Introduction aux calculs

Comportement d’un matériau soumis à une force [147] ...

Rappelons ici les principaux paramètres utilisés pour l’étude du comportement de la cavité.

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont généralement obtenues à partir de tests de

traction. Soit l’échantillon d’un matériau supposé homogène et isotrope, de section S₀ et de

longueur l₀ sur lequel on applique, au moyen d’une machine de traction, une force F de façon

progressive et sans choc. La traction provoque un allongement d’une longueur ∆l jusqu’à une certaine valeur où l’échantillon se casse. On peut, à partir des valeurs relevées, tracer la courbe montrant l’évolution de la contrainte σ en fonction de la déformation ε, où σ et ε sont définis par :

• σ=F/S₀ (exprimé en Pa)

• ε=∆l/l0 (exprimé en %)

Une courbe caractéristique du comportement d’un matériau soumis à un essai de traction est présentée en Figure 4.35. NB : On préfère tracer la courbe σ=f(ε) plutôt que F=f(∆l), car elle a l’avantage d’être pratiquement indépendante des dimensions initiales S₀ et l₀.

Suivant la nature des matériaux, la courbe change d’allure générale, mais elle présente toujours*

deux domaines distincts : le domaine élastique dans lequel chaque déformation subie est réversible et le domaine plastique où ces déformations sont irréversibles. Le domaine plastique comporte, quant à lui, deux zones réparties de part et d’autre du maximum Rm indiqué sur la figure, mais nous n’entrerons pas dans les détails.

Dans le domaine élastique, l’évolution de la contrainte est linéaire jusqu’à la limite élastique notée Re. On a donc :

* Sauf pour les matériaux très fragiles pour lesquels il n’existe pas de domaine plastique puisqu’ils cassent juste après avoir atteint la

σ=Eε (4.13)

où E est une constante du matériau, appelée module d’Young. Pour le niobium E=107 GPa. L’équation (4.13) est appelée loi de Hooke. Signalons de plus que E est indépendante de la température.

Figure 4.35 : Courbe représentative du comportement d’un matériau soumis à une force de traction.

La limite élastique au-delà de laquelle apparaissent les déformations plastiques est assez difficile à déceler lors des tests (car elle dépend fortement de la précision des capteurs). Une convention est alors adoptée et fixe la mesure de cette limite à 0.2% de déformation. Pour un même matériau, Re et Rm dépendent fortement de sa pureté (RRR), de son « histoire » (fabrication, recuit…) ainsi que de la température. Plusieurs études ont été faites sur le niobium couramment employé pour la réalisation de cavités (RRR40 et RRR250) pour regarder, en particulier l’effet de la température et des soudures [148-149]. D’après tous ces résultats, les valeurs limites généralement adoptées pour une température T=300 K, sont :

• Pour un RRR40 : Re≈140 MPa et Rm≈200 MPa. • Pour un RRR250 : Re≈70 MPa et Rm≈150 MPa.

Remarque : la valeur de ces seuils augmente sensiblement à basse température. Pour le niobium RRR250, Re est multiplié par 10 environ et Rm par 5 [149]. Cela fournit donc une marge de

Zone de validité de la loi de Hooke σ=Eε

sécurité importante en cas de surpression accidentelle dans le bain d’hélium puisque la cavité est étudiée pour résister à des contraintes inférieures à la limite élastique à 300 K. Attention tout de même à ne pas confondre les surpressions qui peuvent avoir lieu une fois la cavité refroidie et les surpressions dont nous avons parlé en introduction, qui peuvent avoir lieu pendant la mise en froid. En effet, dans ce dernier cas de figure, la cavité n’est pas encore à basse température et on peut considérer que sa limite d’élasticité est proche de sa valeur à 300 K. C’est pourquoi, les études mécaniques des cavités, installées en ligne dans un accélérateur, sont faites en prenant une pression limite de 2 bar et non 1 bar comme nous le faisons. Signalons enfin que la limite élastique à ne pas dépasser est généralement fixée à 50 MPa pour les cavités en niobium RRR250, afin de tenir compte des erreurs de calculs et de l’incertitude sur la valeur réelle de Re.

En résumé, nous prendrons comme limite à ne pas dépasser : σ_max=50 MPa sous 1 bar.

Le logiciel ACORD [150] ...

Nous avons réalisé les calculs de mécanique avec le logiciel ACORD qui permettait une modélisation en 3D de la structure (comme pour l’étude RF). Tous les calculs ont été faits en prenant comme caractéristiques pour le niobium :

• Module d’Young : E=107 GPa • Coefficient de Poisson* : ν=0.394

• Masse volumique : ρ=8570 kg/m3

La cavité a été modélisée directement avec les outils d’ACORD (pas d’importation possible de modèle créé par CAO) puis maillée. Après avoir indiqué l’épaisseur utilisée pour chaque partie de la cavité, les conditions aux limites (CL) sont alors fixées. On considère généralement que les deux extrémités des tubes faisceau sont fixes (ou plus précisément encastrées : ni déplacement, ni rotation). Cela représente le cas d’une cavité équipée de son tank d’hélium et de son système d’accord (ensemble supposé suffisamment rigide). On applique ensuite le cas de charge, c’est-à-dire une pression ou un déplacement imposé pour notre étude, mais cela peut également être une charge thermique. Enfin, on regarde les contraintes et déplacements engendrés. Ces différentes étapes de calcul sont représentées sur la Figure 4.36.

* Le coefficient de Poisson est une constante propre à chaque matériau. Il représente le rapport entre la déformation transversale et

longitudinale. Il sert donc à décrire les changements de section ou de volume d’un objet pendant sa déformation. ν vaut environ 0.3 pour les métaux.

1/ Modélisation de la géométrie _{2/ Maillage}

3/ Conditions aux limites 4/ Cas de charges (sur 1/8ème du flanc)

5/ Résultats : contraintes (en MPa) 5/ Résultats : déplacements (en mm)

Figure 4.36 : Les différentes étapes du calcul d’un cas de charge (ici une pression uniforme de 1 bar). Les valeurs les plus fortes sont en rose.

Blocage Blocage

Barre centrale

Avant de présenter les différents résultats, nous devons faire une remarque importante. Le logiciel ACORD est un code qui ne fait que du calcul linéaire et qui utilise donc uniquement la loi de Hooke. Ainsi, il ne peut pas prendre en considération le comportement plastique du niobium au-delà de sa limite élastique. Il faut donc garder à l’esprit que les valeurs de contraintes données par ACORD au-dessus de Re=70 MPa sont fausses et que les déplacements associés ne reflètent pas le comportement de la cavité.