Certains produits commandés par les clients peuvent ne pas être disponibles sur la ferme aux périodes où ils sont demandés, soit que le maraîcher ne cultive qu’une gamme limitée de produits, soit que le produit n’est pas mûr à la période demandée en fonction des itinéraires techniques pratiqués. Pour palier ce manque, le producteur peut se fournir auprès d’autres fermes. Dans la version du modèle que nous présentons, nous considérons un unique fournisseur en produits frais, avec une production illimitée. Chaque livraison du fournisseur engendre un coût de livraison (cont. 4.39). Les quantités livrées Ppprp,t ne peuvent excéder la capacité du véhicule Wws
max,c (cont. 4.40). Le coût de l’achat-revente sur l’année inclut l’achat des produits au prix Πpr
p,t et les coûts de livraison Ctpr
(cont. 4.41). Le fournisseur gère la préparation du produit et sa livraison, le producteur ne consacre du temps que pour recevoir les produits et pour les stocker (cont. 4.42).
prp,t ≤ Mt· ιprt ∀p ∈ P, t ∈ T (4.39) X p prp,t ≤ Wmaxpr · ιprt ∀t ∈ T (4.40) copr=X p,t Πprp,t· prp,t+X t Ctpr· ιprt (4.41) γtpr= Γpr· ιprt ∀t ∈ T (4.42)
Paramètres de l’achat-revente Wpr
max poids maximal d’une livraison, tous produits cumulés (en kg)
Mt constante majorant de prp,t
Πprp,t prix d’achat du produit p à la période t Ctpr coût du transport facturé à la ferme Γpr temps nécessaire à accueillir la livraison Variables liées à l’achat-revente
prp,t quantité de produit p livrée à la ferme à la période t (en kg) ιprt booléen = 1 si une livraison a lieu à la période t
copr coût de l’activité d’achat-revente
γtpr temps consacré à la réception des produits à la période t
Table 4.6 – Paramètres et variables du modèle concernant l’achat-revente
4 Analyse théorique de la complexité du problème
Afin de pouvoir appliquer des méthodes d’optimisation trouvées dans la littérature, nous devons étudier la structure du problème en détail. La formulation actuelle du programme linéaire mixte génère O(|P ||T |2+ |C||P ||T |) variables, et le même ordre de grandeur pour les contraintes, avec |P | le nombre de produits, |T | le nombre de périodes et |C| le nombre de clients. O(|P ||T |2) correspond à la gestion des stocks périssables, avec des variables telles que ip,β,t. O(|C||P ||T |) correspond aux variables de livraison des clients telles que ωcsa
c,p,t.
Pour approcher la complexité théorique de notre problème, nous pouvons identifier plusieurs sous-problèmes.
Vente à des grossistes avec capacité de production : Quand les seuls clients considérés sont les grossistes et que l’achat-revente n’est pas autorisé, le programme linéaire mixte revient à résoudre un problème de dimensionnement de lot avec capacité et coûts et temps fixes (capacitated lot-sizing model with setups times and costs)1. Les clients sont livrés à une date donnée par la main d’œuvre de la ferme Ht ou de la main d’œuvre supplémentaire employée ht au besoin. Les capacités et les coûts fixes rendent ce problème NP-difficile dans la plupart des cas, comme montré dans Hsu (1983). Vente aux clients contractuels avec capacité de production : Lorsque les seuls clients pris en compte sont des clients de type demande contractuelle et que l’achat-revente n’est pas permis, le problème peut être considéré comme un problème de sac à dos multidimensionnel avec coûts fixes (multidimensional knapsack problem with setups). Chaque contrat à long terme avec un client c est un objet du problème de sac à dos, objet qui consomme une certaine quantité des ressources dis-ponibles, la main d’œuvre et la production, à chaque période. Le problème d’optimisation consiste à sélectionner l’ensemble d’objets qui maximise le revenu, en ciblant des prix et des volumes in-téressants tout en limitant les pertes et les invendus. Parmi les deux dimensions du problème de sac à dos, la production est fixe et la main d’œuvre peut être augmentée en engageant une main d’œuvre ponctuelle ht à la période t. Le problème de sac à dos multidimensionnel est une variante plus complexe du problème de sac à dos binaire classique, connu pour être NP-difficile (Karp, 1972; Osorio et al., 2002).
1. Voir le chapitre 2 pour la présentation de ces problèmes théoriques : sac-à-dos page 59 et dimensionnement de lot page 61.
Vente en Amap et marchés de producteurs avec capacité de production : Lorsque l’on considère uniquement ces catégories de clients, le problème se concentre sur la fourniture de la diversité de produits minimale demandée par les clients à chaque période, en respectant des poids et des prix cibles, et en présence de coûts fixes. Ce programme inclut un grand nombre de variables binaires pour exprimer la présence d’un produit dans une livraison. Ce sous-problème peut être vu comme une extension du problème NP-difficile de dimensionnement de lot multiproduits avec capacités et coûts fixes, couplé à un problème de sac-à-dos. Ce dernier consiste à sélectionner les produits qui composeront chaque semaine les livraisons en respectant des seuils de volumes, ainsi qu’un poids cible et un prix cible cumulés pour l’ensemble des produits.
Combinaison des marchés avec achat-revente : En combinant la diversité de clients et en permettant au producteur de s’approvisionner hors de sa ferme en produits, nous relâchons partiel-lement des contraintes de capacité. Le modèle peut être vu comme la combinaison de problèmes de sac à dos binaires multidimensionnels et de différents niveaux de modèles de dimensionnements de lots avec capacité et coûts fixes. Production, achat-revente, gestion de l’inventaire et sélection du client se retrouvent intimement liés dans un problème très combinatoire et théoriquement difficile à résoudre.
Dans les parties suivantes, nous présentons des résultats expérimentaux.