2.2 Couplage ultrafort à un résonateur optique
2.2.3 Interactions résiduelles
à la jauge symétrique. La forme (2.35) implique que les fonctions d’onde se transforment comme
ψS(r) = e−i
e
~χ(r)ψL(r), (2.36)
et l’on obtient bien une deuxième classe de fonctions propres en jauge symétrique. Finalement, ces fonctions s’écrivent comme le produit des fonctions d’onde dans la jauge de Landau (section 2.1.5) multipliées par un facteur de phase local :
2.2. Couplage ultrafort à un résonateur optique 51 ψN,k(r) = 1 √ Le −iky ei xy 2l20χ N,k(x) . (2.37)
2.2
Couplage ultrafort à un résonateur optique
Ayant passé en revue les principales propriétés électroniques du gaz d’élec- tron bidimensionnel sous champ magnétique, nous sommes maintenant en me- sure d’expliquer en quoi ce système est un candidat particulièrement adapté à l’exploration du régime de couplage ultrafort en présence d’une cavité optique.
2.2.1
Analogie avec les atomes de Rydberg
Dans la section 1.2.6, nous avons évoqué le cas des atomes de Rydberg où la transition entre deux états de grands nombres quantiques principaux N est couplé à un mode de cavité. Les dipôles atomiques sont alors proportionnels au carré du nombre quantique principal6. Dans le cas d’un couplage dipolaire
électrique (section 1.2.3), nous avons vu que la fréquence de Rabi du vide (qui quantifie le couplage lumière-matière) est proportionnelle à ce moment dipo- laire, permettant ainsi d’augmenter le couplage avec le champ en choisissant des valeurs de N suffisamment élevées (limite des grands nombres quantiques). Néanmoins, le nombre d’atomes interagissant avec le champ étant d’ordre unité dans ces expériences, un tel dispositif ne permet pas d’obtenir une fréquence de Rabi de l’ordre de la fréquence de la transition. C’est en fait l’extrême pe- titesse des pertes qui permet à ce système d’entrer dans le régime de couplage fort, tout en vérifiant Ω/ω0 1. Par analogie avec l’exemple précédent, l’idée
est de remplacer les atomes de Rydberg par un gaz d’électrons bidimensionnel soumis à un champ magnétique perpendiculaire. En diminuant l’intensité du champ, le rayon des orbites semi-classiques associées au mouvement relatif des électrons augmente, ce qui permet d’augmenter également le moment dipolaire correspondant. À titre de comparaison, pour un champ magnétique de 10mT, la longueur magnétique est de l’ordre de 250nm ce qui est comparable aux rayons de Bohr atomiques de l’expérience [12]. En fait, le gros avantage du gaz d’électrons bidimensionnel tient surtout à l’effet collectif important qui apparaît en raison du nombre macroscopique de porteurs de charges impliqués dans la transition électronique.
6. Précisément, le moment dipolaire d’un atome de Rydberg de numéro atomique Z est donné par la relation d =eaBN2
Z , où aB= ~
2
Figure 2.2.1 – Représentation schématique du système de base considéré. Les ν premiers niveaux de Landau sont complètement remplis (les cercles noirs désignent les états occupés), les autres niveaux étant vides (les cercles blancs correspondent à des états vides). Le niveau de Fermi (ligne horizontale en pointillés) se situe entre les niveaux N = ν − 1 et N = ν.
2.2.2
Échelle du couplage dipolaire électrique
Considérons un gaz d’électrons bidimensionnel de surface S contenu dans le plan (xOy), et soumis à un champ magnétique statique B0 = Bez. Nous
choisissons la densité de ce gaz de telle sorte que le système se trouve dans le régime des facteurs de remplissage entiers (section 2.1.4), le niveau de Fermi d’énergie ∼ ~ω0ν se situant alors dans le gap cyclotron entre les niveaux de
Landau N = ν − 1 et N = ν (figure 2.2.1). Supposons maintenant que ce système est placé à l’intérieur d’une cavité de volume V = Sλ/2, remplie d’un milieu matériel effectif de permittivité 7 et considérons pour simplifier un seul mode du champ électromagnétique du vide de longueur d’onde λ et de fréquence ω. Nous avons vu dans la section 1.2.3 que la fréquence de Rabi du vide est proportionnelle à l’opérateur de moment dipolaire. Dans notre cas, cet opérateur fait intervenir les coordonnées relatives des électrons selon
ˆ
d = eη, où η désigne l’une des composantes du vecteur associé au mouvement relatif. On peut alors utiliser les opérateurs d’échelle (2.14) et le principe de
7. Dans le cas qui nous intéresse, correspond à la constante diélectrique du GaAs ( ≈ 13).
2.2. Couplage ultrafort à un résonateur optique 53 Pauli pour montrer que le seul élément de matrice de ˆd non nul est donné par d ∼ el√0 2hν| d † r|ν − 1i = eRC 2 . RC = l0 √
2ν désigne ici le rayon cyclotron correspondant à l’extension spatiale du mouvement relatif au niveau de Fermi. Cette relation caractéristique de l’oscillateur harmonique signifie que seuls les électrons du dernier niveau de Landau rempli (N = ν − 1) peuvent transiter dans les états du premier niveau vide8(N = ν). On se retrouve finalement
dans un cas similaire à celui de la section 1.2.3 à la différence près que ce sont maintenant N systèmes à deux niveaux, séparés par l’énergie ~ω0, qui se
couplent au mode du résonateur. En utilisant la relation (1.14) et en choisissant un mode résonant avec la transition cyclotron (ω = ω0), la fréquence de Rabi
adimensionnée peut s’écrire comme Ω ω0 ∼ dEω ~ω0 r N V = eRC 2 r 4π ~Sλω0 √ N . (2.38) Rappelons que le facteur√N à été introduit en raison du couplage collectif qui fait intervenir les N électrons du niveau N = ν −1. En utilisant les relations ω = λ2πc√
et N = S 2πl2
0
, nous obtenons finalement Ω ω0 ∼r αν√ , (2.39) où α = e2 ~c ≈ 1
137 désigne la constante de structure fine. La fréquence de Rabi
adimensionnée est donc proportionnelle à la racine carrée du facteur de rem- plissage des niveaux de Landau. On comprend dès lors qu’il est possible d’entrer dans le régime de couplage ultrafort (Ω/ω0 . 1) dans la limite ν 1, ce qui
complète l’analogie avec les atomes de Rydberg. Comme ν ∝ ρ2DEG/B, ceci
correspond bien au régime des faibles champs magnétiques et/ou des hautes densités électroniques. Comme nous l’avons déjà signalé, la possibilité d’at- teindre de fortes densités est un avantage du gaz d’électron bidimensionnel. Les techniques de croissance modernes comme l’épitaxie par jets moléculaire (MBE), ou encore le dépôt chimique en phase vapeur (MOCVD) permettent en outre de superposer plusieurs puits quantiques (typiquement de l’ordre d’une dizaine) au sein d’un même échantillon. Lorsque l’écrantage dans la direction de croissance est suffisamment important, les gaz d’électrons bidimensionnels apparaissant à chaque interface sont indépendants, parallèles entre eux, et séparés par une distance (∼ 0.1µm) beaucoup plus petite que la longueur ty-
pique de variation du champ électromagnétique9. Si l’on considère une struc-
ture composée de nQW puits quantiques, la densité ρ2DEGdu gaz d’électron est
alors remplacée par la densité effective ρ2DEGnQW, et la constante de couplage
adimensionnée est augmentée d’un facteur√nQW :
Ω ω0
∼r ανn√QW
. (2.40) Finissons cette section en rappelant que la limite ν 1 ne doit pas être confondue avec la limite semi-classique[61]. Un état semi-classique à une par- ticule correspond en effet à un état cohérent formé d’une superposition de différents niveaux de Landau, alors que les électrons du dernier niveau de Lan- dau rempli N = ν − 1 se comportent de façon quantique, y compris dans la limite ν 1.
2.2.3
Interactions résiduelles
L’idée étant clairement posée, nous devons maintenant considérer les autres échelles d’énergie pouvant affecter les propriétés de notre système. Dans cette section, nous tenterons d’en dresser un aperçu.
Effet Zeeman
Dans la section 1.2.6 du chapitre 1, nous avons évoqué le couplage magné- tique entre les degrés de liberté de spin des électrons et le champ magnétique fluctuant dans la cavité. Dans le cas présent, le système d’électrons bidimen- sionnels étant soumis à un champ magnétique statique aligné selon l’axe (Oz), on doit rajouter un terme similaire au hamiltonien total. La composante du spin S d’un électron selon z prend alors les deux valeurs Sz = ~/2 pour un
électron de spin "up", et Sz = −~/2 pour un électron de spin "down". En
introduisant le magnéton de Bohr µB = 2m~e0c et le facteur de Landé gL des
électrons10, le hamiltonien de la relation (1.34) avec B ≡ B
0 donne les deux
énergies
EZ= ±
gLµBB