Interpr´etation biologique de la mod´elisation chaotique

a g´en´erer des s´equences pseudo-al´eatoires par ses propri´et´es chaotiques, sa contrˆolabilit´e via son diagramme de bifurcation, et ses possibilit´es de couplage enfin, en font un mod`ele de syst`eme complexe adapt´e `a l’intelligence en essaim. La partie IV est consacr´ee `a montrer cette assertion.

8.3.2 Interpr´etation biologique de la mod´elisation chaotique

L’application logistique it´er´ee n’est pas seulement int´eressante du point de vue algorithmique, elle porte une universalit´e de comportement li´ee `a ses propri´et´es dynamiques que l’on rencontre ´egalement dans les syst`emes biologiques, plus particuli`erement dans les r´eseaux de neurones. L’annexe C fait une courte synth`ese sur les avanc´ees exp´erimentales et th´eoriques concernant les r´eseaux de neurones dits chaotiques, car ils montrent toute une gamme non lin´eaire de comportements. R´esumons les grandes lignes de ces r´esultats :

– Les r´eponses chaotiques de neurones ont ´et´e observ´ees dans des r´eseaux neuronaux sp´e-cialis´es : dans le bulbe olfactif de chat, rat, lapin ; dans le syst`eme visuel de la salamandre et de l’homme dans les cas d’´epilepsie.

– Dans chaque cas, on a pu montrer une route vers le chaos pilot´ee par la variation d’un param`etre de contrˆole, lui-mˆeme gouvern´e par la perception. En particulier une route par doublement de p´eriode s’est r´ev´el´ee dans le cas de la vision.

– Cette route vers le chaos a ´et´e analys´ee math´ematiquement sur la base de deux neurones, l’un excitateur, l’autre inhibiteur, et une preuve analytique a ´et´e ´etablie de la conjugaison de ce r´eseau simple avec les applications quadratiques it´er´ees [Wang, 1991]. Cela renforce d’autant plus l’aspect universel de la route vers le chaos par doublement de p´eriode. Ces observations biologiques r´ecentes et les r´esultats th´eoriques ´etablis de mod´elisation d’une certaine fa¸con spectaculaires am`enent `a reconsid´erer les ph´enom`enes non lin´eaires comme in-h´erents aux m´ecanismes de perception/d´ecision pour certains r´eseaux de neurones sp´ecialis´es. Bien que restreints `a des cas de r´eseaux bien particuliers, ces constats nous confortent dans l’id´ee que cette voie de mod´elisation dynamique est fructueuse et tr`es proche de la r´ealit´e biologique. L’universalit´e des ph´enom`enes observ´es (route vers le chaos par doublement de p´eriodes) autorise selon nous des mod`eles extrˆemement r´educteurs des m´ecanismes internes d’entit´es biologiques

simples (comme les fourmis) ou dans des situations comportementales sp´ecifiques (la percep-tion visuelle dans le vol group´e d’oiseaux) en faisant l’hypoth`ese de comportements totalement r´eactifs.

Par cons´equent le recours aux applications quadratiques it´er´ees comme l’application logis-tique au coeur des processus de d´ecision n’est pas une hypoth`ese de mod´elisation irr´ealiste. Les auteurs de l’article [Korn et Faure, 2003] mentionnent d’ailleurs en fin d’article les r´eseaux d’it´erations coupl´ees de Kaneko comme mod`ele de syst`eme complexe d’un grand int´erˆet pour l’´etude des r´eseaux de groupes de neurones. L’application logistique est cens´ee mod´eliser `a un niveau m´esoscopique un groupe de neurones pris comme une boˆıte noire. Son contrˆole est assur´e par le biais du param`etre de contrˆole et son couplage avec les autres groupes de neurones par un param`etre de couplage global sur le r´eseau ou sp´ecifique `a la connexion entre deux groupes. Nous nous situons enti`erement dans cette d´emarche constructive de mod´elisation. Nous mod-´elisons la boucle perception-d´ecision-action de nos agents autour d’une application logistique ; en faisant cela, nous r´eduisons en quelques sortes un syst`eme neuronal sous-jacent en une forme plus simple et plus g´en´erique `a manipuler : elle ne comporte que trois grandeurs, une variable de d´ecision et deux param`etres (contrˆole et couplage).

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Synth`ese

Cette partie consacr´ee `a la notion d’agent et `a la formalisation de notre mod`ele SMAL a permis de d´ecrire en d´etails les principes et d´efinitions fondateurs du SMA logistique. Celui-ci r´esulte de la fusion du mod`ele influence-r´eaction des syst`emes multi-agents et des gaz d’it´era-tions coupl´ees. L`a o`u les mod`eles stochastiques ont recours aux probabilit´es pour g´en´erer des ph´enom`enes al´eatoires pr´esents dans les processus naturels, nous avons substitu´e des applications simples qui g´en`erent des s´eries chaotiques. Certes l’al´eatoire qui en r´esulte n’est pas de mˆeme nature ; nous estimons cependant qu’il reste valide et pertinent, d’autant que le m´ecanisme chaotique g´en´erateur peut ˆetre reli´e `a des observations biologiques sur des r´eseaux de neurones. La notion de champ est `a la base de notre mod`ele d’environnement. Tout est donc champ ici, y compris les positions des agents stock´ees par l’environnement. Les champs jouent le rˆole de structures de donn´ees actives, qui peuvent ´evoluer ind´ependamment des agents (´evaporation, diffusion), et qui peuvent ˆetre lus et ´ecrits par les agents. Cette architecture `a base de champs permet de concevoir des op´erateurs de perception et d’action combinant ´eventuellement plusieurs champs `a la fois. Enfin, les champs ont un rˆole essentiel pour les m´ecanismes d’auto-organisation et d’adaptation par le fait qu’ils peuvent influer par le biais des perceptions des agents sur la variable de couplage ou la variable de contrˆole au sein des agents.

Ainsi, notre mod`ele est simplificateur au bon sens du terme : il r´esume la m´ecanique de l’agent logistique `a trois grandeurs internes principales : une grandeur de d´ecision qui fixe les actions, une grandeur de contrˆole qui module la d´ecision et une grandeur de couplage qui prend en compte les autres agents du syst`eme, ainsi que des champs de donn´ees qui peuvent modifier ces grandeurs et ˆetre ´egalement modifi´es en retour.

L’ensemble constitue une structuration coh´erente et originale dans le domaine des SMA r´eact-ifs. Ce sch´ema th´eorique permet de rendre compte des divers comportements d’auto-organisation et d’adaptation dans le syst`eme, en fonction de l’environnement, des m´ecanismes de perception et d’action des agents. Les m´ecanismes associ´es doivent cependant ˆetre pr´ecis´es, ´eprouv´es et analys´es. C’est tout l’objet de la partie suivante d´edi´ee aux applications de ce mod`ele.

Quatri`eme partie

Mise en oeuvre du SMA logistique

pour l’intelligence en essaim

Avant de commencer cette partie sur les applications de notre mod`ele SMAL `a l’intelligence en essaim, pr´esentons-en le plan et les objectifs.

Le SMAL h´erite du mod`ele de calcul RIC issu des syst`emes complexes. A ce titre, il est capable de g´en´erer des sch´emas de coordination intrins`eques au groupe d’agents, c’est-`a-dire sans donn´ees externes dans l’environnement (donc pas d’adaptation non plus), que l’on asso-cie aux ph´enom`enes d’auto-organisation du mod`ele. Le SMAL est alors un syst`eme complexe au mˆeme titre que les r´eseaux d’it´erations coupl´ees. Une autre cat´egorie de situations implique un processus d’adaptation `a l’environnement. Ces situations mettent en jeu des donn´ees ex-ternes d´ej`a pr´esentes dans un champ de l’environnement, qui agit sur les valeurs des variables internes de l’agent via les perceptions. Le SMAL devient alors un syst`eme complexe adaptatif et permet d’aborder des probl`emes d’optimisation trait´es par l’intelligence en essaim. Nous proc´edons dans cette pr´esentation en progressant des m´ecanismes et instances les plus simples aux plus compliqu´ees, en ajoutant au fur et `a mesure les briques ´el´ementaires de construction [Charrier et al., 2007b].

Le chapitre 10 traite donc en premier lieu des phenom`enes auto-organis´es li´es au mod`ele SMAL dans sa version la plus simple. Nous y aborderons principalement deux cas de figure :

– Le cas o`u tous les agents logistiques sont dans un mode de comportement chaotique. Nous v´erifions alors exp´eriementalement la valeur d’un seuil th´eorique du couplage ǫ<sup>∗</sup> = 0, 5 pour l’´emergence de la synchronisation dans le syst`eme.

– Le cas o`u les agents logistiques voient leur param`etre de contrˆole tir´e al´eatoirement selon une loi uniforme sur [0, 1]. Dans ce cas l’apparition de clusters de synchronisation r´ev`ele une structure dynamique tr`es instable qui s’apparente visuellement `a des ph´enom`enes de flocking.

Ces simulations sont analys´ees de fa¸con pouss´ee, par le calcul du nombre de clusters form´es, mais aussi par une ´evaluation de l’entropie K vue en section 5.5 grˆace `a l’int´egration d’agents jumeaux dans le syst`eme. Nous initions ainsi une nouvelle voie de simulation du flocking en situant la cause du ph´enom`ene dans la synchronisation des ´etats internes des agents.

Sur cette base, le chapitre 11 focalise ensuite sur les m´ecanismes d’adaptation possibles avec le SMAL. Nous repartons simplement de l’agorithme basique de flocking vu au chapitre 10 pour int´egrer des m´ecanismes simples d’adaptation `a l’environnement. Un premier effet visible est la formation de files d’agents dans l’environnement, cas ´etudi´e math´ematiquement. Puis en modifiant l´eg`erement l’instance pr´ec´edente, nous pr´esentons une version d’algorithme proie-pr´edateurs o`u une ou plusieurs proies sont entour´ees et stopp´ees par un essaim de pr´edateurs. Nous montrons que ce probl`eme est assimilable `a un probl`eme de recherche de z´eros dans un champ dynamique non-lin´eaire et s’apparente `a certains probl`emes typiques trait´es avec les algorithmes PSO. Enfin, une version plus sophistiqu´ee d’algorithme de flocking inspir´ee `a la fois des mod`eles de Reynolds et de Vicsek (cf. section 1.3) est propos´ee en fin de chapitre qui sert de base de mod´elisation pour r´ealiser un flocking de robots en fin de cette partie.

Le chapitre 12 expose notre mod`ele de “fourmi logistique” et consid`ere l’application du SMAL aux probl`emes d’optimisation tels ceux que l’intelligence en essaim traite d´ej`a, notamment le probl`eme du voyageur de commerce (TSP) abondamment ´etudi´e, mais qui constitue un bon probl`eme test pour notre m´eta-heuristique SMAL. Il s’agira dans un premier temps de reprendre

de notre agorithme adaptatif. Puis la situation sera g´en´eralis´ee `a la prise de d´ecision sur un noeud d’un graphe quelconque pour pr´eparer la situation d’un probl`eme de plus court chemin dans un graphe. La r´esolution approch´ee du probl`eme TSP est alors envisag´ee : nous y comparons les performances de l’algorithme par colonies de fourmis “Ant System” (AS) qui est un des premiers, `a celles de notre algorithme SMAL. Notre objectif n’est pas `a ce niveau de rivaliser avec l’algorithme AS, mais de situer le SMAL en termes de performances et de jauger de son potentiel et de ses avantages.

Nous terminons les applications par un quatri`eme chapitre court qui a valeur de perspective car ce travail est encore en cours de finalisation, consacr´e `a la robotique en essaim, montrant comment nous avons pu r´ealiser un flocking de robots en impl´ementant l’algorithme de flocking `

10

Ph´enom`enes d’auto-organisation

10.1 Synchronisation du SMAL chaotique

Nous ´etudions dans ce chapitre les propri´et´es auto-organisationnelles su SMAL [Charrier et al., 2007a]. Un premier cas nous int´eresse, celui o`u les agents logistiques sont tous chaotiques. Ce cas est

important puisqu’il correspond `a la situation initiale d’exploration pour la plupart des probl`emes que nous abordons ; cet aspect exploratoire est notamment crucial pour les probl`emes d’optimi-sation. Ce cas consiste concr`etement `a plonger la dynamique interne des agents dans l’espace g´eom´etrique de l’environnement.

Instanciation du SMAL.

Voici les sp´ecifications du mod`ele dans ce cas :

L’environnement. L’environnement d’´etat σ est compos´e :

– de l’espace E qui est le tore⁴⁷continu de dimension 2 de taille L∈ R avec L > 1 que nous noterons T2

L,

– des champs d´efinis en section 8.2.4 dont les champs de position individuelles δi, de position cumul´ee N et de d´ecision X , qui sont non persistants et donc mis `a 0 d’un pas de temps `

a l’autre avant mis `a jour avec les nouvelles valeurs.

On associe `a l’espace torique E un syst`eme de coordonn´ees polaires (r, θ) plus adapt´ees `a la formulation du cas trait´e ici 48. Cependant, θ n’est pas vraiment l’angle qui nous int´eresse directement dans notre cas, mais un angle α qui donne la nouvelle direction de d´eplacement `a chaque pas de temps (voir la figure 10.2).

47Il est d´efini `a partir du tore unit´e T2= R²

Z2 que l’on transforme par homoth´etie de rapport L.

48Ce syst`emes est reli´e aux coordonn´ees cart´esiennes (X, Y ) par les formules suivantes : (

X = r cos(θ) Y = r sin(θ)

L’agent logistique. L’agent logistique Ai est tel que : – son ´etat `a t s’´ecrit :

si(t) =

xi(t), a⁰, ǫ⁰

(10.1) ce qui pr´ecise l’´ecriture g´en´erique de d´efinition de l’´etat en fonction du probl`eme. En effet le cas que nous ´etudions ici ne fait intervenir aucune adaptation `a l’environnement, ce qui a pour corollaire que les variables de contrˆole et de couplage sont initialis´ees de fa¸con globale (ind´ependamment des agents) et restent stationnaires au cours du temps.

– L’application logistique f utilis´ee prend ici sa forme la plus classique dont le diagramme de bifurcation est donn´e en figure 10.1 :

f : D× D → D

(x, a) 7→ f(x, a) = 4 a x (1 − x) (10.2)

Nous rappelons que D = [0, 1].

Nous posons a0 = 1 pour que les agents soient tous chaotiques. – Ainsi, le changement d’´etat de l’agent s’´ecrit :

a^t+1_i = a⁰ = 1 (10.3)

ǫ^t+1_i = ǫ⁰ (10.4)

x^t+1_i = (1− ǫ⁰)f (x^t_i, a⁰) + ǫ⁰ P_x,i(σ^t) (10.5) Le processus de perception-d´ecision-action se r´ealise en deux temps comme expliqu´e dans 8.2.7, mais nous synth´etisons dans la suite ce processus aux points essentiels.

Fig. 10.1 – Diagramme de bifurcation de l’application logistique

x_t+1 = f (xt, a) = 4 a xt (1− xt) apr`es 500 it´erations sur 500× 500 ´echantillons des couples (a, x0)∈ ([0, 1] × [0, 1])

La perception. La perception des agents est limit´ee sur un voisinage de rayon R. Px,i(σt) prend la forme d´ej`a explicit´ee en 8.24 o`u l’agent Ai per¸coit Ni voisins dans son voisinage Vi :

Px,i(σ^t) =      hX iVi = P j∈Vi f (x^t_j, a⁰) Nt i , si Ni 6= 0 f (xt i, a^t+1_i ) sinon (10.6)

10.1. Synchronisation du SMAL chaotique ´

Equation maˆıtresse de la d´ecision. En int´egrant l’´ecriture de la perception 10.6 dans 10.5, on obtient l’´equation maˆıtresse pour la d´ecision de l’agent si Ni 6= 0 :

x^t+1_i = (1− ǫ⁰)f (x^t_i, a⁰) + ǫ⁰ P j∈Vi f (xt j, a⁰) Nt i (10.7) qui est `a peu de choses pr`es l’´equation maˆıtresse des gaz d’it´erations coupl´ees 5.24. Il est clair ici que cette ´equation laisse le domaine de d´efinition D de x invariant comme somme convexe de deux ´el´ements de D : une valeur dans D d’une part et une moyenne sur des ´el´ements de D d’autre part.

Les actions de l’agent. Apr`es la mise `a jour la variable de d´ecision x_i, les actions sont effectu´ees en relation directe avec sa nouvelle valeur x^t+1_i . Les actions effectu´ees par l’agent sont de deux ordres : se d´eplacer et marquer le champ de d´ecision non persistant d’influence eX .

– calculer les nouvelles coordonn´ees sur E selon la loi de d´eplacement :        α^t+1_i = 2π x^t+1_i r^t+1_i = rt i+ v₀ u_αt+1 i θ^t+1_i = arg(r^t+1_i ) (10.8)

o`u v<sub>0</sub> correspond `a la norme de la vitesse de l’agent pris comme une constante identique pour tous les agents, u_αt+1

i est le vecteur directeur de la vitesse d’angle α^t+1_i et arg est la fonction qui renvoie l’angle polaire θ `a partir du rayon vecteur r.

La figure10.2 montre la construction de ces grandeurs d’un pas de temps `a l’autre. – modifier les champs d’influence des agents correspondants.

Fig. 10.2 – Sch´ema r´ecapitulatif du changement de position de l’agent chaotic.

R´eaction de l’environnement. L’environnement proc`ede dans la phase de r´eacion `a la mise `a jour synchrone de tous les champs `a partir des champs d’influence modifi´es par les agents, au moyen d’op´erateurs de sommation dans le cas des positions cumul´ees (cf. 8.2.8).

Simulations et analyse.

Objectif de la simulation. A partir des lois d’´evolution pr´ec´edentes, un algorithme est ´etabli (cf. algorithme 10.1).

L’initialisation du syst`eme est semblable `a celle du mod`ele de Vicsek : on place les agents Algorithm 10.1: Algorithme du SMAL chaotique.

Initialisation : begin

for i = 1 to N / pour chaque Ai do X_i⁰, Y_i⁰
← (random() ∗ L, random() ∗ L) e δi X_i⁰, Y_i⁰
← 1 θ0 i ← 2π ∗ random() end repeat

Processus sensorimoteur individuel : for i = 1 to N / pour chaque Ai do

yi← f(xt i, a₀)

Processus sensorimoteur collectif : for i = 1 to N do Px,i ← P j∈Vi f (x^t_j, a0) Nt i x^t+1_i ← (1 − ǫ0)f (xt i, a₀) + ǫ₀ Px,i(σt) (α^t+1_i , r^t+1_i )← (2π x^t+1i , r^t_i+ v u_αt+1 i ) X_i^t+1, Y_i^t+1
← Xi(θ^t+1_i , r^t+1_i ), Yi(θ^t+1_i , r^t+1_i )
e δi X_i^t+1, Y_i^t+1
← 1 R´eactions de l’environnement :

Mise `a jour des champs non persistant de position, de positon cumul´ee, de d´ecision. until stop

au hasard dans l’espace avec un angle de d´eplacement initial ´egalement tir´e al´eatoirement dans [0, 2π].

Des simulations ont ´et´e r´ealis´ees `a partir de cet algorithme dans l’objectif de v´erifier la valeur th´eorique du seuil de synchronisation partielle. Rappelons que le m´ecanisme de synchronisation pr´esent´e en section 5.4.2 pr´evoit un seuil de couplage th´eorique ǫ<sup>∗</sup> au-del`a duquel la synchro-nisation apparaˆıt, y compris dans des topologies de connexion non stationnaires comme c’est toujours le cas avec le SMAL. Une cons´equence est que le nombre d’agents Ni dans le voisinage d’un agent Ai est une variable d´ependant du temps. Rappelons la loi th´eorique de calcul de ce seuil (cf ´equation (5.23)) :

ǫ_∗= 1− exp(−λ0)

Comme tous les agents logistiques ont une variable de contrˆole a⁰ = 1, et sachant que l’appli-cation logistique a pour exposant de Lyapunov λ₀ = ln 2, on d´eduit que le seuil doit ˆetre ´egal `a 0, 5. On sait que la d´etection de ce seuil sur ordinateur peut poser probl`eme `a cause de la limitation en pr´ecision des calculs [Pikovsky et al., 2001].

10.1. Synchronisation du SMAL chaotique R´esultats de simulation. Un exemple de simulation est donn´e sur la figure 10.3 dans le cas o`u la taille de l’environnement est L = 30.0, le rayon de perception est R = 4.0, le nombre total d’agents est N = 100, le couplage ǫ⁰= 0.9, la vitesse intiale v0 = 1.

(a) t = 1 (b) t = 500 (c) t = 2100

Fig. 10.3 – Images de simulations `a diff´erents pas de temps o`u a0 = 1 et ǫ⁰ = 0.9 pour chacun des N = 100 agents. De plus le rayon de voisinage de perception est R = 4.

Signalons que le mouvement des agents chaotiques avec l’application logistique n’est pas isotrope, i.e. invariant par rapport `a la direction. En effet, il suffit de consulter la distribution de l’application pour a = 1 pour constater qu’elle est non uniforme sur [0, 1] (cf. annexe B). Elle pr´esente mˆeme deux pics en 0 et en 1, les limites de l’intervalle. Transform´e en angles de d´eplacement, cela implique que les agents vont en moyenne dans une direction fix´ee, celle correspondant `a l’angle 0 de l’environnement, tout en maintenant des d´eplacements transverses al´eatoires moins fr´equents.

On constate n´eanmoins qu’au cours du temps, des regroupements d’agents s’op`erent dans l’es-pace et finissent par se concentrer en des clusters de synchronisation. Mais comme dans le cas des r´eseaux d’it´erations al´eatoirement coupl´ees (GCM), la synchronisation n’est jamais totale, elle est partielle et fragment´ee en plusieurs clusters “flous” de synchronisation [Manrubia et al., 2004]. On le constate ´egalement sur le graphique temporel 10.4(a) o`u sont port´ees en ordonn´ee les valeurs x internes de tous les agents. Au pas de temps t = 2700 le nuage de points s’´eclaircit tout en conservant une densit´e de distribution `a peu pr`es stable. On constate ´egalement que ces synchronisations spatiales sont fragiles, puisqu’entre les pas de temps t = 2100 et t = 2700 existe une zone d’instabilit´e li´ee `a des bouff´ees chaotiques.

Pour v´erifier et mesurer cet effet de regroupement d’agents synchrones, nous calculons le nombre de clusters form´es `a chaque pas de temps pour en obtenir l’´evolution moyenne.

Mesure du nombre de clusters de synchronisation.

Calcul du nombre de clusters. Tout d’abord, il convient de d´efinir un cluster de syn-chronisation partielle.

D´efinition 10.1.1. Un cluster de synchronisation d’agents logistiques `a la pr´ecision γ est d´efini