L’impact de la qualité de la pondération du graphe de modèles sur le par-

L’information contenue dans la pondération du graphe a une importance fondamentale pour garantir l’obtention d’une partition de qualité. En effet, une pondération erronée, ou absente, peut être à l’origine d’une divergence de l’algorithme de partitionnement et par conséquent, empêcher la minimisation du coût de coupe. Même si dans ce cas, l’équilibre de charge reste correct, cette divergence peut être à l’origine d’une perte de temps considérable liée à un échange trop important de données entre les modèles de différents nœuds de calcul. Cependant, cette remarque est uni-quement valable si l’impact des échanges de messages n’est pas négligeable par rapport au temps d’exécution des modèles. Le rôle de cette sous-section est de présenter une étude de l’impact de la pondération sur le partitionnement, mais aussi et surtout de montrer l’impact de la qualité de celle-ci sur le partitionnement. En effet, une pondération de faible qualité peut être à l’origine de la création d’une partition moins bonne que celle d’un graphe sans pondération.

Type graphe Nombre de parties 2 4 8 16 32

Grid SPSM 2.04117 4.02845 8.14262 12.7703 20.6683 APSM 2.03868 4.02191 8.09735 12.7575 20.5809 DPSM 2.0941 4.0069 8.15722 12.953 20.2015 Grid SPAM 2.04117 4.13719 8.24921 12.8588 20.7199 APAM 2.03501 4.49074 8.72177 13.5491 20.1954 DPAM 2.0891 4.59627 8.64169 12.8871 20.8287 Tree SPSM 0.738793 3.03226 5.05016 10.6614 17.8086 APSM 1.14726 2.95293 4.88809 10.7636 17.2343 DPSM 1.14726 2.92898 4.79003 10.0657 16.4026 Tree SPAM 1.53948 3.53536 5.38533 13.6635 19.0882 APAM 1.22962 3.05932 4.50324 11.4737 17.1478 DPAM 1.22962 3.16958 5.38047 10.2105 17.7559

TABLEAU4.2 – Comparaison des résultats de partitionnement avec et sans pondération pour des grid-graph et tree-graph de taille 300

grid et tree de différentes tailles (petite et grande), suivant différentes politiques de pondération. En effet, cette étude porte d’une part sur l’influence de la politique de pondération du graphe sur la qualité du partitionnement. Les différentes politiques de pondération utilisées sont les suivantes : aucune pondération (SP), pondération à partir des poids obtenus par apprentissage (AP) et pon-dération par les poids réels obtenus par simulation DEVS (DP). D’autre part, cette étude a pour objectif de montrer l’impact de la pondération sur l’application d’une méthode multi-niveaux, pré-sentée en section1.5. En effet, il est important de rappeler que la première phase de cette méthode consiste à contracter le graphe de façon à minimiser le nombre d’arcs de poids fort. Or l’absence de pondération modifie la contraction du graphe et impacte par conséquent le partitionnement. Dans certains cas, ce manque d’information pourrait avoir tendance à dégrader la qualité du coût de coupe et dans d’autre cas, il pourrait ouvrir l’accès à des solutions inexploitables par le biais du graphe pondéré et des contraintes liées à la méthode de partitionnement. Afin de mettre en avant ces phénomènes, nous allons partitionner un graphe de taille 300, d’une part sans appliquer une méthode Multi-niveaux (SM) et d’autre part en lui appliquant cette dernière pour un niveau de contraction de 200 (AM). L’ensemble de ces informations sont concaténées dans le tableau4.2par le biais d’une nomenclatureabcd, où les deux premiers caractères informent du type de pondéra-tion utilisée parmi celles présentées précédemment, et les deux derniers informent sur l’utilisapondéra-tion ou non d’une méthode Multi-niveaux.

Chaque cas est étudié dans le but d’évaluer l’impact que peut avoir la pondération sur la qua-lité du partitionnement en fonction de la méthode utilisée mais aussi en fonction de la nature du graphe. C’est pourquoi nous travaillons à partir d’un graphe "simple" (grid-graph) et d’un graphe "complexe" (tree-graph). Le tableau4.2présente uniquement les différents coûts de coupe obtenus par application d’une méthode GGGP optimisée pour chacun des plans d’expériences précédem-ment présentés. Cependant, celui-ci ne présente pas l’évolution des balances de partitionneprécédem-ment car la pondération des arcs du graphe n’affecte pas l’évolution de celle-ci au cours du partitionne-ment.

FIGURE4.14 – Comparaison des coûts de coupe en fonction des types de pondération du grid-graph. Sans multi-niveaux à gauche, avec multi-niveaux à droite.

Afin de pouvoir comparer la qualité du partitionnement d’un graphe non pondéré à celui d’un graphe pondéré, nous avons projeté la partition du graphe non pondéré sur ce dernier dans le but d’en déduire le véritable coût de coupe. En partant du principe qu’un graphe sans pondération (SP) est fortement susceptible de fournir un partitionnement de mauvaise qualité et que la pondération apprise (AP) à partir d’un générateur d’entrée de type GSSE sera forcément de moins bonne qualité que la véritable pondération obtenue par simulation (DP), on peut s’attendre à obtenir une certaine logique dans les résultats. En effet, en théorie, les coûts de coupe obtenus par application d’une même méthode de partitionnement sont sensés respecter cet ordre : DP < AP < SP, le meilleur coût de coupe étant celui obtenu à partir du graphe pondéré à partir des données de simulation. Le tableau4.2nous montre que dans la pratique ce n’est pas toujours le cas. Détaillons un peu plus l’étude de ces résultats. La figure4.14présente graphiquement l’évolution des coûts de coupe, en fonction de la pondération, pour le grid-graph. Sans utilisation du Multi-niveaux, nous pouvons constater que les résultats des trois pondérations sont proches, même si ceux du DPSM ne sont pas toujours les meilleurs. En effet, la structure régulière du graphe (en forme de grille) influence beaucoup la nature du partitionnement, ce qui rend presque inutile la pondération dans ce cas. Rappelons tout de même que la méthode GGGP repose sur une notion de voisinage et qu’elle est donc influencée, en partie, par la forme du graphe. Dans le cadre de l’application de la méthode Multi-niveaux sur ce graphe, nous pouvons nous rendre compte que dans la majeure partie des cas, le partitionnement du graphe non pondéré offre de meilleurs résultats. Il semblerait que ce cas soit un exemple où le manque de pondération influence la contraction qui influence elle-même l’algorithme de partitionnement GGGP et lui donne accès à des solutions que ne peut pas trouver ce dernier lorsque le graphe est pondéré. Au vu de ces résultats, il semblerait peu judicieux de réaliser un apprentissage des graphes à géométrie simple, car la pondération apportée par celui-ci n’apporte aucun gain lors du partitionnement.

FIGURE4.15 – Comparaison des coûts de coupe en fonction des types de pondération du tree-graph. Sans multi-niveaux à gauche, avec multi-niveaux à droite.

Intéressons nous maintenant aux résultats de partitionnement obtenus sur un graphe à géomé-trie complexe : un tree-graph. Ces résultats sont fournis par les deux dernières cases du tableau

4.2, où la première présente les résultats obtenus sans appliquer une méthode Multi-niveaux et la seconde présente les résultats obtenus en appliquant cette dernière. Ils sont également illustrés par la figure4.15. Dans ce cas, les résultats sont totalement différents. En effet, en observant les coûts de coupe obtenus sans Multi-niveaux, on peut observer que dans la majeure partie des cas le partitionnement du graphe non pondéré, les résultats sont moins bons que celle des deux autres pondérations. De plus, l’ordre logique de classement des coûts de coupe auxquels nous nous atten-dions semble être avéré dans ce cas. Si on observe l’évolution des coûts de coupe en fonction du nombre de parties, nous pouvons nous rendre compte que l’écart entre les approches s’amplifie. Ce qui semble de bonne augure pour nos distributions. Les résultats obtenus par application du Multi-niveaux, à quelques contre-exemples près, montrent l’importance qu’a la pondération sur la contraction et sur le partitionnement. En effet, on peut observer que l’écart des coûts de coupe est plus important que lorsque le Multi-niveaux n’est pas utilisé. Cela montre bien que la pondération a un rôle très important sur la contraction.

4.3.2 Évaluation du gain apporté par les optimisations de la méthode GGGP