L’approche indirecte

2.3.4.1 Principe

Consid´erons le syst`eme en boucle ferm´ee de la figure 2.4

e H + - r C(z) u G(z) y y∗ + + b

Fig. _{2.4 – Syst`eme boucl´e}

Cette m´ethode ne n´ecessite pas la mesure de signaux `a l’int´erieur de la boucle de r´egulation. Ainsi, l’estimation est fond´ee sur les mesures de y∗

k et rk. L’ap-

proche indirecte se d´ecompose en deux parties :

– Identifier la fonction de transfert en boucle ferm´ee entre rk et yk∗ par une

m´ethode d’identification `a erreur de sortie. On obtient une estimation non biais´ee ˆGBF(z), ind´ependante du mod`ele de bruit b.

– D´eterminer les param`etres du processus G(z) (boucle ouverte), `a partir du mod`ele obtenu dans l’´etape pr´ec´edente et en utilisant la connaissance du correcteur C(z). Ainsi, on peut trouver un estimateur non biais´e de G(z) en utilisant la relation suivante :

ˆ

G(z) = GˆBF(z) C(z)h1 − ˆGBF(z)

i (2.19)

L’entr´ee rk utilis´ee lors de la premi`ere ´etape de l’identification est d´ecorr´el´ee

verte. Le syst`eme `a identifier lors de cette premi`ere ´etape est d´ecrit par l’´equation (2.20). y∗ k = C(q−1_)G(q−1₎ 1 + C(q−1_)G(q−1₎ | {z } rk + 1 1 + C(q−1_)G(q−1₎bk | {z } GBF(q−1) wk (2.20)

o`u wk est le bruit ´equivalent de sortie en boucle ferm´ee.

Dans la deuxi`eme ´etape, le retour aux estim´es de G(z) est r´ealis´e par r´esolution d’un syst`eme d’´equations. Cette id´ee de base correspond au principe fondamental des approches indirectes. Les techniques correspondantes diff`erent dans la fa¸con dont l’estimation ˆG(z) est effectivement obtenue.

Le principal probl`eme engendr´e par cette m´ethode r´eside dans la construction du mod`ele de la boucle ouverte bas´ee sur l’estimation de la boucle ferm´ee. Lors du calcul de la relation (2.19), on se trouve dans la situation o`u le nombre de param`etres identifi´es de la boucle ferm´ee est sup´erieur `a celui du syst`eme en boucle ouverte.

La suite de cette section est consacr´ee `a la pr´esentation de certaines m´ethodes d´evelopp´ees dans le cas d’une identification de syst`emes boucl´es par approche in- directe. Ces m´ethodes ont ´et´e propos´ees afin de r´em´edier `a certains des probl`emes ´enonc´es pr´ec´edemment. On s’int´eresse tout particuli`erement aux m´ethodes asso- ci´ees `a une param´etrisation appropri´ee. Ces m´ethodes consistent `a param´etrer la fonction de transfert en boucle ferm´ee afin d’estimer en une seule ´etape les param`etres du processus `a partir des signaux rk et yk.

2.3.4.2 M´ethodes associ´ees `a une param´etrisation appropri´ee

Les m´ethodes C.L.O.E. propos´ees par Landau, les m´ethodes Tailor Made

Parametrization propos´ees par Van Den Hof, Von Denkelaar, De Bruyne et An-

derson et les m´ethodes `a erreur de sortie bas´ees sur une d´ecomposition de la

boucle ferm´ee propos´ees par Trigeassou, Poinot et Grospeaud sont toutes issues

du mˆeme principe, c’est-`a-dire de l’identification de type O.E. (Output Error). Ces techniques sont globalement ´equivalentes en d´epit de leurs particularit´es de repr´esentation [Grospeaud, 2000].

2.3.4.2.1 M´ethode C.L.O.E.

I. Landau et A. Karimi [Landau and Karimi, 1997] ont propos´e une m´ethode d’identification en ligne des syst`emes boucl´es. Cette version r´ecursive a ´et´e d´e- velopp´ee sous l’acronyme C.L.O.E. (Closed-Loop Output Error) et utilise des algorithmes d’adaptation param´etrique.

Consid´erons le syst`eme boucl´e d´ecrit par la figure 2.4. Alors on peut d´efinir S(q−1_{) =} 1

1+C(q−1_)G(q−1₎ la fonction de sensibilit´e et T (q−1) = 1−S(q−1) la fonction

de sensibilit´e compl´ementaire. En boucle ferm´ee, cette m´ethode consiste `a utiliser l’´equation de sortie du syst`eme de commande

y∗

k= T (q−1) · rk+ S(q−1) · H(q−1) · ek (2.21)

Le pr´edicteur associ´e est fourni par :

ˆ

yk = T (q−1) · rk (2.22)

On pose alors le mod`ele ˆG(q−1<sub>) =</sub> B(q−1) A(q−1<sub>)</sub>, d’o`u ˆ yk = [T (q−1) · (1 − A(q−1)) + C(q−1) · S(q−1) · B(q−1)] · rk = (1 − A(q−1_{)) · ˆy} k+ B(q−1) · urk = φk· θT (2.23) avec φk= h −ˆyk−1 · · · − ˆyk−naurk · · · ur_k−nb i (2.24) o`u le signal urk est construit `a partir du signal de r´ef´erence rk selon

urk = C(q−1) · Sθk−1(q −1_{) · r}

k (2.25)

Ainsi, `a partir de ˆyk = φkθT, un algorithme r´ecursif peut ˆetre utilis´e. L’iden-

εk = yk− ˆyk

Plusieurs variantes de cet algorithme sont propos´ees ; parmi elles on peut citer la m´ethode F-C.L.O.E. (Filtred C.L.O.E.), la m´ethode AF-C.L.O.E. (Adap- tative Filtred C.L.O.E.) et la m´ethode X-C.L.O.E. (eXtended C.L.O.E.). Une analyse des propri´et´es de ces m´ethodes peut ˆetre trouv´ee dans [Grospeaud, 2000] [Landau and Karimi, 1997].

2.3.4.2.2 M´ethode Tailor-Made Parametrisation

Cette m´ethode permet d’identifier les param`etres du processus, `a partir des signaux mesur´es rk et yk∗ et de la connaissance du correcteur. La configuration

particuli`ere de la structure boucl´ee est utilis´ee pour param´etrer de fa¸con appro- pri´ee la fonction de transfert du syst`eme boucl´e. Cette caract´eristique permet d’identifier en une seule ´etape un mod`ele du processus. Cependant, comme elle n´ecessite la mesure de rk et la connaissance de C(z), elle est class´ee dans les

approches indirectes. Cette m´ethode a ´et´e d´evelop´ee par E. Van Donkelaar et P. Van den Hof [Donkelaar and den Hof, 2000].

Dans cette m´ethode, on utilise l’approche O.E. pour identifier globalement la boucle ferm´ee. En consid´erant les structures C(z) = R(z)_S(z) et ˆG(z) = B(z)ˆ_ˆ

A(z), alors on peut ´ecrire ˆ y(z) = C(z) ˆG(z) 1 + C(z) ˆG(z)r(z) = R(z) ˆB(z) S(z) ˆA(z) + R(z) ˆB(z)r(z) (2.26)

Le point fort de cette approche est dans le calcul des d´eriv´ees not´ees y′_(θ)

qui sont les fonctions de sensibilit´e param´etrique. Un autre avantage de cette m´ethode de calcul est qu’elle permet une g´en´eralisation au cas non lin´eaire.

Le calcul du gradient et du hessien, n´ecessaires `a la minimisation du crit`ere quadratique par Programmation Non Lin´eaire, est obtenu `a partir des fonctions de sensibilit´e param´etriques premi`eres et secondaires (y′_{(θ) et y}′′_(θ)).

2.3.4.3 Conclusion

Les approches C.L.O.E. et Tailor Made Parametrization sont bas´ees sur un al- gorithme du type erreur de sortie. Elles ne diff`erent en pratique que dans le mode de traitement (r´ecursif ou hors-ligne) [Grospeaud, 2000]. Ces algorithmes O.E. conduisent tous aux mˆemes fonctions de sensibilit´e σ ou φ. Ces deux m´ethodes sont aussi ´equivalentes `a la m´ethode d’identification 0.E. bas´ee sur une d´ecompo-

sition de la boucle ferm´ee [Grospeaud and Trigeassou, 1999], elles ne diff`erent en

pratique que dans la formulation des mod`eles (transfert ou mod`ele d’´etat). Par la suite, nous ne nous int´eressons qu’`a la m´ethode d’identification 0.E.

bas´ee sur une d´ecomposition de la boucle ferm´ee que nous allons pr´esenter dans

la section suivante. Cette approche offre l’int´erˆet fondamental de sa g´en´eralit´e.