Inversion des données de résistivité

a) Choix d’une norme

Les données de résistivités apparentes sont inversées afin d’obtenir un modèle des résistivités que nous appellerons dans ce texte « résistivités interprétées vraies (ρvraie) » à l’aide du logiciel Res2Dinv v.3.59.119 (Loke & Barker, 1996).

Les inversions peuvent être faites sous deux normes (L1 ou L2), qui utilisent la méthode des moindres carrés avec une régularisation de Tikhonov d’ordre 1 (régularité des gradients) ou 2 (régularité de la matrice Hessienne) (Wolke & Schwetlick, 1988). Théoriquement, avec la norme L1 les données de résistivité apparente sont inversées en minimisant la somme des valeurs absolues des différences des résistivités apparentes et des résistivités calculées. Elle tend à reproduire un modèle continu par partie (Ellis & Oldenburg, 1994), plus adapté dans un environnement hétérogène avec des variations discontinues de résistivité.

La norme L2 est une méthode qui a tendance à reproduire un modèle avec des variations graduelles des résistivités, en minimisant la somme des carrés des différences des résistivités apparentes et calculées également au moyen de la méthode des moindres carrés. Cette approche est adaptée quand la résistivité du sous-sol varie d’une manière continue.

Le choix de l’une ou de l’autre des deux normes repose sur notre connaissance a priori (cf. 1.2.2) de la structure, au moins localement discontinue, des formations géologiques locales (environnement karstique non saturé, discontinuités et variabilité spatiale du terrain sont loin d’être négligeables). En tenant compte de ces informations, la norme L1 est choisie pour surveiller une zone de faible résistivité, variable dans le temps (zone qui sera, on le verra plus loin dans le texte, l’objet principal de l’étude). En effet, cette norme devrait permettre de mieux reproduire la structure de cet environnement complexe. Cette norme donne une inversion aux contours raides, et un contraste plus fort entre les résistivités (Genelle, 2012) or, à l’instar de ce qui est écrit plus haut, la grotte de Lascaux se trouve dans un environnement tel que la transition entre la roche saine et les zones d’altération peut être brutale (Photo 2).

Photo 2. Transition brutale au sein des calcaires coniaciens

Le 23 janvier 2013, des profils ont a réalisés dans le but de tester les différents dispositifs, les espacements inter électrodes ainsi que la méthode d’inversion. En comparant la structure des différentes modèles en résultant aux profondeurs des terrains obtenus au moyen d’un pénétromètre par B. Lopez (cf. 1.2.3.2), l’inversion sous L1 avec la concaténation des dispositifs pôle-dipôle (direct et inverse) et gradient donne une profondeur de calcaire plus adéquate que les autres couplages (Sirieix & Xu, 2014).

b) Paramètres du maillage des modèles de résistivité

Les paramètres des maillages utilisés sont les suivants :

- L’épaisseur des blocs augmente de 5% à chaque changement de couche ;

- La largeur de bloc est dite affinée : elle est de 0,25 m pour le profil I-50/II-50, et de 0,5 m pour le profil I-100/II-100 ;

- Une réduction de l’effet de bloc aux bordures est appliquée de telle sorte que son influence soit faible (Loke & Barker, 1996).

De plus, on définit un facteur d’amortissement initial de 0,1 et minimum de 0,01. Celui-ci est relativement faible par rapport à la valeur par défaut proposée sous Res2Dinv car les mesures ne sont pas apparues bruitées. La méthode d’optimisation utilisée est la méthode de « Gauss-Newton complète » utilisant le logarithme décimal des résistivités (log10 ρa).

Pendant une période de vingt-deux mois, vingt-deux campagnes de mesure TRE à l’intervalle plus ou moins régulier ont été réalisées. Cependant quelques données sont manquantes en raison de pannes inopinées de l’appareil de mesure. Le détail des mesures manquantes est donné dans la liste intégrale des campagnes géophysiques (Tableau 2).

Tableau 2. List de des campagnes de TRE

Date Profil

I-50 I-100 II-50 II-100

06/06/2012 × 07/06/2012 × × 04/10/2012 × × 24/10/2012 × × × × 29/11/2012 × × × × 12/12/2012 × × × × 25/01/2013 × × × × 06/02/2013 × × × 22/02/2013 × × × × 04/03/2013 × × × × 03/04/2013 × × × × 16/05/2013 × × × × 19/06/2013 × × × × 02/07/2013 × × × × 16/07/2013 × × × × 05/09/2013 × × × × 27/09/2013 × × × × 23/10/2013 × × × × 13/11/2013 × × × × 28/11/2013 × × × × 16/12/2013 × × × × 10/01/2014 × × × × 28/03/2014 × × × ×

2.1.1.3. Normalisation des résistivités

Chaque modèle de résistivité contient 2 080 blocs de résistivités répartis sur 18 couches. L’épaisseur des couches augmente en fonction de la profondeur pour un largueur de bloc identique (cf. 2.1.1.2). La différence d’épaisseur des blocs est donc à l’origine d’une contribution inhomogène des valeurs de résistivité lors des calculs statistiques ce qui fait qu’une même valeur de résistivité attribuée à un bloc superficiel ou profond représenterait un « volume de terrain » différent alors qu’elle aurait le même poids lors des calculs statistiques. Afin d’éliminer cet effet de poids, les valeurs des résistivités sont pondérées par l’inverse de l’aire de la surface du bloc hébergeur (Équation 3). Ces valeurs de résistivités sont alors dites

𝐷𝐶𝑅 𝑖 _{𝜎 (𝜌𝑢𝑠)}

avec μ la moyenne et σ l’écart-type de ρus.

Une alternative à cette normalisation des données aurait pu être de réaliser des inversions en imposant une épaisseur constante aux différentes couches des modèles et donc, à chaque bloc (0,175 m – valeur arrondie qui est égale à l’épaisseur de la première couche du modèle obtenue par la première méthode) ce qui confèrerait le même poids à chaque bloc (Figure 18). Cependant, d’après l’organisation des blocs, il est clair que la première méthode (Figure 18.a) permet d’avoir au moins un point de mesure par bloc du modèle, alors que beaucoup de blocs en sont exempts dans le cas de la deuxième méthode (Figure 18.b). De plus, la deuxième organisation contient trente-neuf couches dans le modèle final au lieu de dix-huit, ce qui aurait pour conséquence d’augmenter significativement les temps d’inversion.

Figure 18. Comparaison de l’organisation des blocs – a) l’épaisseur augmente en fonction de la profondeur, b) l’épaisseur est constante : 0,175 m

Graphiquement, les modèles (Figure 19) issus des mesures du 2 juillet 2013 ayant tous deux été inversés avec la norme L1, sont assez semblables (les erreurs absolues sont respectivement égales à 0,62 et 0,72) ; toutefois le deuxième modèle montre une allure plus lisse en profondeur. Cependant, celui-ci présente une résistivité localement plus importante avec par exemple, 5% et 23% d’augmentation à 4,8 m et 6,2 m de profondeur. L’autre inconvénient du choix d’un maillage uniforme est une profondeur maximale plus faible du modèle de résistivité (b-1 et b-2 dans la figure 19 et également dans la figure 20). Elle peut atteindre une valeur de 7,9 m dans le cas où l’épaisseur augmente en fonction de la profondeur alors que la profondeur maximale est à 5 m seulement dans le cas contraire. Les maillages,

n’apparait qu’à la fin de l’inversion sous Res2DInv (version. 3.59.119). La présence des blocs ayant une forte résistivité est donc moins évidente dans le cas de maillage uniforme ce qui serait dommageable pour l’interprétation du site comme on le montrera plus loin (cf. 3.1).

Figure 20. Comparaison de la sensibilité du modèle après inversion en utilisant les différentes organisations de blocs – a) l’épaisseur augmente en fonction de la profondeur, b) épaisseur constante de 0,175 m.

En conclusion, nous décidons de conserver une maille irrégulière afin d’avoir de meilleurs résultats d’inversion et les données de résistivité pourront être ensuite normalisées pour les traitements statistiques.