Inversion de la relation flux-courant

Dans le paragraphe suivant, nous nous intéressons au calcul des courants à partir des flux.

II.3.3. Inversion de la relation flux-courant

Le problème posé par l’expression des courants en fonction des flux peut être abordé par au moins trois façons :

▪ faire un ajustement de fonction (Curve fitting) sur les données des cartographies des flux pour trouver une formulation analytique qui exprime des flux en fonction des courants. Dans un deuxième temps, trouver une fonction analytique inverse pour exprimer les courants en fonction des flux. Ceci va entraîner des écarts liés aux ajustements.

▪ à partir des cartographies des flux, produire des cartographies des courants en fonction des flux avec un algorithme non-linéaire.

▪ utiliser une troisième voie qui sera présentée dans le paragraphe II.4.

Les cartographies des flux peuvent être approximées avec les fonctions suivantes : ▪ les polynômes ;

Page | 48 ▪ les fonctions rationnelles;

▪ les fonctions logistiques (Verhulst).

▪ Selon l’article [12], le choix des fonctions logistiques est le meilleur, parce qu’il permet de bien modéliser la saturation et d’éviter les problèmes d’instabilité numérique. Cette approche a été appliquée aux moteurs synchrones à aimant permanent[13] et aux machines à induction[14]. Dans le cas de la machine à rotor bobiné la situation est plus compliquée parce que dans l’axe d, il y a deux enroulements qui produisent de la force magnétomotrice (FMM). Ceci va produire trois fonctions qui dépendent de 3 variables qu’il faut inverser. Ce problème est compliqué par la présence des deux sources de FMM sur l’axe d dont l’effet sur une valeur de flux est délicat à discriminer.

▪ Nous allons calculer les courants en fonction des flux en utilisant un algorithme d’optimisation qui va résoudre les équations non-linéaires. Les cartographies des flux en fonctions des courants serviront comme données d’entrées. Pour établir des cartographies des courants en fonction des flux, il faut choisir les pas des flux pour avoir des cartographies des courants assez précises d’une part, et pour que le temps des simulations des régimes transitoires d’autre part, ne soit pas trop long.

Les vecteurs flux du modèle dq [ d-vec], [ q-vec] et [ f-vec] sont définis comme suit : ▪ [ d-vec] = { d-min : pas du flux d : d-max}

▪ [ q-vec] = { q-min: pas du flux q : q-max} ▪ [ f-vec] = { f-min: pas du flux f : f-max}

▪ Les valeurs extrêmes des vecteurs flux min et max sont choisies en prenant en compte les regimes établis et transitoires où la machine est la plus saturée. Après avoir défini les vecteurs flux [ vec] et calculé les cartographies des flux f (id,iq,if ), on

peut passer à la réalisation des cartographies des courants en fonctions des flux. Pour y arriver, nous devons résoudre un système de 3 équations non-linéaires pour toutes les combinaisons des valeurs des vecteurs des flux.

▪ Le système à résoudre contient : ▪ 3 inconnues : les courants id, iq et if, ▪ 3 fonctions :

= �_� � , � , � (II.31)

= �_�(� , � , � ) (II.32)

= �_� � , � , � (II.33)

▪ Nous cherchons à minimiser les écarts entre les flux donnés par le système d’équations suivant :

Page | 49 ∆ = _ − �_�(� , � , � ) (II.35)

∆ = _ − �_� � , � , � (II.36)

Le processus est résumé sur la figure suivante Fig.II.3.3.

Fig.II.3.3 Diagramme simplifié pour illustrer l’inversion de la relation flux-courant [15]

Les fonctions f d, f q et f f représentent les tableaux des flux en fonction des courants. Pour des valeurs données des courants, l’interpolation de type « spline » est utilisée. Les valeurs des flux d_ref, q_ref et f_ref viennent des vecteurs des flux [ d-vec], [ q-vec] et [ f-vec]. Cette inversion est faite pour toutes les combinaisons des valeurs issues des vecteurs flux. On peut tracer l’évolution du courant iqen fonction des flux dq sur la figure

Fig.II.3.4.Les autres cartographies de courants sont présentées dans l’annexe A.2.

Fig.II.3.4 Cartographie du courant iq en fonction des flux d et q pour le flux f=const

Page | 50 Dans les cartographies des courants en fonction des flux, il y a des points pour les combinaisons des flux impossibles à trouver dans une machine. Par exemple, il y a des combinaisons où le flux f a une valeur fortement négative et le flux d qui a une valeur fortement positive alors que ces deux valeurs n’apparaissent pas dans la machine en même temps. L’inversion est faite pour que les simulations des transitoires soient moins lourdes en temps de calcul. Dans la topologie de la machine pour les simulations, les courants en fonction des flux sont stockés dans les tableaux LUTs ou « LookUp Tables ».

Toutes les étapes de la création du modèle dq (id,iq,if) sont illustrées sur la

Fig.II.3.5 La création du premier modèle peut prendre beaucoup de temps, mais une fois

que les procédures pour la fabrication et l’inversion des cartographies sont mises en place, la réalisation de modèles similaires pour d’autres machines est largement écourtée. L’étape qui prend le plus de temps est la création des cartographies des flux. Pour ce modèle, cette étape a pris 15 jours à faire pour un seul ordinateur de type PC ordinaire. Le temps de calcul peut être réduit par des calculs distribués sur un réseau d’ordinateurs. L’inversion des cartographies des flux pour obtenir des cartographies des courants a pris 4 jours environ. Dans le cadre de nos études, les courants peuvent atteindre 15 fois leurs valeurs nominales. Si les courants, pendant les transitoires, atteignent des valeurs moins importantes, les valeurs extrêmes des vecteurs des courants imin et imax seront moins importantes. Par conséquent, le temps de calcul des cartographies des flux et de l’étape d’inversion peut être considérablement réduit.

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