Éléments de discrétisation

Formulation variationnelle du problème de base

La discrétisation en espace est basée sur la méthode des éléments finis. Pour la mettre en œuvre, le système d’équations continues (eqs. 2.124-2.169, pp. 74 à 77), qui constituait la formulation forte du problème, est dans un premier temps récrit sous forme variationnelle (ou forme faible). Nous ne détaillerons pas cette étape mais noterons que dans la pratique, les équations aux dérivées partielles gouvernant le problème sont chacune multipliées par des fonctions test puis sont ensuite intégrées

sur l’ensemble du domaineΩ(T ) ∈ R2de frontière_{∂Ω(T )}.

La formulation variationnelle obtenue est une expression équivalente du problème. Elle contient l’ensemble des informations relatives à ce dernier, c’est à dire le système d’équations aux dérivées partielles gouvernant le problème et les conditions aux limites. Le problème ainsi formulé s’apparente à un problème de minimisation de l’énergie (que nous retrouvons par le biais du théorème des travaux virtuels classiquement utilisé en mécanique (voir[53])).

Discrétisation spatiale

L’étape suivante consiste à approcher cette formulation variationnelle du problème mécanique dans un sous-espace vectoriel de dimension finie. La méthode de base de l’approximation est la méthode dite de Galerkin. Celle-ci consiste à récrire les champs inconnusB¡_{X , T}¢du problème (par exemple le

champ des vitessesV¡X , T¢, le champ des contraintesΣ¡_{X , T}¢,...) comme une combinaison linéaire

d’un nombre fini de fonctions de forme Ni indépendantes du temps :

B¡_{X , T}¢₌X

i

B_{i· Ni (3.1)}

En choisissant successivement ces mêmes fonctions de forme Ni comme fonctions tests dans la formulation variationnelle, ceci nous permet finalement d’obtenir un système discret en espace. Dans la méthode des éléments finis, la géométrie continue de la structureΩest ainsi approchée par

une géométrie discrète, le maillageΩ_h. Celui-ci est constitué de_N nœuds_X

i, i = 1..N etM mailles polygonales Ω_j, j = 1..M vérifiantΩ_h=S Ω_j (voir figure 3.4). Notons que ces éléments peuvent

être de forme différentes. En l’occurrence, soit des triangles, soit des quadrangles : cela dépend essentiellement du choix des fonctions de formeNi.

Dans notre cas de figure, la discrétisation spatiale du problème est réalisée à l’aide du schéma décalé en espace de Wilkins, initialement développé afin de traiter les problèmes d’évolution élastoplastique (voir [71]). Cette méthode repose sur une discrétisation spatiale à deux niveaux. La formulation variationnelle discrète du problème s’obtient en multipliant :

• les lois de conservation de la masse et de l’énergie par des fonctions Υ de V₀, où V₀ est

l’espace des fonctions constantes par éléments,

• la loi de conservation de la quantité de mouvement par des fonctionsΨ_{= (ΨX,ΨZ)}deV₁, où V₁est l’espace des fonctions isoparamétriques bilinéaires continues en espace.

Les champs matériels, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles sont ainsi approchés par morceaux soit dans V₀, soit dans V₁ et peuvent ainsi être interpolés sur chacun des éléments du

FIGURE3.4 – Discretisation spatiale de la structure Ω(T ) à l’aide d’un maillage Ωh(T ) non structuré

constitué d’éléments triangulaires et quadrangulaires

Notons qu’avec ce schéma de discrétisation,

• les positions, X (T ), les vitesses V¡X , T¢, et les accélérations U¨¡X , T¢ sont définies aux

sommets des élémentsΩ_j,

• les variables thermodynamiques, telles que la densité ρ¡X , T¢, l’énergie interne e¡X , T¢, les contraintesΣ¡_{X , T}¢ ou bien encore la pression hydrostatique_P¡_{X , T}¢, sont quant à elles

supposées constantes dans chaque mailleΩ_j. Il en va de même pour les gradients des valeurs

calculées aux nœuds, telles que les taux de déformation et de rotation.

Notons finalement que ce schéma associe à chaque mailleΩ_j un volumeV¡Ω_j¢ainsi qu’une masse M¡Ω_j¢ constante au cours du temps.

Discrétisation temporelle

Une fois la discrétisation spatiale effectuée, le problème est finalement discrétisé en temps. Pour cela, le domaine temporel est subdivisé en un certain nombre de sous-intervalles£Tn,Tn+1_,...¤_nous permettant de définir plusieurs instants discrets et pas de temps∆_T. Dans la pratique, il existe deux

grandes familles de schémas temporels, les schémas dits explicites et les schémas implicites :

• les schémas explicites sont facilement implémentables car ils permettent de calculer le résul-

tat d’une équation au tempst +∆t en fonction des quantités connues à l’instanttprécédent. L’inconvénient majeur de cette méthode est la nécessité de prendre un pas de temps très petit pour préserver la stabilité du schéma.

• les schémas implicites (ex :le schéma de Newmark) sont des méthodes plus lourdes à mettre

en œuvre dès qu’il s’agit de traiter des problèmes fortement non-linéaires tel que le nôtre. En effet, afin que l’équation d’équilibre soit vérifiée à l’instantt + ∆t, une convergence de la solution est effectuée sur ∆_t. De fait, si les non-linéarités sont importantes pendant∆_t, la

convergence du problème sera difficile. En revanche, l’avantage de telles méthodes est leur stabilité inconditionnelle permettant ainsi l’utilisation d’un plus grand pas de temps.

Dans le cadre précis de cette étude, les phénomènes physiques que nous souhaitons observer sont des phénomènes transitoires rapides. Pour pouvoir mettre en évidence ces phénomènes, un pas de temps suffisamment petit est nécessaire. Pour satisfaire cette condition, nous utilisons le schéma d’intégration temporel explicite de Von Neumann Richtmeyer. Une des spécificités de ce schéma vient du fait qu’il utilise deux niveaux de discrétisation temporelle (voir figure 3.5) :

— un premier niveau à l’instant discretTn, — un second niveau à l’instant discretTn+1/2=12

¡ Tn+ Tn+1¢. Tn Tn−1 Tn−1/2 Tn+1/2 Tn+1 ∆_Tn+1/2 ∆_Tn−1/2 ∆_Tn ∆_Tn−1/2 2 ∆_Tn+1/2 2

FIGURE3.5 – Schéma d’intégration temporel à deux niveaux de VONNEUMANNRICHTMEYER: défini-

tion des pas de temps ∆Tn_{et ∆T}n+1/2_.

Nous distinguons donc deux pas de temps∆_Tn et∆_Tn+1/2 : ½ _∆

Tn= Tn+1/2− Tn−1/2, (3.2)

∆_Tn+1/2_{= T}n+1_{− T}n. (3.3)

Notons que l’utilisation de ces deux réseaux décalés permet d’obtenir très simplement le deuxième ordre de précision en temps, quand les variations de pas de temps ne sont pas trop importantes d’un pas de temps au suivant.

Pour illustrer le calcul des dérivées temporelles aux instantsTn etTn+1/2nous prenons pour exemple le calcul du champ des accélérationsU¨¡X_i¢n ainsi que le calcul du champ des vitesses V¡X_i¢n+1/2.

Les accélérations nodales à l’instantTn sont ainsi approchées par, ¨ U¡X_i¢n≈V ¡ X_i¢n+1/2− V¡X_i¢n−1/2 ∆_Tn . (3.4)

Les vitesses nodales à l’instantTn+1/2sont quant à elles approchées par,

V¡X_i¢n+1/2≈X n+1 i − X n i ∆_Tn+1/2 . (3.5)

Si besoin est, nous relions les deux échelles de temps à l’aide des approximations (3.6) et (3.7), valables aussi bien pour une grandeur définie par maille, que pour une grandeur définie aux nœuds. Nous avons ainsi pour une grandeur tensorielleBd’ordre quelconque :

         B¡_X i ¢n−1/2 ≈ B¡_X i ¢n + B¡X_i¢n−1 2 , (3.6) B¡_X i ¢_n+1/2 ≈ B¡_X i ¢n+1 + B¡X_i¢n 2 . (3.7)