Krigeage avec dérive externe (KED)

Le krigeage universel (UK) appelé aussi krigeage avec dérive interne (Webster et Burgess, 1980) considère que m (u0) dans Eq. (2) varie de manière régulière au sein de chaque

voisinage local et, est modélisée comme une combinaison linéaire de fonctions des coordonnées spatiales (longitude et latitude). Il existe une approche alternative pour utiliser les données secondaires comme l’élévation et effectuer un SK sur les résidus correspondants: c’est le krigeage avec dérive externe (KED) (Hudson et Wackernagel, 1994 ; Goovaerts, 1997; Wackernagel, 2003). UK et KED sont des exemples de krigeage multivarié considérant simultanément deux ou plusieurs variables à la fois. Ils ont la même formulation, la tendance et les résidus sont estimés dans un système dans lequel la variance de prévision est estimée conjointement. KED n'est qu'une variante du UK. La tendance est modélisée comme une fonction linéaire de l'information auxiliaire au lieu d'être fonction des coordonnées spatiales. L’information auxiliaire, l’élévation dans notre cas, est considérée comme une autre variable aléatoire en plus des précipitations qui sont la variable aléatoire d’intérêt ou cible. Elle est interprétée comme la dérive ou la tendance générale que peut suivre le comportement des précipitations dans la zone d’étude :

Z(u) = a + b*V(u) + R(u)

avec Z(u) étant la variable aléatoire représentant les précipitations ayant une valeur attendue E[Z(u)] = a + b*V(u), V(u) la variable aléatoire représentant l’élévation qui doit être connue pour tous les nœuds de la grille d’interpolation, R(u) une variable aléatoire représentant les résidus de la relation liant les précipitations à l’élévation ayant une valeur attendue E[R(u)] =

CHAPITRE II Matériels et méthodes

32 0 et a et b les coefficients de la tendance ou de la dérive externe qui sont estimés de manière implicite dans chaque voisinage de recherche par le système de krigeage. Donc, les précipitations sont modélisées comme une variable aléatoire non stationnaire dont la valeur attendue est variable et, est fonction linéaire de l’élévation évaluée localement (Goovaerts, 2000). Cette méthode nécessite que la variable externe varie progressivement dans l’espace et soit connue à chaque endroit pour être estimée. Elle suppose également une relation linéaire entre la variable cible et la variable de dérive (Deutsch et Journel, 1998; Bourennane et King, 2003; Webster et Oliver, 2007). Avec KED, les composantes déterministes et stochastiques sont ajustées simultanément de sorte que la variable de dérive soit intégrée au système de krigeage (Webster et Oliver, 2007).

L’analyse se réalise en plusieurs étapes (Tapsoba et al., 2005 ; Feki et al., 2012). Tout d’abord, les coefficients de la dérive externe (a et b) sont estimés localement autour de chaque pluviomètre à partir des paires de données précipitations-élévation. Et ce, par la méthode des moindres carrés ordinaires (OLS) et la tendance ou dérive externe représentant m(u0) dans Eq.

(2). Elle est estimée comme suit: Z*(u) = â + ^b*V(u)

La dérive externe est ainsi estimée aux endroits échantillonnés ainsi qu’à tous les nœuds de la grille d’interpolation.

Ensuite, les résidus estimés sont calculés aux endroits échantillonnés comme : ^R(u) = Z(u) - Z*(u)

Dans une troisième étape, le variogramme expérimental des résidus est calculé et un modèle théorique lui est ajusté. Théoriquement, le variogramme devrait être estimé à partir des résidus R(u). Cependant, il ne s’agit généralement pas d’une procédure simple car ni les résidus ni la tendance Z*(u) ne sont connus a priori. Comme il a également été réalisé par Hudson et Wackernagel (1994), Bourennane et King (2003), Llyod (2005), Haberlandt (2007) et Berndt et Haberlandt (2018), les variogrammes expérimentaux ont été déduits d’une approche simplifiée, c’est-à-dire en utilisant uniquement les observations Z(u). Delrieu et al. (2014) ont constaté que l'utilisation des variogrammes des précipitations, comme ils sont également nécessaires pour OK, permet d'obtenir des performances d'interpolation similaires à celles des variogrammes résiduels obtenus en appliquant la méthode de Velasco-Forero et

al. (2009). De plus, Moges et al. (2007) ont trouvé que la variation spatiale de la pluie ne

dépend pas entièrement des paramètres contrôlant la forme du modèle du variogramme (effet pépite, palier ou portée) et qu’elle est sensible au type de méthode de krigeage utilisé.

33 Enfin, les précipitations sont estimées aux nœuds de la grille d’interpolation en utilisant les valeurs du variogramme à ces nœuds et l’algorithme du krigeage simple.

Le système de krigeage avec dérive externe est formé de N(u) + 2 équations:

où μ0 et μ1 sont les paramètres de Lagrange, et γR est le variogramme du résidu R. Le premier

membre du système contient la corrélation spatiale entre les points de mesure, et le deuxième membre contient la corrélation spatiale entre les points de mesure et le point à estimer. Les deux dernières équations, provenant de la contrainte de non-biais, permettent de filtrer la dérive dans la forme de l’estimateur.

Les coefficients inconnus de la dérive a et b ne figurent ni dans la forme de l’estimateur ni dans le système à résoudre. Ainsi, les pondérateurs obtenus, qui respectent la forme de la dérive sans jamais l’estimer explicitement sont directement affectés aux données des précipitations pour obtenir leur valeur estimée au nœud de la grille d’interpolation.

KED et RK semblent être similaires mais aboutissent à des résultats différents (Hengl et

al. 2003). Contrairement à KED, les paramètres d'une régression linéaire dans RK sont

estimés par la méthode des moindres carrés dans laquelle la dépendance spatiale n'est pas prise en compte. Avec KED, les équations sont résolues immédiatement alors que RK sépare explicitement l’estimation des tendances de la prédiction spatiale des résidus. Pour RK, il n’existe aucun risque d’instabilité, contrairement au système KED (Goovaerts, 2000). De plus, en théorie, la régression nécessite des résidus indépendants, mais le krigeage repose sur des résidus dépendants. Pour cette raison, les modèles linéaires généralisés peuvent constituer une alternative. L'avantage de KED est que les équations sont résolues une seule fois. Par conséquent, avec KED, il existe une estimation conjointe de la variance de prévision, mais avec RK, les parties de la variance de régression et de krigeage sont estimées séparément et doivent être additionnées. Le principal avantage de RK par rapport à KED est que la tendance

CHAPITRE II Matériels et méthodes

34 ne doit pas nécessairement être définie par des modèles linéaires ; elle peut être définie par un ensemble de modèles mathématiques non linéaires tels que des arbres de régression, des forêts aléatoires (RF) et des réseaux de neurones (Hengl et al., 2007).

L’interpolation spatiale par les 3 méthodes de krigeage (OK, KED et RK) s’est faite sur les données transformées en utilisant le logarithme népérien Y(u) suivant la méthode de Box- Cox. Les résultats finaux sont présentés dans l’échelle d’origine en faisant une transformation inverse selon l’équation suivante (Diggle et Ribeiro, 2007 ; Yamamoto ; 2007 ; Hengl et al., 2018) :

pour OK,

pour RK, pour KED,

où ^Z: valeur estimée à l’échelle d’origine, ^Y: valeur estimée à l’échelle logarithmique ; : variance des précipitations annuelles à l’échelle logarithmique et μ,μ0 et μ1 sont les

multiplicateurs de Lagrange.