L’espace-temps moyen d´ecrit un trou noir

. (7.3) On utilise les notations u.v et u² pour indiquer le produit scalaire euclidien entre des ´el´ements (u, v) appartenant `a R<sup>3</sup>, et la notation u repr´esente la norme eucli-dienne |u| = (u.u)1/2. La mesure de probabilit´e sur Ω est d´efinie par sa densit´e p(ω) par rapport `a la mesure de Lebesgue d³ω; on choisit p(ω) comme ´etant la densit´e uniforme sur la sph`ere: p(ω)= 1/Va, o`u Va= 4πa3/3.

Nous avons vu dans la section pr´ec´edente que l’espace-temps moyen ¯S as-soci´e `a Σ est muni de la m´etrique moyenne ¯g = hg(ω)i. Une premi`ere expres-sion, approch´ee, de la m´etrique ¯g avait ´et´e obtenue dans [47], sous la forme d’un d´eveloppement valide au second ordre en a/r. II s’est av´er´e qu’une expression exacte de ¯g peut ˆetre obtenue, avec l’aide de Mathematica, par exemple [24]. Lors de la d´etermination de cette expression exacte, nous avons ´et´e amen´es `a dis-tinguer deux cas: r > a et r < a. Etudier la m´etrique moyenne pour r < a revient `a construire un mod`ele moyen pour la r´egion r < a du ‘vrai’ espace-temps. Or, le fait d’utiliser la th´eorie champ moyen pour d´ecrire le ‘vrai’ espace-temps sur des ´echelles inf´erieures `a l’´echelle de moyennisation n’a a priori aucun sens phy-sique. C’est pourquoi, dans toute la suite de ce travail, l’´etude de l’espace-temps moyen ¯S est restreinte au cas r > a. Les expressions exactes des composantes de Kerr-Schild de la m´etrique moyenne ¯g pour r > a sont donn´ees par:

D ds²E = 1 − ^2M r ! dt²− 2M r ⁻ 6a2M 5r3 !_ r r ^{· dr} 2 − 1+ ^2a2M 5r3 ! dr² + " −3M 2r ⁻ 3Mr 2a2 + ^3M 4a3r2  a²− r^22ln r+ a r − a # r r ^{· drdt.} (7.4)

7.1.2 L’espace-temps moyen d´ecrit un trou noir

De la mˆeme fac¸on que pour le trou noir de Schwarzschild non moyenn´e, nous avons d´efini des coordonn´ees de Schwarzschild (τ, ρ, ζ, φ) pour l’espace-temps moyen. Les diff´erentes ´etapes de calcul qui permettent de construire ces coor-donn´ees `a partir des coorcoor-donn´ees de Kerr-Schild sont coor-donn´ees dans [24]. Rete-nons simplement ici que la coordonn´ee radiale ρ s’exprime en fonction de r de la fac¸on suivante:

ρ(r) = r r

1+ ^2a2M

5r3 , (7.5)

et que le temps τ est d´efini par une relation du type:

2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14 2.16 2.18 2.2 0 0.5 1 1.5 2 r H / M x rH /M

Figure 7.1: Evolution de ρH/M en fonction du param`etre de moyennisation adi-mensionn´e x= a/M.

Les composantes de la m´etrique moyenne ¯g dans les coordonn´ees de Schwarz-schild s’´ecrivent sous la forme:

D

ds²E = F(ρ)dτ2

− G(ρ)dρ²−ρ2

dΓ2, (7.7) o`u dΓ2 = dζ2 + sin2ζdφ2. Le lecteur int´eress´e peut trouver l’expression de la fonction α intervenant dans (7.6), ainsi que les expressions des fonctions F et G pr´esentes dans (7.7), dans [24]. Les coordonn´ees (τ, ρ, ζ, φ) mettent ainsi en ´evidence le caract`ere statique et `a sym´etrie sph´erique de l’espace-temps moyen.

On peut montrer [24] que pour tout a < 2M, la premi`ere singularit´e de G que l’on rencontre lorsque l’on vient de l’infini dans l’espace (ρ, ζ, φ) se trouve en r = rH = 2M, ce qui correspond, d’apr`es (7.5), `a

ρH = ρ(rH)= 2M r

1+ ^a2

20M2. (7.8)

La fonction adimensionn´ee ρH/M est repr´esent´ee en fonction du param`etre adi-mensionn´e a/M sur la figure 7.1. Cette singularit´e de G est aussi un zero de F. Les composantes de la m´etrique ¯g dans les coordonn´ees de Kerr-Schild sont par-faitement r´eguli`eres en r = rH. Ainsi, la singularit´e ρ = ρH est une singularit´e des composantes de la m´etrique ¯g dans les coordonn´ees de Schwarzschild seule-ment. Lorsque a= 0, la singularit´e ρHest ´egale `a 2M, ce qui correspond au rayon de l’horizon du trou noir de Schwarzschild de masse M non moyenn´e. Afin de v´erifier si la surface ρ = ρH constitue ´egalement un horizon pour l’espace-temps moyen ¯S, nous allons ´etudier le comportement de ¯S au voisinage de ρ = ρ+

cela, on d´eveloppe les composantes de Schwarzschild de la m´etrique moyenne au voisinage de ρ = ρH; on obtient une expression de la forme:

D

ds²E = (ρ − ρH)F⁰(ρH)dτ²− 1

(ρ − ρH)P0(ρH)^dρ

2−ρ2dΓ2, (7.9) o`u la fonction P est d´efinie par: P = 1/G, et le prime repr´esente la d´eriv´ee par rapport `a ρ. Les expressions exactes de F0(ρH) et P0(ρH) ne sont pas reproduites ici, mais le lecteur peut les trouver dans [24]. On consid`ere ensuite la classe de syst`emes de coordonn´ees (TK, XK, ζ, φ) sur B, qui v´erifient, au voisinage de ρ = ρ+ H: X²_K− T_K² = _ρ^ρ H − 1 ln XK + TK XK − TK ! = τ pF0(ρH)P0(ρH). (7.10) Par analogie avec le trou noir de Schwarzschild non moyenn´e, un quelconque des syst`emes de coordonn´ees de cette classe est appel´e syst`eme de coordonn´ees de Kruskal pour l’espace-temps moyen [70]. Les composantes de la m´etrique moyenne dans l’un quelconque de ces syst`emes de coordonn´ees de Kruskal ont la forme suivante, au voisinage de ρ= ρH:

D

ds²E = ^{4 ρ}H

P0(ρH) 

dT_K² − dX_K^2−ρ2(XK, TK)dΓ2, (7.11) o`u, d’apr`es la premi`ere ´equation de (7.10): ρ(XK, TK)= ρH+ρH

 X2 K− T2 K  . L’expres-sion (7.11) met en ´evidence que les composantes de Kruskal de la m´etrique moyenne sont parfaitement r´eguli`eres en ρ = ρH. Sous cette forme, la m´etrique ¯g peut donc ˆetre ´etendue `a travers la surface ρ = ρH aux valeurs de ρ inf´erieures `a ρH. D’apr`es la premi`ere ´equation de (7.10), on peut constater que ρ = ρHcorrespond `a XK = ±TK. La surface ρ = ρH est donc form´ee par l’union des deux surfaces XK = +TK et XK = −TK. En outre, on peut voir, d’apr`es la seconde ´equation de (7.10) que la coordonn´ee temporelle de Schwarzschild, τ, est ´egale `a ±∞ sur cette surface ρ= ρH. On retrouve ainsi le fait que ρHest une singularit´e des coor-donn´ees de Schwarzschild, introduite lors de la d´efinition de τ.

L’expression (7.7) des composantes de Schwarzschild de la m´etrique moyenne montre que l’espace-temps moyen admet le champ de vecteurs de Killing station-naire ξ = ∂τ. On a ainsi:

ξµξµ = ¯gττ = F. (7.12) On peut montrer que la fonction F est positive lorsque ρ est sup´erieure `a ρH, et tend vers 1 lorsque ρ tend vers l’infini. Le champ de vecteurs de Killing ξ est

donc du genre temps dans la r´egion de l’espace-temps moyen o`u ρ= ρH, et il est norm´e `a 1 `a l’infini. La singularit´e ρH est un z´ero de F; d’apr`es (7.12), le champ de vecteurs de Killing ξ s’annule donc sur la surface ρ = ρH. Comme cette surface est form´ee des deux surfaces XK = +TK et XK = −TK, elle constitue un horizon de Killing bifurqu´e [114]. Pour tout a < 2M, l’espace-temps moyen d´ecrit donc un trou noir d’horizon ρ = ρH.

Avant de poursuivre notre ´etude des propri´et´es de l’espace-temps moyen, com-mentons le cas o`u a est sup´erieur `a 2M. Puisque nous avons d´etermin´e la m´etrique moyenne sous l’hypoth`ese r > a, la singularit´e de la fonction G en ρ = ρH ne peut ˆetre prise en consid´eration que si rH = 2M est sup´erieur `a a. Ainsi, lorsque a > 2M, la singularit´e ρHdevient non physique, et l’espace-temps moyen ne d´ecrit plus un trou noir. Le cas a > 2M correspond `a une configuration dans laquelle la r´esolution des observations devient sup´erieure `a la taille caract´eristique de l’objet observ´e. Il n’est pas ´evident d’interpr´eter de fac¸on raisonnable physiquement les r´esultats d’observations r´ealis´ees dans ces conditions. Dans ce qui suit, on se pla-cera donc toujours dans le cas o`u a < 2M.