3 Groupes nominaux et quantification
3.1 Sémantique de la quantification
3.1.2 Interprétation des formules quantifiées
Revenons à la comparaison de (2) et (3) : (2) Quelqu’un bâille.
∃xbâiller(x) (3) Elle bâille.
bâiller(x)
Et rappelons que ce qui les oppose en premier lieu, c’est que la dénotation de (2) n’est pas dépendante d’une d’assignation, mais simplement du modèle (c’est bien ce qu’en-gendre la distinction grammaticale en français entre un pronom indéfini et un pronom anaphorique ou déictique). Il semble donc inutile de recourir à une fonctionдpour inter-préter (2) contrairement à (3). Cependant, nous remarquons que la traduction de (3) est une sous-formule de la traduction de (2), et donc, par compositionnalité, l’interprétation de (2) devra bien, à un moment ou à un autre, « passer par » l’interprétation de (3), c’est-à-dire se faire au moyen d’une assignationд. Le principe interprétatif est donc le suivant : pour déterminer leur dénotation, les expressions quantifiées ont besoin des assignations car on les interprète justement en quantifiant sur des fonctions d’assignation. C’est ce que nous allons voir en détail dans ce qui suit, mais auparavant, introduisons un élément de notation correspondant à un concept qui va nous être utile pour l’interprétation.
À partir d’une fonction d’assignation donnée,д, nous allons avoir besoin de considérer certaines « variantes » deд.
Notation 3.1
Soitдune fonction d’assignation,v une variable de LO et d un individu du do-maineA. La fonction notéeд[d/v]est la fonction d’assignation identique2àдsauf que la valeur qu’elle assigne àvest d.
Ainsi pour toute variableuautre quev,д[d/v](u)=д(u)etд[d/v](v) =d, quelle que soit la valeur deд(v)3.
Cette notation nous permet en quelque sorte de contraindre certaines valeurs d’une assignation. Ou pour dire les choses plus précisément, cela nous permet de voir directe-ment dans l’écriture du nom de l’assignation (д[d/v]) quelle valeur précise est assignée à telle ou telle variable. Voici un exemple, qui reprend l’assignationд1donnée ci-dessus :
д1: par exempleд1[Van/y]est elle-même une assignation, nous pouvons envisager également
д1[Van/y][Ada/x]qui est tout autant une assignation. Cela permet de contraindre plusieurs
valeurs pour une assignation de départ.
2Rappelons que deux fonctions sont identiques si elles ont mêmes ensembles de départ et d’arrivée et qu’à chaque élément de l’ensemble de départ elles assignent exactement les mêmes valeurs.
3Remarquons que rien n’empêche d’avoir par ailleursд(v) = d ; dans ce cas là,д[d/v] etдsont alors complètement identiques.
Profitons-en aussi pour mentionner la variante de notationд[v→d], que l’on peut rencontrer dans la littérature, et qui représente la même chose queд[d/v].
д1[Van/y][Ada/x]:
x 7−→Ada y7−→Van z7−→Ada
Nous avons maintenant en main les éléments de métalangage nécessaires pour définir les règles d’interprétation des formules quantifiées par rapport à un modèleM=⟨A,F⟩.
Définition 3.3 : Interprétation des formules quantifiées
(Sém.6′) a. ⟦∃vϕ⟧M,д = 1 ssi il existe au moins un individu d deA tel que
⟦ϕ⟧M,д[d/v]=1 ;
b. ⟦∀vϕ⟧M,д=1 ssi pour tout individu d deA,⟦ϕ⟧M,д[d/v]=1.
D’une certaine manière, ces deux règles ne sont pas spectaculairement différentes de celles vues au chapitre 2, p. 79. Ici nous opérons des quantifications (respectivement existentielle et universelle) sur des individus du domaine, alors que précédemment nous quantifions sur des constantes. Mais à présent, nous ne touchons pas à la forme deϕ.
L’interprétation est bien compositionnelle. Et nous nous débarrassons de l’hypothèse qu’à chaque individu deAcorrespond une constante de LO.
Illustrons le fonctionnement des règles (Sém.6′) à l’aide d’un petit modèleM2 =
⟨A2,F2⟩, avecA2 = {Ada ; Cordula ; Lucette ; Van}. Nous considérons quatre constantes d’individus interprétées comme suit : F2(a) = Ada, F2(c) = Cordula, F2(l)=Lucette,F2(j) =Van ; et regardons simplement l’interprétation deaimer défi-nie ainsi :F2(aimer)={⟨Ada,Van⟩;⟨Cordula,Van⟩;⟨Lucette,Van⟩;⟨Van,Ada⟩;
⟨Van,Van⟩}. Calculons maintenant la valeur sémantique de la formule (4) par rapport à M2etд1(telle que définie plus haut).
(4) ∃xaimer(x,a)
(4) peut être une traduction (approximative) dequelqu’un aime Ada. Appliquons la règle (Sém.6′.a) :
– ⟦∃xaimer(x,a)⟧M2,д1 = 1 ssi il existe au moins un individu d de A2 tel que
⟦aimer(x,a)⟧M2,д1[d/x] =1 ;
– choisissons Van comme individu d et calculons⟦aimer(x,a)⟧M2,д1[Van/x]; si nous trouvons 1, nous aurons bien montré que (4) est vraie ;
– d’après la règle (Sém.1) d’interprétation de LO (p. 79), nous savons que ⟦aimer(x,a)⟧M2,д1[Van/x] = 1 ssi ⟨⟦x⟧M2,д1[Van/x],⟦a⟧M2,д1[Van/x]⟩ ∈
⟦aimer⟧M2,д1[Van/x];
– par définition, ⟦x⟧M2,д1[Van/x] = Van, ⟦a⟧M2,д1[Van/x] vaut Ada (cf. F2(a)), et
⟦aimer⟧M2,д1[Van/x]est donné ci-dessus parF2;
– il reste donc à vérifier que⟨Van,Ada⟩appartient àF2(aimer); et c’est bien le cas ; – donc⟦aimer(x,a)⟧M2,д1[Van/x]=1, et donc⟦∃xaimer(x,a)⟧M2,д1=1.
Cet exemple illustre aussi le fait que nous avons montré, en « allant chercher » Van dans le domaine, que (4) est vrai par rapport àM2et surtout par rapport à une fonction d’assignation (д1) qui en soi ne parle pas du tout de Van. Mais c’est normal, car comme nous l’avons vu précédemment,globalementla dénotation d’une formule comme (4)ne dépendd’aucune fonction d’assignation : la démonstration ci-dessus repose surtout sur д1[Van/x], et nous aurions donc pu mener la même démonstration en partant de n’importe qu’elle assignation.
Cette remarque peut nous amener à la réflexion suivante : en fait les règles (Sém.6′) in-terprètent les formules en quantifiant sur les fonctions d’assignation. Et nous pourrions ainsi simplifier leurs énoncés en disant simplement :⟦∃vϕ⟧M,д =1 ssi il existe au moins une assignationд′telle que⟦ϕ⟧M,д′=1 ; en effet si∃vϕest vraie, on trouvera toujours une assignationд′qui assigne àvune valeur qui « marche ». De même, nous pourrions simplifier :⟦∀vϕ⟧M,д=1 ssi pour toute assignationд′,⟦ϕ⟧M,д′=1, car, de fait,д′devra ainsi passer en revue toute les valeurs possibles pourv.
Cette idée est pertinente, mais la simplification suggérée est en fait trop… simple. Pour s’en convaincre regardons la formule (5) :
(5) ∃x∀yaimer(y,x)
Cette formule correspond (toujours approximativement) àil y a quelqu’un que tout le monde aime. Tentons de calculer sa dénotation par rapport àM2 etд1avec la version simplifiée des règles d’interprétation :
– ⟦∃x∀yaimer(y,x)⟧M2,д1 = 1 ssi il existe une autre assignation, appelons-la d’abordд′, telle que⟦∀yaimer(y,x)⟧M2,д′=1 ;
– bien sûr nous aurons intérêt de choisirд1[Van/x] pourд′ (car en regardant M1
on se doute que c’est Van qui est aimé de tous) ; donc maintenant calculons
⟦∀yaimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x];
– par la règle simplifiée, nous aurons⟦∀yaimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x]=1 ssi pour toute fonction d’assignation possible,д′′,⟦aimer(y,x)⟧M2,д′′ =1 ;
– mais maintenant si nous devons regardertoutesles assignationsд′′, alors nous allons passer en revue toutes les valeurs possibles pourxetyet nous allons trou-ver de mauvaises conditions de vérité : en examinant toutes les valeurs possibles combinées pourx etynous chercherons à montrer que tout le monde aime tout le monde, ce qui n’est bien sûr pas le sens de (5).
L’erreur qui a été commise dans ce calcul est que nous avons oublié que nous avions choisi d’examiner seulement les cas oùxreprésente Van, c’est-à-dire que nous avons ou-bliéд1[Van/x]. Pendant l’interprétation d’une formule, lorsque l’on rencontre une quantifi-cation existentielle, on contraint (et on modifie) l’assignation qui est initialement donnée en choisissant de fixer une valeur pour la variable quantifiée, mais on ne touche pas aux valeurs des autres variables, car celles-ci ont pu être déjà fixées par une passe précé-dente d’interprétation. On transmet ensuite l’assignation que l’on a contrainte à l’étape suivante de l’interprétation qui doit (récursivement) se souvenir des choix précédents.
De même, lorsque l’on rencontre une quantification universelle, on fait varier la
fonc-tion d’assignafonc-tion que l’on a, mais on la fait varier uniquement pour la valeur qu’elle peut donner à la variable quantifiée universellement. Il y a ensuite autant de passes d’in-terprétation qu’il y de a valeurs possibles pour cette variable (en fait autant qu’il y a d’individus dansA) et chaque passe se souvient de la valeur provisoirement assignée à la variable quantifiée.
C’est pour ces raisons qu’une reformulation correcte des règles (Sém.6′) doit se faire dans les termes suivants :
a. ⟦∃vϕ⟧M,д =1 ssi il existe au moins une assignationд′identique àдsauf pour la valeur qu’elle peut assigner àvet telle que⟦ϕ⟧M,д′=1 ;
b. ⟦∀vϕ⟧M,д =1 ssi pour toute assignationд′identique àдsauf pour la valeur qu’elle peut assigner àv,⟦ϕ⟧M,д′=1.
Ces assignationsд′« identiques àдsauf pour la valeur qu’elles peuvent assigner àv» indiquent clairement qu’il faut se souvenir des valeurs assignées aux autres variables par д. Et finalement, ces reformulations sont tout à fait équivalentes à celles de (Sém.6′) (cf.
la notation 3.1, p. 115), sauf qu’elles ne font plus explicitement mention des individus du domaine. Si je prends la peine de les présenter ici, c’est d’abord parce que de nombreux ouvrages de sémantique en font usage et qu’il est utile de les maîtriser. Ensuite, il est important de concevoir l’interprétation des formules quantifiées comme des quantifica-tions sur les foncquantifica-tions d’assignation, car certains phénomènes sémantiques s’expliquent adéquatement avec cette vision. Cependant, et cela ne change rien à la vision de la quan-tification, dans la suite de cet ouvrage, nous prendrons l’habitude de manipuler les for-mulations de (Sém.6′), qui restent plus commodes.
Pour conclure sur ce point, reprenons, mais correctement cette fois, l’interprétation de (5) :
– ⟦∃x∀yaimer(y,x)⟧M2,д1 = 1 ssi il existe un individu d de A2, tel que
⟦∀yaimer(y,x)⟧M2,д1[d/x] =1 ;
– choisissons Van pour d et calculons⟦∀yaimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x];
– ⟦∀yaimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x] = 1 ssi pour tout individu d de A2, on a
⟦aimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x][d/y] =1 ;
– il nous faut donc examiner successivement – ⟦aimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x][Ada/y],
– ⟦aimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x][Cordula/y], – ⟦aimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x][Lucette/y], et – ⟦aimer(y,x)⟧M2,д1[Van/x][Van/y];
– en accélérant un peu le processus, cela nous amène à vérifier successivement que⟨Ada,Van⟩,⟨Cordula,Van⟩, ⟨Lucette,Van⟩, et ⟨Van,Van⟩ appartiennent àF2(aimer); c’est bien le cas, donc (5) est vraie par rapport àM2et àд1.
д1 д1[Van/x]
д1[Van/x][Ada/y]
д1[Van/x][Cordula/y]
д1[Van/x][Lucette/y]
д1[Van/x][Van/y]
Fig. 3.1 : Parcours des assignations pour l’interprétation de (5)
Enfin, à titre de comparaison, nous pouvons regarder dans les grandes lignes l’inter-prétation de (6) par rapport àM2etд1:
(6) ∀y∃xaimer(y,x)
En gardant les mêmes simplifications de traduction que précédemment, (6) signifie à peu prèstout le monde aime quelqu’un(i.e.une personne possiblement différente), comme le montrent les étapes de calcul suivantes :
– ⟦∀y∃xaimer(y,x)⟧M2,д1 = 1 ssi pour tout individu d de A2, nous obtenons :
⟦∃xaimer(y,x)⟧M2,д1[d/y]=1 ;
– il faudra donc calculer la valeur sémantique de∃xaimer(y,x)successivement avec les valeurs Ada, Cordula, Lucette et Van poury, c’est-à-dire avec quatre va-riantes « eny» successives deд1;
– pour la varianteд1[Ada/y], il faudra ensuite trouver une variante « enx» de cette as-signation pour vérifier la quantification existentielle, cette nouvelle variante pour-ra être par exempleд1[Ada/y][Van/x];
– cette opération sera répétée pourд1[Cordula/y], puis pourд1[Lucette/y], puis pour д1[Van/y];
д1
д1[Ada/y] д1[Ada/y][Van/x]
д1[Cordula/y] д1[Cordula/y][Van/x]
д1[Lucette/y] д1[Lucette/y][Van/x]
д1[Van/y] д1[Van/y][Van/x]
Fig. 3.2 : Parcours des assignations pour l’interprétation de (6)
Autrement dit, il faudra choisirà quatre reprisesune assignation pour satisfaire (quatre fois) la quantification existentielle de (6) (i.e. ∃xaimer(y,x)). Chacune de ces assigna-tions prolonge une des quatre assignaassigna-tions exigées par la quantification universelle de (6). Il se trouve que par rapport àM2(et àд1) (6) est vraie, comme (5). Mais si dans le modèle on avait eu, dansF2(aimer), ⟨Lucette,Ada⟩ au lieu de ⟨Lucette,Van⟩, alors (6) aurait été encore vraie, mais (5) fausse. En effet (6) sera vraie dans ce nouveau mo-dèle, et relativement àд1, car on trouvera par exemple les assignationsд1[Ada/y][Van/x], д1[Cordula/y][Van/x],д1[Lucette/y][Ada/x], etд1[Van/y][Ada/x]pour vérifieraimer(y,x); ici la com-binaison de valeurs pour les variablesx ety reste assez libre. Elle est beaucoup plus contrainte en revanche pour (5) : on peut au départ choisir librement une valeur pourx mais il faut s’y tenir dans la suite de l’interprétation.
Ces exemples montrent bien que les règles d’interprétation données ici rendent compte systématiquement des variations de lectures dues aux positions relatives des quantifica-teurs dans la représentation sémantique d’une phrase. Pour synthétiser (et schématiser) ces différentes lectures, les figures 3.1 et 3.2 représentent graphiquement les « parcours » successifs des assignations au cours des étapes de l’interprétation de (5) et (6).
3.1.3 Synthèse
Pour faire le point sur ce mécanisme d’interprétation qui met en jeu des fonctions d’assignation, récapitulons l’ensemble des règles qui définissent la sémantique de LO.
Nous identifions dans le langage de représentation sémantique LO, l’ensembleVarqui est l’ensemble des variables de LO et l’ensembleCnsl’ensemble de ses constantes non logiques (comprenant donc les constantes d’individus et les constantes de prédicats). Les règles de formation des formules de LO sont données par la définition syntaxique 2.8, p. 67.
Définition 3.4 : Interprétation des termes
Soit un modèleM=⟨A,F⟩etдune fonction d’assignation : – sivest une variable deVar,⟦v⟧M,д=д(v);
– siaest une constante deCns,⟦a⟧M,д =F(a).
Définition 3.5 : Interprétation des formules
Soit un modèleM=⟨A,F⟩etдune fonction d’assignation deVardansA.
(Sém.1) a. ⟦P(α)⟧M,д=1 ssi⟦α⟧M,д ∈⟦P⟧M,д;
b. ⟦P(α,β)⟧M,д =1 ssi⟨⟦α⟧M,д,⟦β⟧M,д⟩ ∈⟦P⟧M,д;
c. ⟦P(α,β,γ)⟧M,д =1 ssi⟨⟦α⟧M,д,⟦β⟧M,д,⟦γ⟧M,д⟩ ∈⟦P⟧M,д; d. etc.
(Sém.2) ⟦α =β⟧M,д =1 ssi⟦α⟧M,д=⟦β⟧M,д. (Sém.3) ⟦¬ϕ⟧M,д =1 ssi⟦ϕ⟧M,д =0.
(Sém.4) a. ⟦[ϕ∧ψ]⟧M,д =1 ssi⟦ϕ⟧M,д=1et⟦ψ⟧M,д=1.
b. ⟦[ϕ∨ψ]⟧M,д =1 ssi⟦ϕ⟧M,д=1ou⟦ψ⟧M,д=1.
c. ⟦[ϕ→ψ]⟧M,д=1 ssi⟦ϕ⟧M,д=0ou⟦ψ⟧M,д=1.
d. ⟦[ϕ↔ψ]⟧M,д=1 ssi⟦ϕ⟧M,д=⟦ψ⟧M,д.
(Sém.5) a. ⟦∃vϕ⟧M,д = 1 ssi il existe au moins un individu d deA tel que
⟦ϕ⟧M,д[d/v]=1 ;
b. ⟦∀vϕ⟧M,д=1 ssi pour tout individu d deA,⟦ϕ⟧M,д[d/v]=1.
Comme nous l’avons indiqué, ce qui fonde le principe interprétatif dont nous dispo-sons à présent, c’est que la valeur sémantique, i.e. la dénotation, d’une expression se définit relativement à un modèleetà une fonction d’assignation donnée. La notion de vérité d’une formule (ou d’une phrase) est donc doublement relativisée. Mais cela ne nous empêchera pas, de temps à autre, de parler de la vérité d’une formule par rapport à un modèle seul,… du moins pour certaines formules de LO. Avec les éléments formels de métalangage que nous avons, nous pouvons exprimer la vérité d’une formule de la manière suivante.
Définition 3.6 : Vérité, ou satisfaction, d’une formule
M,д|=ϕssi⟦ϕ⟧M,д =1 ; on dira alors queMetдsatisfontϕ.
On peut également noter :|=M,дϕ.
M |=ϕssi pour toute fonction d’assignationд,⟦ϕ⟧M,д =1 ; et on dira queM satisfaitϕ.
C’est là ce que l’on nomme habituellementle principe de satisfaction de Tarski. SiM |= ϕ, nous pourrons également nous autoriser à écrire⟦ϕ⟧M=1, puisqu’alors la vérité de ϕne dépend d’aucune assignation4.
En utilisant les règles d’interprétation de la définition 3.5, on peut montrer facilement que pour qu’un modèleMsatisfasse à lui seul une formuleϕ(i.e.M |=ϕ), il est néces-saire queϕne contiennent pas de variables libres, puisque par définition,M |=ϕvaut pourtouteassignation5.
4Mais attention, cette notation de⟦ϕ⟧Mne devra pas être confondue avec notre ancienne manière de re-présenter les dénotations au chapitre 2, car maintenantдest un paramètre obligatoire pour noter les dé-notations.⟦ϕ⟧Mest unegénéralisationde la dénotation deϕ.
5En fait, il existe quelques formules exceptionnelles qui contiennent des variables libres et dont la valeur de vérité reste la même quelle que soit l’assignation prise en compte ; le meilleur exemple est la formule : x=x.
Ainsi grâce aux assignations, nous pouvons également nous faire une idée du pen-dant sémantique des notions de variables libres et variables liées6. Sixapparaît comme variable libre dansϕ, alors⟦ϕ⟧M,дdépend de la valeur queдassigne àx(sauf cas parti-culiers, cf. note 5). Inversement, siϕne contient que des variables liées, alors la valeur de⟦ϕ⟧M,д ne dépend pas deд. De même, siℓest un lieur de LO, alors quand⟦ϕ⟧M,д dépend de la valeur queдassigne àx,⟦ℓxϕ⟧M,дne dépend pas de cette valeur.
Enfin, à partir de la définition 3.6, nous pouvons redéfinir la notion de conséquence logique, d’une manière plus générale.
Définition 3.7 : Conséquence logique
ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn |=ψ ssi pourtoutmodèleMet pourtouteassignationд tels que M,д |=ϕ1,M,д |=ϕ2,… etM,д |=ϕn, on aM,д |=ψ. On dira queψ est une conséquence logique de l’ensemble de formules{ϕ1;ϕ2;· · ·;ϕn}.