Définition de la pulsation de Rabi

5.2 Équations du laser à deux niveaux ; selon H. Haken . . . 95

5.2.1 Equations de la matière . . . 95 5.2.2 Equation pour le champ électrique total . . . 99 5.2.3 Application de l’approximation séculaire . . . 102 5.2.4 Application de l’approximation de l’amplitude variant lentement . 103

5.3 Le seuil laser au moyen d’une équation séculaire . . . 105 5.4 Seuil d’un laser à deux niveaux selon Scully et al. . . 107

5.4.1 Système d’équations pour la matrice de population . . . 107 5.4.2 Résolution du système pour la matrice population : une équation

de van der Pol . . . 109

5.5 L’approche totalement quantique . . . 112

5.5.1 Les équations du laser à deux niveaux revisitées . . . 112 5.5.2 Le seuil laser revisité par une approche totalement quantique . . . 116

Lors de la mise en place des outils théoriques et leur application aux calculs précé- dents, un aspect innovant nous a apparu intéressant à considérer tout d’abord d’un point de vue théorique mais aussi d’un point de vue expérimental. Il s’agit de ce que nous nom- mons « système laser à 2 niveaux électroniques ». Pour un matériau laser tel que le Ti :sa- phir, nous examinons un système à quatre niveaux comptant deux niveaux électroniques dédoublés par les phénomènes vibroniques. Nous présentons la dérivation soignée des

équations du laser à état solide parce qu’elle sera reproduite au chapitre (6) qui traitera d’un système à trois niveaux électroniques. Pour les deux cas – un système décrit soit se- lon la théorie semi-classique soit selon celle qualifiée de totalement quantique – nous établissons les conditions de seuil de l’effet laser. Ces conditions comparent l’inversion totale non-saturée (qui est à rapprocher de la puissance de pompage) aux pertes de la ca- vité, aux taux de déphasage ou de relaxation des moments dipolaires électriques et à des constantes de couplage définies à partir des éléments de matrice de ces moments.

Ce chapitre est sans nouvel apport de notre part sinon la bonne démonstration de la concordance des conditions de seuil de l’effet laser déterminées par différents calculs et méthodes (selon H.Haken dans les paradigmes semi-classique ou totalement quantique et selon Scully et al. pour le cas semi-classique).

Les quatre premières sections exploitent le paradigme dit semi-classique. La dernière section utilise le cadre d’un traitement totalement quantique.

L’approche semi-classique est menée sur un système matériel quantifié et un champ électromagnétique manipulé comme une variable classique dépendante du temps. Elle permet entre autres l’établissement des conditions de seuil pour l’effet laser. C’est ce pro- blème qui a été traité.

5.1 Deux niveaux interagissent avec un champ électrique

5.1.1 Définition de la pulsation de Rabi

Nous considérons un champ électrique monomode. La pulsation de Rabi est une gran- deur fondamentale que nous retrouverons au chapitre (6) dans un nouveau contexte. La matrice de l’opérateur densité d’un système à deux niveaux est carré de rang deux. Elle est Hermitienne, aussi nous devons à priori prendre en compte trois variables. Cependant nous savons que la trace de cette matrice vaut 1 : c’est la traduction du caractère normé à 1 du vecteur d’état pur associé à la matière décrite par ce système à deux niveaux. Il suffit donc de manipuler deux variables pour" les équations de la matière". Ces variables sont la cohérence entre les deux niveaux (un nombre complexe) et une inversion de populations (un nombre réel). Nous rappelons brièvement la méthode de l’amplitude de probabilité décrite selon le point de vue de Schrödinger.

L’Hamiltonien du système se décompose comme suit :

a









Energies

a

b

















FIGURE5.1 – Energies du système à deux niveaux.

H0désigne l’Hamiltonien non perturbé. Nous supposons le problème de cet Hamil- tonien résolu ; cela signifie que nous connaissons son spectre et les vecteurs propres as- sociés. Nous considérons que les niveaux d’énergie sont non-dégénérés et mis en corres- pondance avec les kets propres |a〉 et |b〉. Le ket |a〉 correspondra au niveau de plus grande énergie. Ces kets représentant des états stationnaires de l’énergie ; ils sont indépendants du temps.

H1 désigne l’Hamiltonien d’interaction. Nous utilisons l’approximation du moment dipolaire électrique. Pour notre étude, cela a toujours du sens étant donné que nous avons exploité cette approximation mais en considérant un moment dipolaire électrique dit ré- siduel bien plus faible que ceux des transitions radiatives autorisées. Typiquement, les transitions dites autorisées ont des moments dipolaires de l’ordre de l’unité en Debye. Notre modélisation nous a fourni la valeur de 0.228 D soit environ 4 fois moins que celles des transitions autorisées. L’approximation dipolaire signifie que la longueur d’onde du rayonnement interagissant avec l’atome à deux niveaux est bien plus grande que les di- mensions de cette atome. Aussi, le champ électrique sera indépendant de la coordonnée spatiale ; ce champ sera déterminé à la position de l’atome.

Nous avons les équations aux valeurs propres pour H0:

H0|a〉 =~ωa|a〉 H0|b〉 =~ωb|b〉 (5.2)

H0 étant une observable, ses deux états propres forment une base de l’espace des états quantiques. Cela se traduit par une relation de fermeture ou de complétude |a〉〈a| +

|b〉〈b| = 1. Nous calculons :

H0=~ωa|a〉〈a| +~ωb|b〉〈b| (5.3)

H1s’évalue comme suit :

H1= e R · E(t ) (5.4)

où R désigne l’opérateur vecteur position qui selon le point de vue de Schrödinger est indépendant du temps. Dans ce chapitre, e note la charge de l’électron sans son signe : e est une constante positive. Le champ électrique est traité comme une variable classique ; il peut dépendre du temps. Nous spécialisons cet Hamiltonien selon l’axe de coordonnée x soit H1= e X · E(t ). Nous définissons pab= −e〈a|X|b〉 = p∗ba. L’Hamiltonien H1prend la

forme :

H1=¡pab|a〉〈b| + pba|b〉〈a|¢ · E(t) (5.5)

Nous avons supposé que le champ électrique était polarisé linéairement le long de l’axe des x et avait pour expression :

E(t ) = E · cos(νt) (5.6)

oùE désigne l’amplitude réelle du champ et ν = ck sa pulsation.

Le vecteur d’état, dépendant du temps, a pour expression générale :

|ψ(t )〉 = Ca(t )|a〉 + Cb(t )|b〉 (5.7)

L’équation fondamentale de Schrödinger est la suivante :

| ˙ψ(t)〉 = −i

~H|ψ(t)〉 (5.8)

D’où nous obtenons :

˙

Ca|a〉 + ˙Cb|b〉 = −i ωaCa|a〉 − i ωbCb|b〉 −

i

~

©p_abE(t )Cb|a〉 + pbaE(t )Ca|b〉

ª

(5.9)

En projetant sur la base des kets |a〉 et |b〉 : ˙ Ca= −i ωaCa− i |pba|E ~ e −i φ_{cos (νt) C} b C˙b= −i ωbCb− i |pba|E ~ e iφ_{cos (νt) C} a (5.10)

Nous définissons la fréquence de Rabi comme :

ΩR=

|pba|E