ti :saphir lorsque la pulsation de Rabi du champ électrique de cohérence est différente de zéro. Nous n’avons pas fait une erreur de signe devant le facteurω2R.
Conclusion
Nous avons abouti à une contradiction entre les méthodes issues de Scully et al. et de H.Haken. Nous devons aussi préciser que le choix d’un temps initial ti= 0 posé lors de la
méthode de Scully et al. pourrait apparaître controversé, mais nous remarquons qu’elle a produit des résultats exploitables pour le calcul d’ordres de grandeur.
La théorie développée illustre une configuration à trois niveaux électroniques d’éner- gie. Elle a permis de mettre en exergue le facteur U :
U = γ
2
aωR 4Γω0A10
Nous supposons que le ratio avec la quantité r (ratio r −1r +1) n’est pas trop petit ; nous ne l’exprimons pas dans les formules pour U et nous admettons qu’un pompage ad hoc per- met de produire une valeur convenable pour celui-ci. Nous commentons ce facteur en guise de conclusion de ce chapitre. Pour disposer d’un réel abaissement du seuil de l’effet laser, il serait nécessaire d’avoir un taux de décroissance du niveau aγamodéré. Ce taux
est élevé au carré. Il faudrait imposer une forte pulsation de Rabi, soit en appliquant un champ électrique de grande amplitude, soit en exploitant une transition dipolaire élec- trique dite autorisée entre les deux sous-niveaux proches. Il faudrait aussi exploiter un matériau tel que la séparation en énergie entre de tels sous-niveaux proches soit la plus faible possible. Les démonstrations expérimentales réalisées afin de mettre en évidence l’effet laser sans inversions de populations impliquaient une transition dipolaire élec- trique autorisée entre les deux sous-niveaux de nature radiofréquence pouvant être is- sue d’une structure fine du spectre des énergies. Nous en comprenons mieux les raisons au vue du facteur U. Il reste à commenter le paramètre A10, c’est-à-dire la fréquence de relaxation ou taux de décroissance des deux sous-niveaux vers le niveau fondamental at- teint après une relaxation vibronique. En fait, c’est le temps très court de l’ordre d’une picoseconde du vidage des deux sous-niveaux proches vers le niveau fondamental qui est préjudiciable. Il faut trouver un matériau tel qu’il n’existe pas de relaxation vibronique entre les deux sous-niveaux proches et le niveau fondamental. Pour ce matériau, un ef- fet laser sans inversions de populations deviendrait alors plausible. Nous apportons une légère modification à l’expression du facteur U. Nous avons les formules :
Γ =γa 2 + A10 2 + γcol l i si ons U = γ 2 aωR 2ω0A210 (6.192)
Enfin, nous remarquons que la constante de relaxationΓ0introduisant une décohérence peut être éventuellement très grande. Pour notre théorie et notre description, cette dé- cohérence n’interviendrait pas dans l’expression du facteur U. Aussi, afin de trancher au moyen d’une expérience, il faudrait déterminer un matériau correspondant au cahier des charges suivant :
γa Taux de décroissance du niveau haut modéré
ωR Pulsation de Rabi du champ de cohérence grande
ω0 Séparation en énergie entre les deux sous-niveaux proches faible (peut être de na- ture radiofréquence)
Nous pensons que le principal intérêt du concept d’effet laser sans inversion de popu- lations serait d’avoir un effet laser à une autre longueur d’onde que 800 nm en favorisant l’emploi de cristaux différents du Ti :saphir. Indiquons que les autres matériaux actuel- lement utilisés pour les impulsions intenses sont les cristaux dopés ytterbium. D’autres cristaux pourraient être employés si notre concept était mis en application. En perspec- tives, nous rechercherons et nous essayerons de proposer des matériaux répondant au cahier des charges indiqué ci-dessus. Nous concluons, par le résultat très fort, que l’ef- fet laser sans inversions de populations ne saurait être mis en évidence pour le Ti :saphir au stade intermédiaire de nos réflexions. La présent exposé a néanmoins pu mettre en exergue l’importance d’une meilleure connaissance de la spectroscopie du Ti :saphir dans le domaine infrarouge lointain. Ainsi, il faudra déterminer la fluence de saturation du Ti :saphir dans la bande de longueurs d’onde incluant 17µm. De même, les influences de la température, de la largeur et de la forme spectrale de la fluorescence qui déterminent la quantité d01−d02devront être étudiées afin de juger de la plausibilité d’un effet LWI pour un matériau candidat. L’importance du fonctionnement en régime non-linéaire, qui n’a pas été envisagé ici, devra aussi être examinée.
Glossaire pour le chapitre (6)
Ai j Fréquences de relaxation en termes de populations
c Célérité de la lumière
e Charge de l’électron sans le signe
E0 Demi-amplitude du champ électrique du faisceau infrarouge de cohérence ou de pompage entre les deux sous-niveaux proches
E0 Amplitude du champ électrique
pab Élément de matrice de l’opérateur moment dipolaire électrique entre les états
indicés par a et b P Puissance de pompage
w Densité de puissance du faisceau infrarouge de cohérence ou de pompage entre les deux sous-niveaux proches
γ Cohérence entre les deux sous-niveaux proches pour une configuration à trois ni- veaux d’énergie (dans la section (6.1))
γµ Cohérence entre les deux sous-niveaux d’un atome indicé parµ
γ1,γa,γab,γ12 Dans le formalisme de Scully et al. désignent des fréquences de relaxa- tion
γ0 Partie stationnaire pour la cohérence entre les deux sous-niveaux proches pour une configuration à trois niveaux d’énergie
Γ,Γ0 Fréquences de relaxation (constantes dans les équations d’évolution de Bloch) δt Durée d’un pulse laser
²0 Permittivité du vide
κλ Facteur des pertes de la cavité laser ρ Opérateur matrice densité (sans unité) ˜
ρ Opérateur matrice de populations (en m−3)
σλ Conductivité électrique associée aux pertes de la cavité laser
ω Pulsation du champ électrique dans la cavité laser à état solide pour le cas traité par la théorie de Scully et al.
Conclusion
Je présente dans cette conclusion les différents résultats obtenus à l’issue de mes tra- vaux de thèse. J’expose ensuite quelques perspectives à mener. En particulier, j’évoque un concept qui pourrait faire l’objet d’une expérience. Cependant, je tiens à exposer une méthodologie systématique que je m’efforcerai de suivre scrupuleusement lors de mes travaux futurs. Je vais rendre explicite les prémisses de mes calculs menés aux chapitres (3) et (4).