Isolants de Mott dopés et modèles en couplage fort

Résoudre l’hamiltonien de Hubbard à 3 bandes est bien évidement une tâche très ardue, aussi l’idée que l’essentiel de la physique à basse énergie était capturé par un modèle utilisant un Hamiltonien effectif à une bande s’est rapidement imposée (Zhang et Rice 1988). Dans l’approche de Zhang et Rice, un trou additionnel résonne sur les

4 sites oxygène entournant un atome de cuivre, et se couple à son spin, formant un singulet (le singulet de Zhang et Rice, par ailleurs mis en évidence expérimentalement par ARPES polarisé en spin (Brookes 2001)). En se focalisant uniquement sur les singulets de plus basse énergie, on obtient un modèle à une bande effective, qui devient, dans la limite U → ∞, le fameux modèle t − J :

H =P[− ^X <i,j>,σ t(c^†_i,σcj,σ+ c^†_j,σci,σ) + J X <i,j> ~ Si.~Sj− ¹ 4^ninj]P ^(1.6) L’opérateur P est un opérateur de projection qui exclu de l’espace des états propres du systèmes les doubles occupations, t est l’intégrale de transfert du site i au site j

(c’est la largeur de bande) et J est la constante d’échange J = 4t2/U . ni est le nombre

d’électrons au site i (0 ou 1 puisque la double occupation est exclue). Ce modèle cache derrière une apparente simplicité, une physique extrêment riche. Il a ainsi été exhaus-tivement étudié et sert de point de départ pour de nombreuses théories (pour une revue récente, voir Lee (2006)). Parmi les modèles les plus utilisés, on trouve le mo-dèle RVB (pour Resonating Valence Bond - paires de valence résonantes) d’Anderson. D’autres modèles en couplage fort supposent l’existence d’un ordre en compétition avec la supraconductivité. Nous allons en dire quelques mots.

RVB et paires préformées Introduit dès 1987 par Anderson, ce modèle est basé sur l’existence d’une séparation entre les degrés de liberté de spin et de charge (réalisée à l’aide d’une méthode de boson esclave) de l’électron dans un isolant de Mott dopé : ce modèle ne décrit pas la phase isolante, mais pourrait s’appliquer à faible dopage, une fois achevée la destruction de l’antiferromagnétisme. Les travaux successifs de Kotliar et Liu (1988) et Nagaosa et Lee (1992) ont permis d’arriver au diagramme de phase RVB bien connu (figure 1.31).

Métal

« étrange »

Liquide

de Fermi

Etat

RVB

Dopage p

T

Supra.

de symétrie

Fig. 1.31: Diagramme de phase dans l’approche RVB. Pour T < TRV B, des singulets de

spins sont formés, condensant sous la forme d’un supraconducteur de symétrie d sous

La phase métal étrange est décrite comme un état dans lequel spin et charge sont totalement séparés, et leurs excitations incohérentes. Pour une température T <

TRV B, T > TBE, les spins s’apparient sous forme de dimères, et on décrit l’état

fon-damental du système comme une superposition quantique de l’ensemble des singulets possibles : un gap de spin, correspondant à l’énergie nécessaire pour briser un de ces

dimères apparait. Il est identifié au pseudogap. Pour T < TBE, T > TRV B, les

ex-citations de charges deviennent cohérentes (les bosons-esclaves qui portent la charge subissent une condensation de Bose-Einstein qui confère aux quasiparticules un poids

spectral fini) et l’on obtient un liquide de Fermi. Enfin pour T < TBE, T < TRV B, un

supraconducteur de type d se forme, suite à la condensation des spins en dimères à laquelle se superpose la cohérence des charges. Il existe un certain nombre de modèles qui considèrent qu’on trouve dans la phase pseudogap non pas des paires de spins, mais de véritables paires de Cooper, qui fluctuent de manière trop importante pour que s’établisse la cohérence de la phase supraconductrice (voir par exemple Randeria (1992)). L’appariement et la condensation supraconductrice sont alors deux phéno-mènes différents. Ces paires préformées, pas plus que l’état RVB n’ont cependant été détectées expérimentalement.

Ordres en compétition L’autre grande famille de modèles en couplage fort examine la possibilité que la forme du dôme supraconducteur soit lié à une compétition entre l’état supraconducteur et une autre forme d’ordre à longue distance. Parmis les plus régulièrement invoquées, on trouve les modèles faisant intervenir des courants orbitaux (onde de densité de charge de symétrie d, brisure de l’invariance par renversement du temps) ou encore les stripes.

Dopage p

Φ, ∆

+∆

Φ

∆

Φ

T = 0

Fig. 1.32: Ordre en compétition avec la supraconductivité : cas d’une onde de densité de

charge de symétrie d. A T = 0, le paramètre d’ordre associé à l’onde de densité Φ s’annule près du dopage optimal, ou le paramètre d’ordre supraconducteur ∆ est maximal. Le gap

dans la dispersion des quasiparticules à T = 0 vaut alors √

∆2+ Φ2 (Chakravarty 2001).

Ce type de diagramme se généralise à l’ensemble des théories de la phase pseudogap faisant intervenir un ordre en compétition avec la supraconductivité.

L’onde de densité de charge de symétrie d (DDW pour d-density wave) correspond

symétrie (Chakravarty 2001). Dans ce cadre, le pseudogap est en réalité un vrai gap dont l’amplitude correspond au paramètre d’ordre associé à la transition établissant l’onde de densité, et qui décroit avec le dopage jusqu’à s’annuler pour une certaine valeur critique. L’établissement de la supraconductivité, médié ici par l’interaction d’échange n’est énergiquement favorable qu’à basse température, ou fort dopage (voir figure 1.32). Une des conséquences de cette phase DDW est la présence de courants orbitaux induisant un magnétisme a priori mesurable (antiferromagnétisme orbital), mais non détecté à ce jour.

Un autre type d’ordre souvent invoqué est celui des stripes. Celles-ci correspondent à des ségrégations dans l’espace réel entre des zones de forte densité de charge, et des zones de densité plus faible, qui prennent la forme de rubans. Elles peuvent aussi bien être statiques que fluctuantes (voir (Kivelson 2003) pour une revue récente sur le sujet), et bien que leur réalité ne fasse plus de doute dans un certain nombre de cuprates (Tranquada 1995), leur universalité dans l’ensemble des cuprates semble loin d’être acquise (Hinkov 2004).