3.1.1 Présentation et bref historique des codes de calcul hydrodynamiques
Les codes hydrodynamiques sont des codes de dynamique rapide utilisés pour calculer des réponses à court terme lorsquele comportement des matériaux dépend fortement de la pression hy- drostatique (voir[70]). Autrement dit, nous avons ³Σ¡X , T¢∼ P¡X , T¢· 1´. De tels problèmes sontgénéralement caractérisés par l’aspect transitoire des phénomènes mis en jeu, traduisant la présence d’ondes de choc, de fortes déformations, et de temps caractéristiques extrêmement courts. L’ini- tialisation de ces phénomènes se fait généralement par impact matériel (projectile, crash..) ou bien encore suite à une détonation (décomposition chimique rapide).
Les domaines d’application des codes hydrodynamiques sont nombreux, et recouvrent différents domaines, allant des essais de type "crash-test", à l’étude de la balistique des armes, ou bien encore à la résistance à la perforation. D’un point de vue pratique, les codes 1D sont principalement utilisés pour résoudre les problèmes de propagation d’ondes de choc planes, tandis que les codes 2D sont majoritairement dédiés à l’étude de problèmes axisymétriques (impact normal de cylindres, barres, sphères, projectiles axisymétriques). Finalement, les problèmes plus complexes tels que les impacts inclinés requièrent l’utilisation de codes tridimensionnels. Ces derniers ne seront pas abordés au cours de la présente étude, et nous nous limiterons à des problèmes 2D-plan.
Un des premiers codes hydrodynamique connu est le code HEMP1 développé à la fin des années
1950 aux USA par Marc L.Wilkins de l’Université de Californie (voir[71]). Ce premier code a par la suite été suivi par un grand nombre de codes basés sur la méthode des diffèrences finies (voir le tableau 3.1). Puis, depuis les années 1970, sous l’impulsion des laboratoires américains Los Alamos National Laboratory (LANL) et Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL), plusieurs codes éléments finis, initialement conçus pour traiter des problèmes quasi-statiques, ont peu à peu pris le pas sur les codes historiques avant de définitivement s’imposer.
3.1.2 Principe de fonctionnement des codes hydrodynamiques
Plusieurs méthodes de résolution numérique sont utilisées dans les codes hydrodynamiques. Parmi les plus employées, il convient notamment de citer les algorithmes de discrétisation par différences finies, et par éléments finis.
La mise en œuvre de ces méthodes repose sur une étape essentielle : la formulation du problème continu sous une forme discrète pouvant être facilement interprétée et résolue par les machines de calcul. Pour cela, le système d’équation gouvernant le problème doit être récrit sur un domaine spatio-temporel discret. Cette discrétisation se fait à la fois en espace et en temps :
FIGURE3.1 – Liste non exhaustive des principaux codes hydrodynamiques existant. (voir[32], p.174- 176)
• la discrétisation en espace permet de définir unmaillage, qui est une approximation discrète
du domaine d’étude (dans notre cas de figureΩ(T ))
• la discrétisation temporelle de l’intervalle de temps permet quant à elle de définir différents
instants discrets permettant une résolution pas à pas des problèmes.
La méthode la plus simple à mettre en œuvre est la méthode des différences finies notamment en raison de sa facilité d’implémentation. Elle consiste à remplacer les opérateurs différentiels conti- nus par des opérateurs discrets aux différences et permet d’obtenir aussi bien une discrétisation en temps, qu’une discrétisation en espace. Le domaine d’étude est alors approché par une liste de points répartie sur le domaine d’étude. Le maillage obtenu s’avère cependant inadapté pour traiter des géométries complexes et nous lui préférons généralement la méthode des éléments fi- nis qui utilise un assemblage de volumes élémentaires et que nous décrivons dans la section suivante.
La majorité des codes couplent donc ces deux méthodes : la discrétisation temporelle des équations se fait à l’aide de schéma aux différences finies, tandis que la discrétisation spatiale est effectuée par la méthode des éléments-finis. Nous revenons sur ce point de manière plus détaillée au cours de la section suivante.
3.1.3 Les approches eulérienne et lagrangienne
Les codes hydrodynamiques sont généralement regroupés en deux grandes familles : Eulérien et Lagrangien. Comme nous allons le voir, ces deux descriptions dépendent essentiellement du choix du maillage utilisé pour approcher le problème.
Description lagrangienne
Dans la description lagrangienne,le maillage se déforme avec la matière : les points de la grille de discrétisation sont attachés à la matière et se déplacent localement avec une vitesse égale à la vitesse matérielle (voir figure 3.2). Les grandeurs de l’écoulement (vitesse, pression...) sont calcu- lées de la même façon en chaque point au fur et à mesure de l’avancée de l’intégration. Des points adjacents de la discrétisation peuvent donc se rapprocher ou s’éloigner en fonction des contraintes et des déformations locales. La masse, la quantité de mouvement et l’énergie sont donc transpor- tées par l’écoulement. La masse contenue dans la maille est invariante au cours de l’intégration en temps, mais le volume et la forme des mailles change en raison de la dilatation et de la compression du matériau.
FIGURE3.2 – Approche lagrangienne : le maillage se déforme avec le matériau. Image extraite de "Hy-
Description eulérienne
Dans ce cas de figure, le maillage reste fixe (voir figure 3.3). Tous les points de la discrétisation restent par conséquent immobiles dans l’espace au fur et à mesure de l’avancée de la résolution du problème. Pour obtenir la description eulérienne d’un écoulement, nous calculons les grandeurs physiques (vitesse, pression...) aux points du réseau de discrétisation, disposés en des positions déterminées de l’espace. La masse, la quantité de mouvement et l’énergie transportées par la ma- tière transitent d’une maille à ses voisines. Dans une telle description, le volume de la maille reste constant car les points de discrétisation restent fixes dans l’espace. Les mailles contenant plusieurs matériaux sont appelées mailles mixtes.
FIGURE3.3 – Approche eulérienne : le maillage reste fixe. Image extraite de "Hydrocodes - Codes de
dynamique rapide", (voir[33])
Avantages et inconvénients des deux approches
Bien évidemment chacune des deux méthodes présente à la fois des avantages et des inconvénients que nous récapitulons ici :
• Avantages et inconvénients de l’approche lagrangienne
Avantages de l’approche lagrangienne :
— respect des contours des matériaux : le maillage respecte la géométrie de chaque objet ; — traitement immédiat des conditions aux limites de surface libre et de contact de glissement
entre les objets ;
— possibilité de distinguer à tout moment des zones de discrétisation pour chaque objet ; — possibilité de suivre une grandeur attachée à une particule de l’écoulement ;
Inconvénients de l’approche lagrangienne :
— nécessité de prévoir des algorithmes de contact-glissement (non interpénétration de la ma- tière) ;
— difficulté pour traiter les grandes déformations (distorsion des mailles) ;
— difficulté pour traiter les phénomènes d’érosion, "d’arrachement de matière", tel que l’usure ou les phénomènes de "gouging" (voir figure 1.9, p. 37).
• Avantages et inconvénients de l’approche eulérienne
Avantage de l’approche eulérienne :
— pas de problème de distorsion de mailles, donc possibilité théorique de calculer tous les pro- blèmes d’impact à haute vitesse ;
— maillage fixe (voire cartésien) ; — parallélisation "massive". Inconvénient de l’approche eulérienne :
— incertitude sur le positionnement de la matière et donc des interfaces ;
— difficulté (voire impossibilité) de prise en compte du glissement entre les objets ; — difficultés pour le traitement des conditions aux limites ;
— difficultés pour traiter les phénomènes d’endommagement.
L’incertitude régnant sur le positionnement exact des interfaces rend la gestion du frottement par- ticulièrement complexe dans le cadre d’une approche eulérienne.Dans le cadre de cette étude, nous avons donc opté pour une description lagrangienne.