vers le monde entier
O. U.J/INR/TP/1 Page 68
Na técnica de equalização adaptativa cega, assume-se a impossibilidade de que pe- riodicamente o equalizador seja treinado com uma sequência simbólica preestabelecida do transmissor [Godard 1980]. Nessas condições, os equalizadores adaptativos cegos utilizam métricas estatísticas do próprio sinal transmitido para ajuste dos parâmetros [Godard 1980, Benveniste e Goursat 1984].
A Figura 3.3 representa a estrutura de um equalizador linear. O sinal de saída do equalizador é expresso por
˜ a(k − deq) = N−1
∑
l=0 wl(k)u(k − l) = N−1∑
l=0 wl(k)x(k − l) + N−1∑
l=0 wl(k)r(k − l) (3.6)em que wlé o l-ésimo ganho complexo do equalizador e deqé o atraso de equalização.
O equalizador linear adaptativo, ilustrado na Figura 3.4, trabalha em conjunto com um algoritmo para que seja possível a adaptação de seus parâmetros, w(k), de acordo
CAPÍTULO 3. EQUALIZAÇÃO CEGA ADAPTATIVA 26 w0(k) z-1
+
X
w1(k)X
+
+
z-1X
wN-2(k)+
X
wN-1(k)u(k) u(k-1) u(k-N-1)
...
...
u(k-N-2)ã(k-deq)
Figura 3.3: Estrutura de um equalizador linear de comprimento N.
Figura 3.4: Estrutura de um equalizador linear adaptativo cego.
com a variação aleatória da resposta ao impulso do canal de comunicação. A adaptação é realizada ao otimizar uma função custo J(w(k)), na qual
w(k) = w0(k) .. . wN−1(k) = wI0(k) .. . wIN−1(k) + j wQ0(k) .. . wQN−1(k) (3.7)
Os métodos de equalização cega podem ser classificados ainda em dois grupos. O primeiro grupo compreende os métodos que efetuam o processo de equalização determi- nando as características estatísticas de segunda ordem (variância ou potência) dos sinais transmitidos, compensando suas alterações, chamados de métodos autodidatas de segunda ordem [Haykin 2001a]. O outro grupo de métodos, chamados de HOS (High Order Statis-
ticsou estatísticas de ordem superior) efetuam o processo de equalização determinando as
características estatísticas de ordem superior dos sinais transmitidos, compensando suas alterações [Haykin (Editor) 1994]. Estas estatísticas normalmente são definidas matema- ticamente através de cumulantes estatísticos e de funções esperança [Haykin 2001a]. Um dos algoritmos baseados em HOS mais conhecidos da literatura é o CMA.
CAPÍTULO 3. EQUALIZAÇÃO CEGA ADAPTATIVA 27
filtro adaptativo a uma constante real positiva rp. Essa constante é escolhida de forma
a projetar sobre um círculo todos os pontos da constelação de saída do filtro adaptativo [Godard 1980, Benveniste e Goursat 1984]. A função custo a ser otimizada é expressa por
JCMA(w(k)) = E[e(k)2] (3.8)
em que E[·] é o operador média e
e(k) = γ − | ˜a(k)|2 (3.9)
e γ é a constante de dispersão dada por
γ = E{|ak| 4}
E{|ak|2}, (3.10)
em que ak pertence ao conjunto A de símbolos possíveis da modulação utilizada. A fun-
ção de custo, JCMA, é otimizada pelo método do gradiente descendente com aproximação
estocástica, substituindo a esperança matemática por uma estimativa instantânea. Os pa- râmetros são ajustados a cada instante k de acordo com a expressão
w(k) = w(k − 1) + µe(k)u(k), (3.11)
em que µ é o passo de adaptação e
u(k) =u(k) . . . u(k − l) . . . u(k − N + 1)T. (3.12)
Todavia, como apresentado em [Godard 1980, Benveniste e Goursat 1984] o critério de Godard, utilizado no CMA, possui pontos de mínimo local, dificultando o processo de equalização. Com base nesse problema, existem vários trabalhos na literatura que propõem técnicas para melhoria do processo de equalização.
Os trabalhos apresentados em [Han et al. 2005, Zaouche et al. 2008, Liu et al. 2008,
Gang e Yourong 2009] utilizam algoritmos genéticos para otimizar a função JCMA, de-
finida na Equação (3.8). Contudo, apesar de algumas dessas literaturas apresentarem resultados significativos, algumas ressalvas devem ser feitas. O uso da função de custo do CMA, que possui muitos pontos de mínimos locais, pode exigir muito tempo de pro- cessamento até que se tenha uma solução aceitável. Além disso, dada a complexidade do próprio algoritmo genético, o uso desta técnica aliada a atualização em tempo real dos parâmetros do equalizador pode tornar esse uso inviável em termos de tempo de proces- samento. Nesse caso, pode ser interessante que a compensação feita pelo equalizador seja
CAPÍTULO 3. EQUALIZAÇÃO CEGA ADAPTATIVA 28
realizada em blocos.
Uma alternativa para evitar os mínimos locais é a utilização de programação linear proposta por [Kennedy e Ding 1992], em que passa-se a ter uma função de custo con- vexa e, portanto, globalmente convergente. Por essa função não considerar os efeitos do ruído sistêmico, [Fernandes 2015] realizou uma pequena alteração nessa função de custo para que ela abrangesse esses efeitos. Porém, como foi descrito no Capítulo 1, devido à natureza aleatória dos fenômenos de ruído, essa nova função passou a considerar pa- râmetros estocásticos e, então, uma modelagem de programação linear estocástica se faz necessária.
Capítulo 4
Programação Linear Estocástica
Os problemas de otimização tem como objetivo buscar soluções para problemas do mundo real através de modelos matemáticos. Dentre os diversos modelos matemáticos desenvolvidos, a programação linear (PL) é uma técnica matemática que envolve o pla- nejamento de atividades que competem entre si pela utilização de recursos escassos para se obter um resultado ótimo de acordo com a função objetivo e as restrições definidas [Hillier e Lieberman 2006]. Assim, a programação linear preocupa-se com a maximi- zação ou minimização de uma função objetivo linear em diversas variáveis, sujeita à restrições representadas por um conjunto de inequações e equações lineares [Dantzig e Thapa 1997]. Além de pressupor que todas as funções matemáticas nesse modelo são ne- cessariamente funções lineares, a programação linear também pressupõe que todos seus parâmetros sejam constantes.
Entretanto, não é incomum que problemas reais estejam associados a parâmetros in- certos, como produção, demanda, custos, entre outros. Sob incerteza, nem toda a infor- mação necessária está disponível, e alguns parâmetros devem ser modelados como variá- veis aleatórias. O trabalho de [Sahinidis 2004] categoriza as principais abordagens sob incerteza em três grupos: programação estocástica, programação fuzzy, e programação estocástica dinâmica. Destas, apenas a programação estocástica estará no escopo desta dissertação.
Muitos modelos de programação estocástica (SP) são inicialmente formulados como modelos de programação linear. Se um dos parâmetros numa LP é incerto e a LP pa- rece ser bastante sensível às alterações nestes parâmetros, então pode ser apropriado con- siderar um modelo de programação estocástica [Sen e Higle 1999]. A ocorrência não determinística desses parâmetros gera diversos cenários possíveis para um mesmo pro- blema. Enquanto o modelo linear permite calcular a melhor solução para cada um desses cenários separadamente, o modelo estocástico considera o conjunto de todos os cenários simultaneamente, sendo associada a cada cenário uma probabilidade de ocorrência.
CAPÍTULO 4. PROGRAMAÇÃO LINEAR ESTOCÁSTICA 30
Em SP, presume-se que as funções de distribuição de probabilidade dos parâmetros incertos são conhecidos e que os decisores tentarão obter uma solução ótima que minimiza o valor esperado do objetivo [Hosseini e Dullaert 2011]. Assim, o modelo estocástico pode apresentar uma solução mais adequada que uma abordagem determinística.
Nas seções seguintes, será feita uma breve introdução à programação linear e pro- gramação linear estocástica. Serão tratados também os tipos principais de abordagens estocásticas. Algumas considerações sobre o presente trabalho são feitas no fim do capí- tulo.
4.1
Programação linear
A definição matemática de uma programação linear na forma padrão é encontrar os valores de w1≥ 0, w2≥ 0, . . . , wn≥ 0 e minimizar z satisfazendo
v1w1 + v2w2 + · · · + vnwn = z (Min) u11w1 + u12w2 + · · · + u1nwn = b1 u21w1 + u22w2 + · · · + u2nwn = b2 .. . + ... + ... + ... ... um1w1 + um2w2 + · · · + umnwn = bm (4.1)
Porém, como o sistema é linear, a Definição (4.1) pode ser estendida, através das propriedades dos sistemas lineares, para uma definição mais abrangente. Em notação matricial, podemos definir uma programação linear como
Otimizar vTw= z
sujeito a U w = b (U w ≤ b ou U w ≥ b), U: m × n,
w≥ 0.
(4.2)
em que w ∈ Rné o vetor das variáveis de decisão, v, U e b são os dados associados ao pro- blema. A operação de otimização pode denotar tanto uma transformação de maximização quanto de minimização.
4.1.1
Classificação das soluções
As soluções possíveis de um problema de programação linear podem ser classificadas de várias formas. Uma solução viável é aquela para a qual todas as restrições são satis- feitas. Do mesmo modo, uma solução inviável corresponde a uma solução na qual pelo
CAPÍTULO 4. PROGRAMAÇÃO LINEAR ESTOCÁSTICA 31
menos uma das restrições não é satisfeita. Uma solução ótima é uma solução viável que tem o valor mais favorável da função objetivo. Por valor mais favorável entende-se como o maior valor se a função objetivo tiver de ser maximizada, ou como o menor valor caso ela deva ser minimizada.
4.1.2
Operações elementares
Um mesmo modelo de programação linear, pode, sem qualquer perda para suas pro- priedades matemáticas, ser reescrito de acordo com a conveniência. Esse processo de tradução é realizado através das operações elementares descritas a seguir.
Mudança no critério de otimização
Corresponde a transformação de um problema de maximização para um problema de minimização, ou vice versa. Essa mudança pode ser realizada utilizando as seguintes propriedades:
Maximizar ( f (w)) corresponde a minimizar (− f (w)) e Minimizar ( f (w)) corresponde a maximizar (− f (w)).
Transformação de uma variável livre em uma variável não negativa
Sendo wn∈ R uma variável livre cuja modelagem exige que as restrições sejam não-
negativas, essa mudança exigirá a substituição da variável em transformação por duas variáveis auxiliares, ambas maiores ou iguais a zero, cuja soma (ou diferença) seja igual à variável original, ou seja
wn= w1n+ w2ne w1n≥ 0, w2n≥ 0.
Transformação de desigualdades em igualdades
Para o caso de transformações de menor ou igual para igualdade, supondo a restrição w1+ w2+ · · · + wn≤ 0,
para transformá-la em restrição de igualdade, pode-se introduzir uma variável de folga
wn+1 capaz de completar a desigualdade, o que permite apresentar a restrição de forma
que
CAPÍTULO 4. PROGRAMAÇÃO LINEAR ESTOCÁSTICA 32
Já para o caso de transformação de restrições de maior que para igualdade, supondo a restrição
w1+ w2+ · · · + wn≥ 0,
para transformá-la em restrição de igualdade, pode-se introduzir uma variável de folga
wn+1, com coeficiente negativo, capaz de completar a desigualdade, passando a represen-
tar a restrição da seguinte forma
w1+ w2+ · · · + wn− wn+1= 0, wn+1≥ 0.
4.1.3
Limites
Numa programação linear na forma padrão, as quantidades dos recursos são sempre não-negativas. Porém, em muitos problemas reais, as quantidades dos recursos estão entre um valor superior e/ou outro inferior. A seguir, são detalhados esses tipos de restrições.
Não-negatividade
Tipicamente, em modelos de programação linear, as quantidades dos recursos em questão são não-negativas. Esta característica das variáveis do modelo de programação linear é conhecida como o pressuposto não negatividade. Em programas lineares, as
restrições de não-negatividade nas variáveis é denotado por wj ≥ 0.
Limites superior e inferior
Às vezes, é necessário que a quantidade de um recurso não seja menor que uma dada quantidade, lin f, chamada de limite inferior. Este limite pode ser positivo ou negativo. Também podem haver outras restrições sobre as variáveis, de modo que elas não possam
exceder uma determinada quantidade, lsup, chamada um limite superior. Para um dado
recurso j, isso pode ser representado por lin fj ≤ wj ≤ lsupj.
4.1.4
Hipóteses da programação linear
Todas as hipóteses de programação linear estão, na realidade, implícitas na formulação do modelo apresentado na Definição (4.2). Do ponto de vista matemático, essas hipóteses se resumem à obrigatoriedade no modelo de possuir uma função objetivo linear sujeita a restrições lineares.
CAPÍTULO 4. PROGRAMAÇÃO LINEAR ESTOCÁSTICA 33
Entretanto, do ponto de vista de modelagem, essas propriedades matemáticas de um modelo de programação linear implicam que certas hipóteses têm de ser satisfeitas em relação às atividades e aos dados do problema que está sendo modelado, incluindo hipó- teses sobre o efeito de se variar os níveis de atividades [Hillier e Lieberman 2006]. A seguir são apresentadas as quatro hipóteses da programação linear, conforme definido por [Hillier e Lieberman 2006].
Hipótese da proporcionalidade
A contribuição de cada atividade ao valor da função objetivo z é proporcional ao nível de atividade wj, conforme representado pelo termo vjwjna função objetivo;
Hipótese da aditividade
Toda função em um modelo de programação linear, seja a função objetivo, seja a função que se encontra do lado esquerdo da declaração de uma restrição funcional (ver Equação (4.1)), é a soma das contribuições individuais das respectivas atividades;
Hipótese da divisibilidade
As variáveis de decisão em um modelo de programação linear podem assumir quais- quer valores, inclusive valores não-inteiros, que satisfaçam as restrições funcionais e de não-negatividade;
Hipótese da certeza
O valor atribuído a cada parâmetro de um modelo de programação linear é assumido como uma constante conhecida.
Em aplicações reais, a hipótese da certeza raramente é satisfeita de forma precisa. Os modelos da programação linear são, em geral, formulados para selecionar alguma me- dida futura. Portanto, os valores de parâmetros usados seriam baseados em uma previsão de condições futuras que, inevitavelmente, introduz algum grau de incerteza [Hillier e Lieberman 2006].