Raconte-moi des histoires...
de fractals
Guy Noël Jean-Marc Desbonnez
Société Belge des Professeurs de Mathématique d’expression française
2020
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m aire o S
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m aire 0 Préface . . . . 6
1 Des objets fractals . . . . 10
1 Un sujet à la mode ! . . . 10
2 1875 : Karl Weierstrass (1815 – 1897) et les fonctions continues non dérivables . . 11
3 1883 : Georg Cantor (1845 – 1918) et son ensemble triadique . . . 12
4 1890 : Giuseppe Peano(1858 – 1932) et la courbe qui remplit un carré . . . 13
5 1904 : Niels Helge von Koch (1870 – 1924) et une nouvelle fonction continue non dérivable . . . 14
6 1916 : Waclaw Sierpinsky (1882 – 1969) et son tapis . . . 14
7 1918 : Gaston Julia(1893 – 1978), Pierre Fatou (1878 – 1929) et les itérations de fonctions rationnelles . . . 16
8 1919 : Félix Hausdorff (1868 – 1942) invente le concept de dimension fractionnaire 20 9 Qu’est-ce qu’un fractal ? . . . 23
10 Des courbes irrégulières . . . 23
11 Les fractals auto-semblables . . . 25
12 Des invariants . . . 27
13 La dynamique d’une transformation de C . . . 29
14 L’ensemble de Mandelbrot . . . 30
14.1 Quelques orbites dans la situation de Mandelbrot . . . 31
14.2 La cardioïde de base . . . 33
14.3 Une composante hyperbolique . . . 38
14.4 D’autres composantes hyperboliques . . . 41
2 Vol au-dessus d’un nid imaginaire . . . . 43
1 Le langage Ruby . . . 43
1.1 Installation et mise en place sous MacOs . . . 43
1.2 Installation et mise en place sous Windows . . . 43
1.3 Utilisation en mode interactif sous MacOs . . . 44
1.4 Utilisation en mode interactif sous Windows . . . 44
1.5 Les opérations arithmétiques de base . . . 44
1.6 Quelques calculs mathématiques un peu plus poussés . . . 45
1.7 Ruby en mode « éditeur » . . . 45
2 Le lapin d’Adrien Douady . . . 46
2.1 Le complexe du lapin . . . 46
2.2 La naissance du lapin . . . 48
3 Les ensembles de Gaston Maurice Julia . . . 48
4 Un 3 qui change les choses . . . 51
5 Après la musique, la partition . . . 52
5.1 Un module graphique pourRuby . . . 52
5.2 Déclaration des paramètres graphiques . . . 52
5.3 La fenêtre graphique . . . 53
5.4 Une image est une matrice de pixels colorés . . . 54
5.4.1. La couleur . . . 54
5.4.2. La « matrice » image . . . 55
6 L’ensemble de Mandelbrot . . . 58
7 Le format (R,G,B) en hexadécimal . . . 61
7.1 Exigences du module graphique « Tk » . . . 61
7.2 Code Ruby . . . 61
8 « Vitesse d’échappement » d’un complexe . . . 62
9 Les ensembles de Julia . . . 65
10 Les limites du format (R,G,B) . . . 69
11 Le format (H,S,L) . . . 70
12 (R,G,B)... le retour . . . 77
13 (H,S,L)... le retour aussi . . . 80
3 Bassins d’attraction et fractals de Newton . . . . 82
1 La méthode de Newton-Raphson . . . 82
2 Valeur approchée de racines complexes . . . 84
3 Bassins d’attraction . . . 87
4 Autres fonctions, autres fractals, autres couleurs... . . 90
4.1 f(z) =z5−1 . . . 90
4.2 f(z) =z3−z . . . 91
4.3 f(z) =z4+ 2 . . . 92
4.4 f(z) =z8+ 15z4−16 . . . 93
5 Désopilant... . . 94
6 Bonus : créer des instructions LATEX avec le tableur . . . 94
4 L-systèmes, en Logo et Python . . . . 97
1 Système de Lindenmayer . . . 97
2 L-système et langage Logo . . . 98
3 La courbe de Heighway . . . 99
4 La courbe de Lévy . . . 103
5 Le terdragon . . . 104
6 La courbe de Gosper. . . 105
7 Une courbe de von Koch . . . 108
8 La courbe du triangle de Sierpinski . . . 109
9 La courbe et le fractal de Cesàro . . . 111
10 Des arbres et des taillis . . . 114
10.1 Nouvelles primitives Logo . . . 114
10.2 Programme principal et sauvegarde (push) . . . 115
10.3 Restauration (pop) . . . 116
10.4 Arbres, branches et taillis . . . 116
5 Rien que pour les yeux . . . . 121
6 Fractals de type IFS . . . . 128
1 Les outils du serpent . . . 128
2 La fougère de Barnsley . . . 129
3 La spirale IFS . . . 132
4 Le dragon IFS . . . 133
5 Un arbre IFS . . . 134
6 La feuille d’érable . . . 135
7 Le triangle de Sierpinski . . . 135
8 Un sapin . . . 136
9 Un cristal . . . 137
10 Le pentagone de Dürer . . . 137
11 Le quintet de Mandelbrot . . . 138
12 Le scorpion . . . 138
13 La grenouille . . . 139
14 L’apprenti-sorcier . . . 139
15 Julia, le retour . . . 140
7 Python vs Ruby . . . . 143
8 Psychédélique . . . . 152
1 Méthode « max » et couleurs RGB . . . 152 2 Coloration intérieure et couleurs RGB . . . 154
Guy Noël Chapitre 0
Préface
Le mot « fractal » est apparu, sous la plume de BenoitMandelbrot(1924 – 2010), voici à peu près un demi-siècle. Son statut grammatical, en français, n’a pas toujours été clair. Actuellement on considère qu’il s’agit d’un adjectif, ce qui permet de l’employer au féminin, dans « image fractale », et au masculin, dans « objet fractal ».
S’agissant d’un concept mathématique, on s’attend à ce que l’expression « objet fractal » fasse l’objet (sic) d’une définition précise. C’est loin d’être le cas. Déjà le mot « objet » n’est pas très clair. On pourrait le remplacer par « partie d’un plan euclidien », car les objets fractals1les plus fréquemment rencontrés sont bien inclus dans un tel plan. Il est toutefois nécessaire d’envisager des parties d’un espace euclidien : on considère parfois les nuages comme des objets fractals ! On étendra donc l’univers des objets fractals aux espaces vectoriels euclidiens de dimension (finie ?) quelconque. Mais ce qui est encore moins clair que le mot « objet », c’est l’adjectif
« fractal » ! Voyons ce qu’en pense Wikipedia:
Un objet fractal possède au moins l’une des caractéristiques suivantes :
• sa dimension de Hausdorffest strictement supérieure à sa dimension topologique. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d’un objet fractal. [. . . ]
• il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
• il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
• il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c’est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties.
La première de ces caractéristiques est la plus précise des quatre. Encore faut-il savoir comment calculer ces dimensions « deHausdorff» et « topologique ». Les trois autres caractéristiques mentionnées sont intéressantes mais très imparfaites. Par exemple un segment de droite est bien évidemment semblable à une (et même à beaucoup) de ses parties. Il ne viendra cependant à personne l’idée de considérer qu’un segment de droite est fractal ! Nous dirons simplement que les courbes fractales sont des courbes particulièrement peu régulières. Une des façons de mesurer cette irrégularité est d’utiliser la dimension de Félix Hausdorff (1868 – 1942).
Et ceci nous amène à un point de rencontre entre l’art et la mathéma- tique. Car Félix Hausdorff (1868 – 1942), mathématicien allemand, spécialiste de la théorie des ensembles et de la topologie, était aussi, sous le pseudonyme de « Doktor PaulMongré» un auteur de poèmes, d’ouvrages philosophiques et même d’une pièce de théâtre à succès. En 1919, Hausdorff publie dans les Mathematische Annalen un article dans lequel il présente une nouvelle théorie de la dimension d’une partie du plan. La première caractéristique de la dimension de Hausdorff est qu’elle n’est pas nécessairement un nombre entier.
1. Personne ne semble considérer que le pluriel de « fractal » soit « fractaux ».
Si une courbe régulière telle un cercle ou une droite est de dimension 1, par contre d’autres parties du plan ayant autant de droits à s’appeler des « courbes » ont une dimension fraction- naire comprise entre 1 et 2. Plus la dimension d’une courbe est proche de 2, plus cette courbe a tendance à remplir le plan ou tout au moins une partie de celui-ci telle qu’un carré ou un disque.
Après la guerre de 1914–1918, Hausdorff s’est consacré exclusivement aux mathématiques.
Cet homme cultivé avait aux yeux de l’Allemagne hitlérienne le grave défaut d’être juif. Il s’est suicidé avec son épouse le 26 janvier 1942 afin d’échapper à la déportation par les nazis.
Dans les années soixante,Mandelbrots’intéresse à des figures très irrégulières pour lesquelles il invente le nom de « fractal ». Né à Varsovie, docteur en mathématiques de l’Université de Paris en 1952, élève de Paul Lévy (1886 – 1971) et neveu de cet autre grand mathématicien que fut JeanLeray(1906 – 1998),Mandelbrots’installe en 1958 aux Etats-Unis où il est engagé par la Société IBM. Déjà auparavant, il s’était intéressé à des courbes particulièrement irrégulières, des courbes que nous pourrions même qualifier de déchiquetées. Mandelbrot avait exhumé un vieux texte d’un excentrique anglais, Lewis Fry Richardson (1881 – 1953), qui avait essayé de mesurer la longueur de la côte de l’Angleterre. Mesurant cette longueur sur une carte géographique, Richardson avait observé que plus l’échelle de la carte était grande, plus il trouvait une longueur élevée. Dans ces conditions, il devenait finalement difficile d’attribuer une longueur à la côte de l’Angleterre. Inutile de dire que l’emploi du système impérial de poids et mesures, s’il ne simplifiait pas les calculs, n’était cependant pas responsable du phénomène.
C’est surtout le caractère découpé de nombreuses portions du littoral britannique qui porte cette responsabilité. Inspiré par cet exemple, et quelques autres analogues, Mandelbrot se lance dans une étude mathématique expérimentale, redécouvre un certain nombre de fractals connus et portant les noms de mathématiciens célèbres tels Georg Cantor (1845 – 1918), Giuseppe Peano (1858 – 1932), Niels Helge von Koch (1870 – 1924), Waclaw Sierpinsky (1882 – 1969). Il en introduit aussi de nouveaux et finit par associer le caractère fractal d’une courbe au fait que celle-ci ait une dimension de Hausdorff fractionnaire.
Plus tard, Mandelbrot, [27], désavoue un peu cette définition. Plus exactement, il lui attri- bue un caractère politique. En effet, explique-t-il, pour ses besoins pratiques, il avait inventé plusieurs concepts nouveaux de dimension dont la valeur est en général une fraction. Mais aucune revue ne voulait publier d’article consacré à des notions aussi étranges, aussi « surréa- listes ». C’est alors, pour se faire publier, qu’il eut l’idée d’utiliser la dimension de Hausdorff également fractionnaire et surréaliste mais bénéficiant de la caution représentée par le nom de Hausdorff. Se plaçant sous une bannière recommandable et incontestée, Mandelbrot voyait ses articles acceptés pour publication. C’est là une histoire peu morale mais qui nous montre qu’en mathématique aussi, il faut parfois ruser pour se faire entendre.
Nous l’avons dit plus haut, Mandelbrot est surtout un mathématicien expérimentateur, un homo mathematicus experimentalis. Cette variété de l’espèce homo mathematicus a été domi- nante durant des siècles mais elle fut concurrencée par une autre variété, l’homo mathematicus theoreticus qui avait réussi à prendre le dessus. Depuis l’apparition et le développement des ordinateurs, on a assisté à un retour en force de l’homo mathematicus experimentalis. Il ne faut cependant pas s’attendre à la disparition de l’homo mathematicus theoreticus, mais plutôt à l’apparition d’une nouvelle espèce : l’homo mathematicus mathematicus.
Pour en revenir à Mandelbrot, il s’est essentiellement consacré à définir et observer de nouveaux objets fractals, se souciant assez peu d’élaborer une théorie mathématique cohérente, laissant à d’autres le soin de systématiser. Mais il chercha constamment des exemples naturels de fractals. Plus exactement, il chercha à élaborer des fractals qui modélisent du plus près possible des phénomènes naturels, qu’il s’agisse de la côte anglaise ou du bassin d’un fleuve, des
poumons d’un être humain ou du réseau vasculaire d’une plante. Et sa recherche s’est même étendue au domaine de l’économie. On constate que, dans toutes les disciplines scientifiques, des phénomènes complexes très difficiles à maîtriser auparavant se laissent modéliser de façon raisonnable par des fractals et deviennent ainsi susceptibles d’un traitement mathématique approfondi. On conjecture que la complexité de certains phénomènes naturels pourrait provenir non de lois ou de règles également complexes, mais d’une très grande répétition de règles simples aisément mathématisables. La mathématique remplit ainsi l’une de ses obligations, elle contribue à l’approfondissement de la connaissance du monde dans lequel nous vivons en fournissant des outils relativement simples qui permettent néanmoins d’étudier des phénomènes complexes. Le mouvement est lancé. Actuellement, des applications existent, notamment dans le domaine de la synthèse d’images. On peut dessiner, ou plutôt faire dessiner par un ordinateur, des paysages fractals comportant montagnes, plaines, lacs et rivières. Ces scènes imaginaires, qui n’existent que dans la mémoire des ordinateurs, apparaissent d’un réalisme extrême et leur emploi est aujourd’hui systématique lors de la création de décors pour des films d’animation.
Avec la synthèse d’images, nous voici revenus tout près du contenu de cette brochure électro- nique. Car les images qui y sont présentées ont été réalisées sur ordinateur. Elles viennent à propos pour illustrer une autre caractéristique du développement des mathématiques : la beauté.
L’aspect esthétique d’un objet, d’une théorie est un puissant facteur de motivation pour le ma- thématicien qui, reconnaissons-le, n’étudie jamais un sujet quelconque que pour se faire plaisir à lui-même. Nous avions oublié de préciser que toutes les variétés d’homo mathematicus ont un ancêtre commun, l’homo mathematicus estheticus.
À ces images est également associé le nom de Mandelbrot. Vers 1978, celui-ci s’intéressait à une certaine catégorie de fractals dont nous n’essaierons pas de donner une idée dans cette préface. En 1980, il faisait surgir du néant, ou plutôt des circuits d’un ordinateur, un ensemble qui depuis lors porte son nom. Les concepts qui y sont associés et les images que vous verrez dans la présente brochure en donnent très synthétiquement une idée partielle. Probablement, ce qui intéressera le plus grand nombre de lecteurs, ce sont les images elles-mêmes. Beaucoup sont des agrandissements de parties de l’ensemble de Mandelbrot, mais pas toutes. L’ensemble lui-même est constitué de points noirs, tout au moins sur les photos polychromes. D’autres points sont peints en des couleurs variables qui peuvent être interprétées de diverses façons. À l’intention de ceux qui se souviennent de ce qu’est un potentiel électrique, nous pouvons proposer une interprétation de nature physique. Imaginez un corps métallique chargé électriquement ayant la forme de l’ensemble de Mandelbrot. Les courbes séparant deux zones de couleurs différentes pourraient être des courbes équipotentielles, « tout simplement ».
Mais ces images ont-elles besoin d’un contexte mathématique ou physique pour être admirées ? Ne pouvons-nous nous contenter d’admirer leurs arabesques et d’apprécier le travail de l’artiste qui les a créées ? Car si ces images sont engendrées par un procédé mathématique et informatique simple et régulier, c’est néanmoins l’homme, le programmeur dans ce cas-ci, qui a choisi les couleurs et les paramètres et la zone à agrandir. Au lecteur de les interpréter selon ses goûts.
Pour présenter le sujet des objets fractals, les auteurs de cette brochure électronique ont re- cherché les articles de Mathématique et Pédagogie et de Losanges qui y avaient été consacrés.
Ils n’ont ainsi abordé que les rudiments de la théorie, tels qu’ils existaient déjà dans les années 1980. Depuis lors de nombreuses et volumineuses publications ont considérablement approfondi le sujet. Le lecteur intéressé trouvera dans la bibliographie de quoi meubler ses loisirs.
La première partie de cette brochure repose sur un article d’un des auteurs, [30], publié en 1990 dans Mathématique et Pédagogie. Cet article a été étendu et actualisé afin de mieux présenter les connaissances et de de tenir compte de l’évolution des technologies. Pour les parties
suivantes, Jean-MarcDesbonneza utilisé plusieurs langages de programmation (Ruby,Logoet Python) pour dessiner des figures qualifiées aussi bien de « monstrueuses » que de « sublimes ».
Les différents scripts sont détaillés et expliqués, et l’accent est mis particulièrement sur leur traitement par la couleur, ce qui permet de leur donner un aspect encore plus « féerique ». Ces parties reprennent des éléments déjà publiés en 2015 et 2016 dans Losanges ([16], [15], [17]).
Les deux parties étant dues à deux auteurs différents et ayant été publiées avec 25 ans d’écart, le lecteur pourra constater d’inévitables différences dans le style, le vocabulaire, les notations. Il relèvera sans doute aussi des retours dans une des parties sur un sujet déjà traité dans l’autre.
Les auteurs espèrent que ces défauts ne gêneront pas sa lecture.
Guy Noël Chapitre 1
Des objets fractals
Une première version du présent texte a été publiée en 1990 dans le numéro 77 de Mathématique et Pédagogie. Nous l’avons aménagé et complété afin de tenir compte du changement de contexte.
1
1 Un sujet à la mode !
Dans les années 80, les objets fractals1 étaient à la mode. Ils avaient été « popularisés » par Be- noitMandelbrot (1924 – 2010) dans son ouvrage principal, [27]. Les publications sur le sujet s’étaient multipliées. Des bandes videos, des programmes informatiques existaient, aux titres évocateurs : « mandelvroom, promenades deJulia, attracteurs étranges. . . ». Et le phénomène débordait du cadre limité des mathématiciens et autres scientifiques. Des émissions de télévision donnaient la parole au « père fondateur », Benoit Mandelbrot. Des revues de vulgarisation publiaient des articles abondamment illustrés. Des expositions parcouraient l’Europe. . .
La raison de cet engouement était simple : les fractals sont souvent des objets extrêmement spectaculaires, d’une beauté saisissante. Le mathématicien peut apprécier la beauté et la sim- plicité de la mathématique sous-jacente, alors que le profane ne retient que l’aspect esthétique
« extérieur ». Ne nous plaignons pas : il n’est pas si fréquent que des non-scientifiques soient touchés par un sujet mathématique.
Une chose est certaine : sans la micro-informatique, les fractals n’auraient pu être étudiés que par les privilégiés ayant accès aux gros ordinateurs disposant de capacités graphiques. Sans aucun ordinateur, jamais les fractals n’auraient été connus en dehors des milieux scientifiques. Et ils auraient vraisemblablement été considérés comme des objets monstrueux, difficiles à maîtriser.
On peut même aller plus loin : sans ordinateur, c’est-à-dire sans la capacité de représenter graphiquement des fractals, bien peu de personnes se seraient intéressées au sujet et beaucoup moins de résultats théoriques seraient disponibles. Encore que même maintenant, il est malaisé de parler d’une « théorie des fractals » qui soit structurée comme le sont en général les théories mathématiques. Ce n’est pas la première fois que l’informatique permet à la mathématique de progresser. Ce n’est sans doute pas la dernière non plus.
Si les fractals sont devenus très attrayants après 1980, il serait excessif de croire que c’étaient là des objets vraiment nouveaux. Dans [27], Benoit Mandelbrot (1924 – 2010) cite à de nom- breuses reprises les travaux de nombreux mathématiciens du ixesiècle et, dans un aperçu his- torique, il remonte même à Aristote(384 – 322 av. J.C.). Le grand mérite de Mandelbrot, à partir des années 70, a été d’exhiber toute une série d’objets fractals, anciens et nouveaux,
1. Nous dirons simplement les « fractals ».
d’en créer lui-même un grand nombre, de les populariser, d’en systématiser la présentation et de leur donner un nom : fractal. Ce faisant, il a donné à l’étude des fractals l’impulsion qui a permis de réaliser des progrès spectaculaires et des applications non négligeables.
Comme nous n’avons pas l’intention de faire dans cet article un exposé historique systématique, nous nous contenterons de mentionner quelques fractals « anciens » et quelques dates. Pour ne pas faillir à la tradition, cet article est illustré de quelques images que l’on espère intéressantes.
Les ouvrages mentionnés dans la bibliographie en contiennent bien d’autres.
2
2 1875 : Karl Weierstrass (1815 – 1897) et les fonctions continues non dérivables
Weierstrass donne le premier exemple de fonction qui est continue en tout point de son domaine et qui n’est dérivable en aucun point de celui-ci, exhibant ainsi un « monstre » dont certains mathématiciens parmi les plus grands se « détournent avec horreur »2. Le graphe d’une telle fonction est un ensemble très irrégulier, un fractal.
Fig. 1 : Approximation d’une fonction de Weierstrass
W(x) =
∞
X
n=0
1
2ncos 7nπx
2. On connaît la réaction de CharlesHermite(1822 – 1901) à ce sujet.
La figure n’est qu’une approximation de la fonction deWeierstrasscar celle-ci étant la somme d’une infinité de termes, le calcul exact serait trop coûteux en énergie ! En fait, on s’est contenté de calculer la somme des sept premiers termes. Remarquons que, quelle que soit la valeur de la variable x, le ne terme de la somme est inférieur en valeur absolue à 21n. Comme la série numérique P+∞
0 1
2n est convergente, nous pouvons affirmer que la série de fonctions W(x) est uniformément convergente, ce qui entraîne la continuité de cette fonction. La non-dérivabilité en tous les points du domaine se « fait sentir » par le fait que chaque terme de la série apporte au graphique des pics de plus en plus nombreux et de plus en plus pointus. Une preuve plus rigoureuse est aussi plus difficile.
3
3 1883 : Georg Cantor (1845 – 1918) et son ensemble triadique
L’ensemble « triadique » deCantorest l’ensemble des réels appartenant à l’intervalle [0,1] qui en base 3 admettent un développement ne comportant que des 0 et des 2. Par exemple, 1/4 est un élément de l’ensemble de Cantor car en base 3, 1/4 s’écrit 0,020202. . . . 1/3 est aussi un élément de cet ensemble car 1/3 admet en base 3 deux développements : 0,1 et 0,02222. . . . Le second ne comporte que des 0 et des 2. On peut visualiser l’ensemble triadique de Cantoren une infinité d’étapes : on part du segment [0,1], on le divise en trois parties égales et on enlève le segment ouvert du milieu :]1/3,2/3[. On supprime ainsi tous les réels dont le premier chiffre du développement en base 3 est nécessairement 1.
Il reste alors deux segments fermés de longueur 1/3. On applique le même traitement à chacun d’entre eux et on obtient quatre segments de longueur 1/9, en ayant supprimé tous les réels dont le deuxième chiffre du développement est nécessairement 1. En continuant de la sorte, pour tout naturel n on obtient 2n segments de longueur 1/3n. Mais chaque segment est remplacé à l’étape suivante par deux autres segments trois fois plus petits. Et quand on atteint l’infini (hum !), il ne reste plus que les réels admettant un développement ne comportant aucun chiffre 1 ; l’ensemble restant est de longueur totale égale à 0 car la somme des longueurs de tous les intervalles supprimés vaut 1 :
1
3+ 2×1
9+ 4× 1
27+ 8× 1
81+· · ·=1 3
∞
X
n=0
2 3
n
=1 3
1 1−2
3
= 1
Fig. 2
La figure 2 présente en noir le segment fermé[0,1]et en-dessous, en rouge, quelques points de l’ensemble deCantor. Si on visualise très bien les « trous » de cet ensemble qui correspondent aux segments ouverts ]13,23[, ]19,29[, ]79,89[, ]271 ,272[, . . ., et même ]811 ,812[, . . ., on ne peut guère aller « plus en profondeur », faute d’une résolution graphique suffisante. Il est aisé de construire une bijection du segment [0,1] sur l’ensemble de Cantor : on écrit chaque élément de ce segment en base deux, le développement ne contient que des 0 et des 1. On remplace tous les 1 par des 2 et on obtient ainsi un développement en base 3 d’un réel appartenant à l’ensemble deCantor.
L’ensemble triadique deCantor(appelé la « poussière » deCantor) est aussi un « monstre » : sa longueur estnulleet cependant, il contient autant d’éléments que le segment [0,1] lui-même !
4
4 1890 : Giuseppe Peano (1858 – 1932) et la courbe qui remplit un carré
Peano construit une courbe qui passe par tous les points d’un carré, alors qu’à l’époque, personne ne croyait cela possible. L’existence d’un tel objet oblige à distinguer très clairement la courbe de chacune de ses paramétrisations3
( x=f(t) y=g(t)
Les fonctions f et g sont définies et continues sur un intervalle fermé, par exemple [0,1], et à valeurs dans[0,1]. La courbe image de la fonction(f , g)de[0,1]dans [0,1]×[0,1]est un carré (passe par tous les points d’un carré).
En tant que partie du plan, il est facile de dessiner la courbe dePeano(figure6). Par contre on ne peut dessiner que des approximations de cette courbe si on veut mettre la paramétrisation en évidence.
Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5
Quelques étapes de la construction de la courbe de Peano. . . . . . et le résultat final.
Fig. 6
3. Une paramétrisation d’une courbe est une fonction définie sur un intervalle de la droite réelle et dont l’image est la courbe. Une courbe peut être paramétrée de nombreuses façons différentes. Les propriétés de la courbe doivent être indépendantes de la paramétrisation. On utilise parfois le nom decheminpour désigner une paramétrisation d’une courbe.
5
5 1904 : Niels Helge von Koch (1870 – 1924) et une nouvelle fonction continue non dérivable
von Koch connait les fonctions « partout continues mais dérivables nulle part » construites par Weierstrass, mais il est « mal à l’aise » devant ces monstres. Il n’est certes pas le seul.
Il est d’autant plus mal à l’aise qu’il voudraitvoir ces courbes, alors que leur définition comme somme de séries convergentes ne le lui permet pas. La technologie de l’époque ne permettait vraisemblablement d’en dessiner que de grossières approximations. Aussi von Koch cherche à construire géométriquement de telles courbes. Et il y parvient ! Ce sera la courbe de von Koch. Comme la courbe de Peano, elle est construite itérativement en une infinité d’étapes.
Le graphique est bien connu. (Si on applique la même procédure aux trois côtés d’un triangle équilatéral, on obtient le flocon de von Koch.) En voici les premières étapes :
Fig. 7 Fig. 8
Fig. 9 Fig. 10
6
6 1916 : Waclaw Sierpinsky (1882 – 1969) et son tapis
Sierpinsky publie en 1916 un article en russe d’une vingtaine de pages dans lequel il construit une partie du plan ayant une pro- priété universelle : elle contient « une image biunivoque et continue de toute courbe don- née ».4Cette partie du plan, c’est son célèbre tapis dont nous décrivons la construction ci- dessous.
Nous noteronsT S le tapis deSierpinsky. Il est la réunion de 8 parties qui lui sont sem- blables. De plus les intérieurs de ces 8 parties (les distinguez-vous ?) sont deux à deux dis- joints. Quant aux rapports de similitudes, ils sont égaux à 13.
Fig. 11 : Une approximation du tapis de Sierpinski
4. Un résumé en français est paru dès 1916 dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences de Paris,
Cette propriété d’auto-similitude peut être exploitée en vue d’écrire un programme informatique simple qui construit le tapis. Nous reviendrons sur cette possibilité dans la suite. Commençons par indiquer une construction de T S ne faisant appel à aucune similitude.
Le tapis peut être construit en choisissant d’abord un carré deR2, par exemple le carré « unité » [0,1]×[0,1].Sierpinskyutilise la méthode qui a été utilisée à la section3pour la construction de l’ensemble triadique deCantor. Comme dans le cas de celui-ci, il écrit les coordonnées de tout point en numération de base 3. Par exemple, l’abscisse du point (0.2,0.2) vaut 23 et son ordonnée aussi (nous n’écrirons pas les fractions en numération de base 3). Rappelons au passage que, en base 3, les deux expressions 0.1 et0.022222. . . désignent le même nombre 13. Ensuite, en une infinité d’étapes, on construitT S par suppressions successives de « sous-carrés ».
Les figures ci-dessous guideront le lecteur dans cette procédure.
Fig. 12 Fig. 13
Remarquez d’abord que les côtés du carré unité sont gradués en utilisant la numération de base 3. Par exemple, le nombre 13 est noté 0.1. Nous aurions aussi pu le noter 0.02222. . . mais cela prend trop de place. Nous commencerons par supprimer le carré central de la figure 12.
Ce carré, noté A est délimité par les segments horizontaux et verticaux, dessinés en pointillé, qui permettent de diviser le carré unité en neuf carrés de taille 13 ×1
3. Tous les points de ce carré A ont des coordonnées comprises entre 0.1 et 0.2. Le premier chiffre « ternaire » (nous ne pouvons pas parler de « chiffre décimal » !) de l’abscisse et de l’ordonnée de chacun de ces points est1. (Même le premier chiffre ternaire de0.2peut être considéré comme étant1puisque 0.2 = 0.12222. . ..) Nous venons d’énoncer le critère à utiliser à chaque étape de la construction du tapis de Sierpinski :
• À la première étape, (figure 12), nous supprimons tous les points du carré unité dont abscisse et ordonnée ont 1comme premier chiffre ternaire. C’est le carré Aqui disparaît.
• À la deuxième étape, (figure13), nous supprimons tous les points subsistants dont abscisse et ordonnée ont 1 comme deuxième chiffre ternaire. Ce sont les carrés B, C, D, E,F, G, H et I qui disparaissent.
• . . .
voir [34].
• À la neétape, nous supprimons tous les points subsistants dont abscisse et ordonnée ont 1 commene chiffre ternaire.
• . . .
Les contraintes du dessin (figure 11) nous empêchent de réaliser cette construction au-delà de la troisième étape. L’auto-similitude apparaît néanmoins nettement sur la figure suivante. Le tapis deSierpinsky est la partie colorée en rouge, les traits blancs délimitent les huit parties semblables au tout.
Fig. 14
7
7 1918 : Gaston Julia (1893 – 1978), Pierre Fatou (1878 – 1929) et les itérations de fonctions rationnelles
Gaston Juliaet Pierre Fatou ont, simultanément mais indépendamment l’un de l’autre, tra- vaillé, sur le sujet des itérations de fonctions rationnelles.5 Ils font apparaître des ensembles particulièrement « biscornus ». À l’époque, personne ne disposait d’ordinateurs ! Julia et Fatou étaient donc incapables de visualiser les objets de leur étude. Leur mérite n’en est que plus grand ! Le nom de Julia a été attribué à certaines courbes engendrées par itération, le nom de Fatou allant à des parties du plan complexe dont la frontière est une courbe de Julia.
L’itération dont il s’agit associe à tout nombre complexe c une suite de fonctions fn:C→C: z7→fn(z), définies de façon récurrente :
( f0(z) =z
fn+1(z) =fn2(z) +c
Pour une valeurz0 dez, on obtientf0(z0) =z0,f1(z0) =z20+c,f2(z0) = (f1(z0))2+c= (z20+c)2+c, etc. À toute valeur de z0, on associe ainsi une suite numérique : (zn)n∈N définie par récurrence
5. Pour plus de détails historiques, on consultera le site internethttp://mathshistory.st-andrews.ac.uk.
à partir de deux paramètres, z0 etc :
zn+1=z2n+c
Une telle suite s’appelle l’orbite du point z0 pour la transformation z7→z2+c. Par exemple, si c=i, et z0= 1, l’orbite dez0 est la suite
(zn)n∈N= (1,1 +i,3i,−9 +i,80−17i, . . .)
On constate que les valeurs absolues des nombres zn deviennent de plus en plus grandes : la suite n’est pas bornée.
Mais si z0=i et si on conserve la valeur i pour c, on obtient la suite (zn)n∈N= (i,−1 +i,−i,−1 +i,−i, . . .) Cette fois, la suite est bornée : quel que soit n, on a |zn|6
√2. De plus, cette suite est pré- périodique de période 2 : à partir de z3, les valeurs −i et −1 +i se répètent. Si la répétition commence dès z0, on dira évidemment que la suite est périodique.
Certaines orbites sont convergentes, autrement dit, elles ont une limite. Par exemple, sic= 0et z0= 2i, on a z1=−1
22, z2= 214,. . . La suite obtenue converge vers 0. Si une orbite converge vers un nombre w, celui-ci est un point fixe de la transformation z7→z2+c : w2+c=w2. De plus, ce point fixe est attractif. Nous rencontrerons plus loin des points fixes répulsifs et des points fixes indifférents.
Pour une valeur fixée du paramètre c, on constate que les points du plan de Gauss, C, se partagent en deux sous-ensembles : un premier sous-ensemble est constitué des valeurs de z0 pour lesquelles la suite(zn)n∈N est bornée, l’autre est constitué des valeurs dez0 pour lesquelles cette suite n’est pas bornée. Ces deux parties du plan sont complémentaires et ont donc la même frontière6.
L’ensemble deJuliaassocié à un nombre complexec est la frontière commune de l’ensemble des z0 pour lesquels la suite (zn)n∈N est bornée et de l’ensemble des z0 pour lesquels cette suite n’est pas bornée.
Nous noterons toujours J(c) l’ensemble de Julia associé à c. Cet ensemble est souvent une courbe, ce qui justifie l’appellation « courbe de Julia». On appelle ensemble de Julia rempli l’ensemble des z0 pour lesquels la suite (zn)est bornée. Quant à l’ensemble des z0 pour lesquels la suite (zn) n’est pas bornée, il reçoit le nom deensemble de Fatou.
Vous avez certainement remarqué que les suites engendrées par deux nombres complexes oppo- sés,z0 et −z0 sont identiques à partir du terme d’indice 1 puisquez20= (−z0)2. Par conséquent ces deux suites sont soit toutes les deux bornées, soit toutes les deux non bornées. On en déduit l’énoncé suivant :
Quel que soit le nombre complexe c, l’origine du plan complexe est un centre de symétrie pour l’ensemble de Julia J(c).
6. Rappelons qu’un nombre z0 de C est à la frontière d’un sous-ensemble E de C si et seulement si tout voisinage dez0contient au moins un nombre appartenant à Eet un nombre n’appartenant pas à E.
Considérons quelques exemples
Choisissons pour c le nombre 0. La relation qui définit la suite (zn) devient alors
zn+1=z2n
La suite(zn)est bornée quand|z0|61. En effet, si|z0|<1, alors (zn) converge vers 0 et si |z0|= 1, alors pour tout n, |zn|= 1.
Par contre si |z0|>1, (zn)tend vers l’infini, donc n’est pas bor- née.Ainsi, le disque fermé de centre 0 et de rayon 1 est le sous- ensemble de C constitué des valeurs de z0 pour lesquelles (zn) est une suite bornée. La courbe de Julia J(0) est la frontière
de ce disque, c’est donc le cercle de centre 0 et de rayon 1. Fig. 15 : J(0)
Le lecteur qui croyait que toute courbe de Julia est un fractal est peut-être déçu ! Qu’il se rassure, voici d’autres exemples.
Fig. 16 : J(0.1) Fig. 17 : J(0.2) Fig. 18 : J(0.55) Les deux figures suivantes sont identiques aux figures 17 et 18 à ceci près qu’on a inséré dans chacune d’entre elles trois orbites de points du plan qui permettent au lecteur d’examiner des comportements différents selon la valeur du point de départ de l’orbite (le nombre z0) et le paramètre c de la courbe deJulia.
Fig. 19 : J(0.2) Fig. 20 : J(0.55)
Sur chacune des deux figures19et20, on a dessiné le début des orbites des points0.6+0.55i (en bleu),0.7+0.55i (en rouge) et−0.6+0.55i. Les pointillés qui relient les points des orbites n’ont
aucune signification géométrique, ils ne servent qu’à indiquer au lecteur l’ordre de succession des différents points.
La courbe de Julia J(0.2)est une courbe simple (elle ne se recoupe pas) et fermée. On peut distinguer son intérieur et son extérieur. Le point 0.6 + 0.55i est à l’intérieur. Même si on n’a construit que quelques points de l’orbite bleue, on constate que celle-ci est bloquée à l’intérieur de la courbe de Julia et est donc bornée. Il en est de même pour les deux autres orbites.
De plus, malgré le petit nombre de points affichés et l’imprécision du dessin, les trois orbites semblent se rapprocher l’une de l’autre. Convergeraient-elles vers la même limite ? Un point noir apparaît comme la limite possible. Mais ce n’est qu’une impression, en réalité ce point indique la position du pointc= 0.2. Nous reviendrons sur la convergence éventuelle des orbites à la section 14. Quant à la courbe J(0.55), elle n’est pas connexe et on ne peut lui attribuer ni intérieur, ni extérieur. Aucune des trois orbites de la figure 20n’est bornée et même en les prolongeant, aucune ne converge vers quelque point que ce soit7. Comme sur la figure voisine, le gros point noir indique la position du paramètre c, ici il vaut 0.55.
Pour permettre au lecteur d’observer d’autres propriétés des courbes de Julia, voici encore quelques figures.
Fig. 21 : J(0.3−0.1i) Fig. 22 : J(0.3−0.2i) Fig. 23 : J(0.3−0.3i)
Fig. 24 : J(−0.5 + 0.5i) Fig. 25 : J(−0.5−0.5i) Des propriétés d’invariance
Qu’est-ce que l’invariance d’une courbe par une transformation ?
Dire qu’une courbe C est invariante par une transformation T signifie que l’image par T d’un point quelconque P de C est encore un point de C. On utilise parfois le mot «trace » pour
7. Sauf si on adjoint un point à l’infini au plan deGauss.
désigner une courbe invariante par une transformation. En termes moins formels, on peut s’inspirer de la physique et utiliser le mot «trajectoire » : la trajectoire d’un point mobile se déplaçant sous l’effet d’une transformation est une trace de cette transformation.
Lors de l’étude d’une transformation (ou plutôt d’une famille de transformations), on a intérêt à connaître la nature des traces de cette/ces transformation(s). Ainsi, les traces des rotations sont des cercles, celles des translations sont des droites et celles des homothéties . . . sont aussi des droites. N’importe quelle courbe est une trace de la transformation identique, mais c’est sans intérêt ! Par contre, il est intéressant d’adopter aussi le point de vue « réciproque » : une courbe étant donnée, de quelle transformation est-elle une trace ? Par exemple, de quelle transformation, une ellipse (non circulaire) est-elle une trace ?
Revenons à nos courbes de Julia.
On montre que la courbe de JuliaJ(c)est invariante par la transformationz7→z2+c.(Voir [33], chap. 13)
Cela implique que l’orbite par la transformation z7→z2+c d’un point de la courbe de Julia est entièrement incluse à cette courbe, que celle-ci soit connexe ou non.
On peut aller plus loin en considérant les transformations réciproques de fc. Pourquoi « les » ? Tout simplement parce qu’il y en a deux ! Chercher la ou les transformations réciproques(s) de fc, c’est, étant donné un nombre complexe w, chercher les solutions de l’équation z2+c =w.
Autrement dit, il s’agit de trouver les deux racines carrées dew−c. Nous les noterons simplement sqrt(w−c) et −sqrt(w−c). Pourquoi s’intéresser à ces deux racines carrées ?
Parce qu’on peut démontrer que la courbe de Julia Jc est également invariante pour les deux transformations w7→sqrt(w−c)et w7→ −sqrt(w−c), [33].
De ces invariances, on déduit une procédure relativement simple pour dessiner des courbes de Julia. En effet, le nombre complexe c étant donné, il est facile de trouver un point fixe z0 de la fonctionfc:z7→z2+c, il suffit de résoudre l’équationz2−z+c= 0par la méthode habituelle.
On obtient ainsi généralement non pas 1 mais 2 points fixes (éventuellement un seul point fixe qui est une racine double de l’équation).
Chacun de ces points fixes appartient à la courbe deJuliaJ(c)puisque la suite obtenue par la récurrencezn+1=f(zn)est constante. On construit alors la courbe elle-même en appliquant à ce point fixez0 une des deux fonctionsw7→sqrt(w−c)etw7→ −sqrt(w−c), choisie aléatoirement, ce qui fournit un autre point deJ(c). On itère ensuite ce procédé autant de fois qu’on le désire.
C’est de cette manière que les figures précédentes ont été réalisées.
8
8 1919 : Félix Hausdorff (1868 – 1942) invente le concept de dimension fractionnaire
Hausdorffest le premier à avoir eu l’idée que certaines parties du plan pourraient être mieux étudiées si on les dotait d’une dimension non entière. La définition de Hausdorff, [25], est assez complexe. La présentation que nous faisons ci-dessous de ce sujet est basée sur un texte plus accessible de Paul Girault, [23].
Les objets que nous manipulerons seront des parties de Rn. L’entier naturel n peut être quel- conque, mais les valeurs 1, 2 et 3 nous suffiront et surtout donneront une signification géo-
métrique aux objets rencontrés. Le lecteur devra néanmoins se souvenir que le mot « boule » désigne un intervalle si n= 1, un disque si n= 2et une sphère si n= 3.
L’objectif est d’attribuer une dimension à des objets qui, a priori, n’en ont pas. Si nous consi- dérons par exemple l’ensemble triadique de Cantor, nous avons vu que sa longueur est nulle.
Cependant il comporte autant d’éléments que le segment[0,1]!
Pour arriver à un concept acceptable,Hausdorff s’inspire de la théorie de la mesure élaborée en 1902 par Henri Lebesgue (1875 – 1941) ainsi que des travaux subséquents de Constantin Caratheodory (1873 – 1950).
Considérons un ensemble E de points de Rn. Classiquement, pour évaluer la mesure de E (la mesure de Lebesgue par exemple), il est classique de recouvrir E par d’autres objets (généralement des pavés) dont on connaît la mesure et d’additionner les mesures des pavés constituant le recouvrement. On diminue progressivement la taille de ceux-ci de façon que le recouvrement s’adapte le mieux possible à E. Finalement la mesure de E est obtenue par un passage à la limite : on fait tendre vers 0 le diamètre maximum des pavés et on évalue la limite de la somme des mesures des pavés.
La construction de la mesure de Hausdorff suit un schéma analogue. À la place des pavés, nous utiliserons des boules (mais c’est un détail), et dans un premier temps, nous limiterons leur diamètre. À la fin du processus, ce diamètre tendra vers 0.
Choisissons une valeur maximum,δ, du diamètre et considérons un recouvrement deE par une famille de boules Bi, le diamètredi deBi étant au plus égal à δ. Cette famille peut comporter un nombre fini ou infini dénombrable d’éléments. La famille (Bi)i∈I recouvre E, autrement dit S
i∈IBi⊃E. À un facteur près, l’expressionP
i∈Idin mesure le volume occupé par les boules Bi dans l’espace Rn.
Mais — et c’est là queHausdorff intervient — nous allons nous intéresser non à l’expression P
i∈Idin (où n provient de E ⊂Rn), mais à l’expression P
i∈Idiν, où ν peut, a priori prendre n’importe quelle valeur réelle comprise entre 0 et n. Cette expression ne désigne donc pas un nombre mais une fonction de la variable ν (de domaine [0, n]).
Comme dans le cas classique, nous pouvons diminuer progressivement la taille des boules, et mettre en place un passage à la limite. C’est à la fin de ce passage à la limite que nous nous préoccuperons de la valeur du paramètre ν.
Introduisons une notation :µ(E, ν, δ). Cette expression désigne la borne inférieure de toutes les sommes P
i∈Idiν associées aux recouvrements de E par des boules de diamètre au plus égal à δ. Cette borne inférieure est bien définie car on sait que tout ensemble de réels positifs admet une borne inférieure, positive ou nulle.
Une phénomène important peut être remarqué immédiatement. Considérons deux valeurs δ1
et δ2 de δ. Supposons δ1 6δ2. Alors toute boule de rayon r qui satisfait la condition r6 δ1 satisfait aussi la condition r6δ2. Par conséquent, tout recouvrement de E par des boules de rayon inférieur àδ1 fait aussi partie des recouvrements deE par des boules de rayon inférieur à δ2.Ainsi quand on passe deδ2àδ1, on supprime des recouvrements. On prend en considération moins de sommesP
i∈Idiν pour déterminerµ(E, ν, δ1)que pour déterminer µ(E, ν, δ2). Or moins il y a de nombres dont on prend la borne inférieure, plus celle-ci est grande ! Par conséquent δ16δ2⇒µ(E, ν, δ1)>µ(E, ν, δ2).
La fonction[0,1]→R:δ7→µ(E, ν, δ)est décroissante.
Travaillons sur un exemple : l’ensemble triadique deCantor, C. Cet ensemble étant contenu dansR, les boules ici sont des intervalles. Le diamètre d’une boule est la longueur de l’intervalle.
Nous pouvons facilement en construire une infinité de recouvrements de C : un pour chaque étape de la construction de l’ensemble (section 3).
Description du recouvrement P
idiν Intervient dans la détermination de Deux intervalles de longueur 13 21
3
ν
µ(C, ν,13) Quatre intervalles de longueur 19 41
9
ν
µ(C, ν,19), µ(C, ν,13) Huit intervalles de longueur 271 81
27
ν
µ(C, ν,271 ), µ(C, ν,19), µ(C, ν,13)
. . . . . . . . .
2k intervalles de longueur 31k 2k1
3k
ν
, µ(C, ν,31k), µ(C, ν,3k1−1), . . . , µ(C, ν,13)
. . . . . . . . .
Dans chaque ligne, nous mentionnons un recouvrement, la somme des mesures des intervalles (élevées à la puissance ν) et la ou les expressions µ(C, ν, δ)correspondantes. La première ligne fournit l’information µ(C, ν,13)621
3
ν
et la seconde µ(C, ν,13)6µ(C, ν,19)641
9
ν
621
3
ν
. Lakeligne nous permet d’écrireµ(C, ν,13)6µ(C, ν,19)6· · ·6µ(C, ν,31k)62k1
3k
ν
6· · ·621
3
ν
. Faisons tendrekvers l’infini. Comme la suite(µ(C, ν,31k))k∈Nest croissante et bornée, elle admet une limite. Nous poserons µ(C, ν) = limk→∞µ(C, ν,31k). Pour tout k, on a µ(C, ν)62k1
3k
ν
et donc µ(C, ν)6limk→∞2k1
3k
ν
. Or limk→∞2k1
3k
ν
= limk→∞
2
3ν
k
. Cette limite vaut 0, 1 ou +∞ selon que 32ν est plus petit que 1, égal à 1 ou supérieur à 1.
Comme 32ν = 1⇔ν= log 2log 3, nous obtenons
µ(C, ν)6
0si ν >log 2log 3 1si ν= log 2log 3 +∞ si ν <log 2log 3
Nous admettrons que nous pouvons remplacer le signe 6 par une égalité. Pour être complète- ment rigoureux, il faudrait montrer qu’il n’est pas nécessaire de considérer d’autres recouvre- ments de l’ensemble de Cantor que ceux que nous avons utilisés, mais cela nous entraîne- rait trop loin de notre objectif : montrer que seule une dimension non entière, en l’occurence
log 2
log 3 = 0,6309. . .peut être attribuée à cet ensemble si nous voulons que sa mesure ne soit ni 0, ni l’infini.
Revenons au cas général
Comme dans le cas particulier de l’ensemble de Cantor, on peut considérer la limite de la fonction δ 7→ µ(E, ν, δ) lorsque δ tend vers 0 et définir ainsi une fonction de ν : µ(E, ν) = limδ→0µ(E, ν, δ). On peut alors montrer (voir [20]) qu’il existe un réel ν0 tel que µ(E, ν) = +∞ si ν < ν0 etµ(E, ν) = 0 si ν > ν0. Ce ν0 est la dimension de Hausdorff deE.
9
9 Qu’est-ce qu’un fractal ?
On ne trouve guère dans la littérature de définition précise de ce qu’est un fractal. Fondamen- talement, un fractal est un ensemble extrêmement irrégulier (personne n’aurait l’idée de dire qu’une droite est un fractal). Et cette irrégularité doit être mesurée d’une façon ou d’une autre.
Le plus souvent, on utilise dans ce but une notion de dimension fractionnaire. Nous disons « une notion de dimension fractionnaire » et non « la notion de dimension due àHausdorff» car il existe plusieurs notions non équivalentes de dimension fractionnaire. Dans [29], Mandelbrot explique — ainsi que nous l’avons mentionné dans la préface — qu’il a mis l’accent sur la dimension de Hausdorff pour des raisons d’opportunité, mais que ce n’était sans doute pas le meilleur choix. On utilise plus souvent la dimension fractale qui est toujours supérieure ou égale à celle de Hausdorff (voir [23]) :
SiP est une partie de R2, notonsN()le plus petit nombre de disques de rayonnécessaires pour recouvrirP. La dimension fractale deP est le réel positifd0 tel que pour tout réel positif d :
d < d0⇒lim
→0dN() = +∞ et
d > d0⇒lim
→0dN() = 0
Par ailleurs certains développements, s’ils sont particulièrement spectaculaires dans le cas d’en- sembles irréguliers, n’en fournissent pas moins une approche qui est également nouvelle pour les ensembles réguliers traditionnels. On notera que, par exemple dans [10], le mot « fractal » est quasiment synonyme de « ensemble compact ». Nous pouvons considérer que ce sont surtout les nouvelles méthodes et techniques qui sont importantes (et donc méritent un nouveau nom) notamment du fait qu’elles s’appliquent à des objets irréguliers, mais pas uniquement à cause de cela.
Une autre notion souvent rencontrée à propos des fractals est celle d’ensemble auto-semblable.
Parfois, on explique même qu’un fractal est un ensemble qui a toujours le même aspect, qu’on le regarde à l’œil nu ou au microscope. Il n’y a aucun doute que cette approche est par trop simpliste : elle aboutirait à affirmer qu’une droite est un fractal ! Elle néglige de prendre en compte l’irrégularité nécessaire d’un fractal. En réalité, il existe aussi bien des fractals non auto-semblables que des ensembles auto-semblables qui ne sont pas des fractals. L’idée d’auto- similitude n’a eu du succès que parce qu’elle permet d’engendrer l’irrégularité de façon régulière : les fractals auto-semblables sont les fractals les plus simples à définir et à étudier. En particulier, des procédures récursives permettent de les faire dessiner « simplement » par un ordinateur.
10
10 Des courbes irrégulières
La première caractéristique d’un fractal est l’irrégularité. Pour une courbe, celle-ci se marque par exemple par l’absence de tangente. Et pas seulement en des points isolés. C’est le cas du graphe de la fonction deWeierstrassdont il a été question ci-dessus. Un théorème classique, dû à Henri Lebesgue (1875 – 1941) affirme que toute courbe rectifiable (c’est-à-dire toute courbe à laquelle on peut attribuer une longueur finie) admet une tangente presque partout (c’est-à-dire partout sauf au plus en les points d’un ensemble de mesure de Lebesgue nulle).
Ainsi, nous devrons rechercher des courbes irrégulières parmi les courbes de longueur infinie.
L’exemple de la courbe de von Koch est bien connu. Voici un exemple analogue.
Fig. 26 Fig. 27 Fig. 28
Le point de départ est le segment représenté à la figure 26. Sa longueur est de 1 unité. La figure 27 est obtenue en remplaçant le segment de la figure 26 par un motif de neuf segments de longueurs respectives 37,17,17,17,37,17,17,17 et 37. À chacune des étapes suivantes, on remplace tout segment par un motif semblable. Les figures29 et30présentent les courbes des niveaux 3 et 5.
Fig. 29 Fig. 30
Chaque fois que le niveau augmente de 1, la longueur de la courbe est multipliée par 157 . À la limite, elle est infinie. Par ailleurs, il est bien clair qu’à chaque augmentation du niveau, le nombre de points où la courbe n’admet pas de tangente augmente également.
Si la courbe limite ne peut se voir attribuer une longueur finie, on peut se demander s’il n’est pas possible de lui attribuer une aire. L’examen de la figure 30 nous donne en effet à penser que cette courbe pourrait bien remplir complètement une zône plane d’aire non nulle. Après tout, cela n’est-il pas le cas de la courbe de Peano?
Pour évaluer l’aire d’une partieP du plan, l’usage est de recouvrir cette partie par un quadrillage et de compter le nombre de carrés dont l’intersection avec la partie n’est pas vide. Si est la longueur du côté d’un carré, et si N() carrés sont nécessaires pour recouvrir P, l’aire est la limite de 2N() lorsque tend vers 0. Dans le cas présent, il n’y a que quelques séries géomé- triques à sommer (de raison strictement inférieure à 1) pour constater que la courbe limite ne sort certainement pas du carré construit sur le segment de base.
Fig. 31
Et comme nous pouvons tenir le même raisonnement à chaque ni- veau de la construction, nous constatons que la courbe limite est successivement contenue dans 1 carré de côté 7, puis 3 carrés de côté 3 et 6 carrés de côté 1, puis 36 carrés de côté 17, 36 carrés de côté 37 et 9 carrés de côté 97, etc. À chaque étape, un segment de longueur l est remplacé par 6 segments de longueur l/7 et 3 segments de longueur 3l/7. Un dénombrement sans grande diffi- culté montre qu’à l’étapen, la courbe obtenue comporte nk
3k6n−k segments de longueur 73n−k1 (k= 0,· · ·, n).
Cette courbe peut donc être recouverte par des carrés d’aire totale Xn
k=0
n k
!
3k6n−k 3k 7n−1
!2
= 33n 49n−1
Et cette aire tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Ainsi, notre courbe limite est à la fois de longueur infinie et d’aire nulle. Ni la longueur, ni l’aire ne sont très utiles pour la mesurer. Il resterait à évaluer sa dimension de Hausdorff (ou sa dimension fractale).
11
11 Les fractals auto-semblables
On l’a dit plus haut : les fractals auto-semblables étant « réguliers dans l’irrégularité », ils sont plus faciles à appréhender. En particulier, on peut assez facilement obtenir une majoration de leur dimension fractale. Précisons d’abord le vocabulaire :
Une partieP deR2 sera dite auto-semblable si elle est la réunion d’un nombre fini de parties P1,. . . ,Pn qui lui sont semblables.
Remarquons que les rapports de similitude sont fatalement inférieurs à 1.
À la section6, nous avons rencontré un fractal auto-semblable célèbre : le tapis deSierpinski.
Essayons d’évaluerla dimension fractale d’un fractal par une méthode applicable à tout fractal auto-semblable dans le cas où toutes les similitudes ont même rapport r. (Pour le tapis de Sierpinsky, on ar= 13.)
• Si le fractal P est la réunion de n parties P1, . . . , Pn qui lui sont semblables, tous les rapports de similitude valant r
• et si N(1) est le nombre minimum de boules de rayon1 nécessaires pour recouvrir P,
• alors nN(1) boules de rayon r suffisent pour recouvrir P.
• Par conséquent
N(r)6nN(1)
Par récurrence, on obtient pour tout naturel k :
N(rk)6nkN(1)
D’après la définition donnée à la section 9, pour trouver la dimension fractale, nous devons chercher un nombred0 pour lequeldN()tend vers 0 ou+∞ (lorsque tend vers 0) selon que d est supérieur ou inférieur àd0. Posons=rk. Commer <1, tend vers0si et seulement si k tend vers+∞. PuisqueN(rk)6nkN(1), on adN() =rkdN(rk)6N(1)(nrd)k. Par conséquent, dN()tend vers 0 si nrd<1 c’est-à-dire si d >−logn
logr.
