Interpolation

Ayant choisi un ensemble de points de contraintes{vi}, puis calculé en ces points le déplacement_dþ_i qui correspond à la déformation locale, nous chercherons alors un interpolant permettant de calculer le déplacement en n’importe quel pixel de l’image sismique à restaurer. Étant donné que les points de contraintes choisis décrivent un maillage, l’interpolant retenu doit être adapté à une telle struc-ture. En particulier, nous souhaitons que l’altération d’une maille donnée, ne modifie pas l’ensemble de l’interpolant. Le calcul doit également être suffisamment rapide. Enfin, nous n’avons pas besoin d’un interpolant possédant des propriétés particulières supplémentaires telles que la dérivabilité sur l’ensemble de l’image.

Nous pensons donc que l’interpolant le mieux adapté à ces prérequis est une interpolation barycen-trique (interpolation polygonale). En effet, cette solution est bien adaptée au cas d’un maillage, et elle est de plus locale, simple et rapide.

Chapitre 3

Présentation de notre algorithme de

restauration

Ce chapitre a été publié sous la référence [GGJK13] : Mathieu Gilardet, Sébastien Guillon, Bruno Jobard and Dimitri Komatitsch, Seismic image restoration using nonlinear least squares shape optimization, Procedia Computer Science, vol. 18, p. 732–741 (2013).

Ayant rappelé dans le chapitre 1 que la restauration d’une image sismique consiste à la déformer, nous avons présenté dans le chapitre 2 un aperçu du domaine de la déformation puis proposé un formalisme que nous allons utiliser pour effectuer cette opération.

Ce formalisme nous a permis d’introduire une à une les différentes étapes qui interviennent dans la déformation d’une image sismique. Nous avons pour chaque étape effectué le choix d’une approche qui conviendra pour nos travaux puis justifié ce choix. Pour rappel, nous déterminons tout d’abord des points de contraintes {vi} en générant sur l’image sismique une triangulation adaptée aux failles et horizons interprétés. Nous calculons ensuite en ces points la déformation par optimisation des contraintes externes de restauration de la faille ou de l’horizon ainsi que des contraintes internes qui produisent une déformation rigide. Pour cela, nous imposons à notre méthode de respecter un certain nombre de grandeurs géométriques telles que les aires et les formes. Dans une dernière étape nous utilisons une méthode d’interpolation barycentrique pour transmettre la déformation du maillage à l’image sismique et ainsi achever de la restaurer.

Détaillons à présent le processus d’optimisation, c’est-à-dire la manière dont nous traduisons les contraintes en équations puis dont nous les résolvons pour calculer la déformation.

La section 3.1 ouvrira ce chapitre en décrivant le processus général restaurant une image sismique. Elle introduira une méthode calculant le maillage déformé qui minimise localement ses variations de forme et d’aire et qui honore les contraintes externes liées à la restauration. La section 3.2 pour-suivra en détaillant l’écriture des différentes contraintes (internes et externes) intervenant dans notre méthode. Dans la section 3.3, nous proposerons deux méthodes d’optimisation de ces contraintes puis discuterons de leurs avantages et inconvénients en section 3.4. Pour finir dans les sections suivantes,

nous aborderons de manière plus précise certains aspects mathématiques, informatiques et techniques liés à l’ensemble du processus qui sont très importants en pratique et qui donc mériteront que nous rentrions dans les détails de manière plus poussée. Précisément, la section 3.5 traitera d’un raffinement du processus d’optimisation qui permet de pré-conditionner certaines étapes afin de les accélérer et d’éviter certains résultats faux. Puis, nous étudierons dans la section 3.6, la convergence de l’algo-rithme itératif utilisé et proposerons des critères d’arrêt automatique. Enfin, dans la section 3.7, nous détaillerons l’impact du maillage dans ce processus de déformation et proposerons des pistes pour déterminer un maillage optimisé à chaque scénario de déformation.

3.1 Processus de restauration

Dans cette section, nous décrivons le principe général de fonctionnement d’une méthode de dé-formation quasi-rigide de maillage appliquée à la restauration d’une image sismique. Une telle méth-ode repose essentiellement sur des contraintes internes qui assurent la préservation de grandeurs géométriques telles que les aires, mais également les formes. On peut trouver dans la littérature des méthodes proposant des déformations respectant ces grandeurs, appliquées dans d’autres domaines. Par exemple les travaux de [WXW+06] issus du domaine de l’animation permettent de déformer une image en respectant formes et proportions. Nous préciserons lors de l’introduction des contraintes internes, en quoi cette approche revient à conserver aires et longueurs. Pour restaurer une image, la méthode de déformation repose également sur des contraintes externes qui introduisent l’objectif à atteindre. Nous décrirons dans cette section la manière dont ces différentes contraintes interviennent et les résultats qu’elles produisent.

La méthode de déformation rigide d’un maillage calcule la déformation en un ensemble de points de contraintes {vi} appartenant au maillage considéré M. Nous rappelons que nous avons choisi dans la section 2.3 ces points {vi} de manière à ce que leur distribution spatiale soit homogène et qu’ils constituent ainsi une représentation échantillonnée de l’image sismique (c’est-à-dire dans notre formalisme notre modèle numérique P constitué des pixels {pi}). Calculer la déformation va donc consister à optimiser les contraintes externes et internes (en honorant les premières et respectant au mieux les secondes) pour obtenir en tout point v_i un vecteur déplacement à appliquer ensuite à l’image.

Nous rappelons également que la section 2.2 a défini le fait que les contraintes externes et internes vont s’appliquer aux points {v_i} du maillage. Les contraintes externes ont pour but de remplir les objectifs d’un scénario de restauration : selon le cas, dans notre contexte de restauration d’image sismique, il s’agit soit de la restauration d’une faille soit de la mise à plat d’un horizon. Nous utilis-erons dans la suite l’expression “contraintes de restauration” pour les désigner. Ces contraintes de restauration permettent d’obtenir la déformation sur un ensemble des points{ci} inclus dansV. Afin de propager cette déformation à l’ensemble des points{vi}tout en conservant une déformation rigide, dans la section 2.2 nous avons introduit les contraintes internes. Étant donné que ces contraintes internes travaillent avec des grandeurs géométriques, nous les appellerons “contraintes géométriques”

dans la suite.

Introduisons à présent de façon plus détaillée le processus de restauration. Afin de résumer l’ensem-ble du processus, nous utiliserons l’exemple synthétique de la figure 3.1.a dans lequel une faille (en rouge) et un horizon (en bleu) ont été interprétés. L’objectif est dans un premier temps d’inverser le glissement produit le long de la faille, puis de mettre à plat l’horizon.