14.2 La cardioïde de base
Nous allons essayer de faire apparaître des zones particulières de l’ensemble deMandelbroten examinant les caractéristiques également particulières des différentes transformations fc. Dans cette section, nous nous intéressons à l’existence de points fixesattractifs pour ces fonctions. À la section13, nous avons défini le concept depoint fixe attractif et établi un résultat concernant la convergence de l’orbite d’un point vers un point fixe attractif. Ce résultat montre que les points fixes attractifs des transformations fc appartiennent à l’ensemble de Mandelbrot.
Cherchons pour quelles valeurs de c, la transformation fc admet un point fixe attractif.
Trouver les points fixes de fc revient à résoudre une équation du second degré : fc(z) =z⇔z2−z+c= 0
Une équation du second degré à coefficients complexes se résout de la même façon qu’une équation à coefficients réels. Les solutions sont
w1= 1 + (1−4c)1/2
2 et w2=1−(1−4c)1/2 2
Un point fixezd’une fonctionf est attractif si|f0(z)|<1. Comme fc(z) =z2+c, on af0(z) = 2z.
Ainsi, w1 et/ou w2 est/sont attractif(s) si |w1|<12 et/ou |w2|< 12.
Un cas particulier est celui d’une racine double.
Cela n’arrive que pour c = 14. Dans ce cas, w1 = w2 = 12. Puisque f1/40 1
2
= 1, il s’agit, pour f1/4 d’un point fixe indifférent (certaines orbites seront attirées, d’autres seront repous-sées). Voici la courbe de Julia J(0.25), avec une figure qui en montre les éléments impor-tants : le paramètre c= 14 et le point fixe de fc : w= 12. Il est à noter que ce point fixew appar-tient à la courbe de Julia (voir la section 7), même si la figure ne le montre pas.
Fig. 42 : J(c= 0.25)
Revenons au cas général. Commew1+w2= 1, on a1 =|w1+w2|6|w1|+|w2|. Il n’est donc pas possible que w1 etw2 soient tous les deux attractifs.
Nous allons déterminer de façon plus précise les positions des points fixes de fc. Dans ce but, nous travaillerons en coordonnées polaires (ρ, θ), mais des coordonnées polaires centrées non sur l’origine du plan, mais sur le point (14,0) (si on le considère comme un nombre complexe, il s’écrit simplement 14). Ce système de coordonnées permet de simplifier les calculs faisant intervenir la différence 1−4c. Par exemple en écrivant c=14+ρ(cosθ+isinθ), on a
1−4c=−4ρ(cosθ+isinθ) = 4ρ(cos(θ+π) +isin(θ+π)) Par conséquent, en utilisant la formule de Abraham De Moivre (1667 – 1754),
(1−4c)1/2 = 2√ un point fixe attractif si et seulement si √
ρ <
sinθ2
. Or pour le système de coordonnées utilisé, l’équationρ= sin2θ2 est celle d’une cardioïde. En revenant aux coordonnées cartésiennes usuelles, les équations paramétriques de cette cardioïde sont
Les points vérifiant l’inéquation √
ρ <
sinθ2
constituent l’intérieur de cette cardioïde. Nous le colorions en rouge sur la figure suivante.
Notons les points d’intersection de la cardioïde avec l’axe réel : 14 et −3
4. Nous avons déjà rencontré plus haut le premier de ces points, 14. C’est précisément la valeur de c pour laquelle la fonction fc n’admet qu’un seul point fixe. Nous y reviendrons bientôt.
La cardioïde et son intérieur sont inclus à l’ensemble de Mandelbrot
Fig. 43
Sur la figure43, nous avons replacé les pointsa, b, c, dde la figure37, pour constater qu’aucun de ces points n’est situé à l’intérieur de la cardioïde. Nous avons aussi inséré un pointe=−0.4+0.5i, très proche de c mais situé du côté intérieur de la cardioïde.
Voici (figure 44), la courbe de Julia associée à ce point e. La comparaison des figures 40 et 44 met en évidence la complication de la structure de la courbe J(c) par rapport à celle de J(e), une complication qui se répercute sur la netteté de la figure 40. Nous avons aussi placé d’autres éléments sur la figure 44. En premier lieu, vous découvrez l’emplacement du paramètre c =−0.4 + 0.5i qui détermine la courbe de Julia, ainsi que les emplacements des deux points fixes w1 etw2. Ces trois points sont colorés en noir et entourés d’un petit cercle.
Vous remarquerez qu’un des deux points fixes, w1 est sur la courbe de Julia elle-même, alors que le second, w2 est à l’intérieur de cette courbe. À cela correspond le fait que w1 est un point fixe répulsif, alors que w2 est attractif. Le calcul des valeurs absolues donne en effet
|w2|= 0.461. . . <0.5et|w1|= 1.388. . . >0.5. Des constatations de ce genre apparaissent chaque fois qu’on étudie une courbe de Juliadont le paramètrec est intérieur à la cardioïde de base : le point fixe attractif est intérieur à la courbe deJulia, le second point fixe est souvent répulsif, parfois indifférent mais toujours situé sur la courbe.
Fig. 44 : J(e=−0.4 + 0.5i)
Nous avons aussi voulu illustrer l’attractivité du point fixe attractif w2. Nous avons choisi un point situé à l’intérieur de la courbe, dans le premier quadrant, z0 = 0.3 + 0.1i, et nous avons calculé les vingt-cinq premiers éléments de l’orbite de ce point z0. Ces vingt-six points ont été positionnés sur la figure et colorés en bleu. Les six premiers sont accompagnés de leur numéro, de 0 à 5. (Marquer tous les points d’un numéro aurait rendu la figure illisible.) L’examen de ces vingt-six premiers points de l’orbite dez0 permet de vérifier que cette orbite converge vers le point fixe w2, ce qui est assez normal puisque ce point fixe est attractif. On voit de plus comment cette convergence « fonctionne » : quand elle passe du point z1 au point z2, l’orbite
« saute par dessus » w2. Même chose lors du passage de z2 à z3, puis dez3 à z4 et de z4 à z5. Les cinq points z1,z2, . . . ,z5 sont les sommets d’un pentagone étoilé. Après z5, on retrouvez6
sur un arc de spirale allant de z1 à w2. Il en va de même pour z7, etc. Ainsi, les points z1, z2, . . . se répartissent sur cinq arcs de spirales aboutissant au point fixe, mais à chaque itération de la fonctionfc, le point « courant » passe d’un arc de spirale à un autre tout en tournant autour de l’objectif w2.
L’examen de l’orbite de z0 met en lumière qu’une courbe fractale, objeta priori très irrégulier, peut très bien être associée à des régularités importantes. Gardons-nous cependant de croire que ces régularités sont systématiques !
Examinons les points d’intersection de la cardioïde avec l’axe réel.En tant que points frontières de certaines zones de l’ensemble de Mandelbrot, ces points ont des propriétés particulières.
Considérons d’abord le cas du paramètre c =14 pour lequel nous avons vu qu’il n’existe qu’un point fixe, de multiplicité 2, w = 12. Ce point fixe n’est pas attractif puisque fc0(w) = 1. Ce-pendant, les orbites issues de points intérieurs à la courbe de Julia J(14) convergent vers w, comme le montre la figure suivante sur laquelle nous avons esquissé deux orbites, l’une en bleu et l’autre en vert.
Fig. 45 : J(0.25)
L’autre point d’intersection de la cardioïde avec l’axe réel est le point d’abscisse −43. Voici donc la courbe J(−0,75), munie des indications analogues aux précédentes.
Fig. 46 : J(−0.75)
On remarque d’abord la symétrie de la courbe deJuliapar rapport à l’axe réel. Cette symétrie est due au fait que le paramètre cest réel, elle apparaissait déjà dans la figure précédente. Mais surtout on remarque que cette courbe est la juxtaposition de plusieurs courbes plus ou moins circulaires axées sur l’axe réel et tangentes entre elles. (Le dessin n’est pas assez précis pour montrer correctement les zones où deux de ces cercles approximatifs sont tangents.) De plus tout au long de ces « cercles » on note également un foisonnement d’autres formes plus ou moins circulaires et de tailles variables. Ces caractéristiques méritent une analyse en profondeur pour
laquelle le lecteur est invité à consulter des ouvrages spécialisés tels que la bible de Peitgen, Jürgens et Saupe, [33].
On retrouve aussi les deux points fixes, w1 = 1.5 (répulsif) et w2 = −0.5 (indifférent). Et l’esquisse de l’orbite d’un point z0 logé dans une protubérance en haut à droite. Cette position du point z0, par sa proximité avec la courbe de Julia amène un positionnement assez bizarre des points z1, z2 et z3. À partir du point z4, la disposition devient beaucoup plus régulière et la convergence vers w2 est claire, avec toutefois une alternance des points sur deux spirales de part et d’autre du point fixe.