Interactions non-linéaires en guides d'ondes

Nous avons vu précédemment que deux conditions doivent être satisfaites pour obtenir une conversion de fréquence ecace. Tout d'abord, les intensités mises en jeu doivent être importantes, ce qui peut s'obtenir en focalisant fortement un faisceau laser. Ensuite l'interaction doit se faire sur une longue distance, ce que l'on peut faire en collimatant ce même faisceau. On voit donc que les milieux massifs ne sont pas les meilleurs supports, puisqu'on n'y peut satisfaire les deux critères à la fois. Dans les guides d'ondes optiques, en revanche, les modes interagissant peuvent être très fortement connés, et se propager sur de grandes distances, ce qui en fait de bons supports pour l'optique non-linéaire [22,23]. Nous présentons dans cette partie les gui-

1.2 Interactions non-linéaires en guides d'ondes 23 Substrat O y x z n_g n_g nc

Figure 1.6  Représentation schématique d'un guide d'ondes : dans la direction verticale le connement est assuré par la présence de couches connantes dont l'indice de réfraction, ng, est plus faible que l'indice du c÷ur, nc; latéralement

c'est la présence de l'air, n = 1 < nc qui assure le connement.

des d'ondes semi-conducteurs et les changements concernant les résultats entrevus en section 1.1

1.2.1 Structures semi-conductrices guidantes

Les guides d'ondes optiques sont des structures permettant le connement de modes électromagnétiques dans les dimensions transverses, et leur propagation dans la direc- tion longitudinale. Ceci est possible si, comme schématisé sur la gure 1.6, une couche guidante, d'indice ng et d'épaisseur de l'ordre de la longueur d'onde, est entourée par

deux couches connantes d'indice nc< ng. La lumière est connée dans la couche d'in-

dice le plus grand grâce au phénomène de réexion totale interne. Sa propagation le long du guide est caractérisée par un indice eectif, nef f, de sorte que nc < nef f < ng.

Dans la direction latérale, le connement est assuré par une variation de l'indice, qui peut être réalisée en gravant un ruban. Le guide peut être vu comme la juxtaposition de trois régions d'épaisseur diérente. Selon la profondeur de gravure, le mode perçoit

une perturbation de l'indice (auquel cas on peut traiter le problème de propagation de l'onde de façon 1D) ou bien la diérence d'indice est importante et un traitement du problème à 2 dimensions s'impose.

Les modes se propageant, dits modes guidés, sont en nombre discret à une fré- quence donnée [24]. Leur recherche passe par la résolution des équations de Maxwell qui s'écrivent, dans le cas d'une onde monochromatique de fréquence ω dans le vide

∇ ×−→E = −iωµ−→H et ∇ ×−→H = iω0n2

− →

E

où n est l'indice de réfraction à la fréquence ω. Si l'on considère un guide plan symé- trique composé d'une couche guidante d'indice ng, comprise entre x = −d et x = +d,

entourée par deux couches connantes d'indice nc < ng, n(x) vaut ng si |x| < d et nc

sinon. En combinant ces deux équations on obtient l'équation d'onde ∇2−→E + k₀2n2−→E = 0

avec k0 = ω/c. Si l'onde se propage selon la direction z on peut l'écrire sous la forme

E(x, t) = Em(x) exp[i(βz − ωt)]

où β est la composante selon z du vecteur d'onde, aussi appelée constante de propa- gation, et Em(x)sont les champs électriques associés aux modes guidés, avec m=0, 1,

2, ... L'équation d'onde s'écrit alors  d2 dx2 + k 2 0n 2_{− β}2 −→ Em(x) = 0

Cette dernière équation est une équation aux valeurs propres β. Les solutions se classent en modes TE ou TM, selon que le champ électrique ou magnétique est orthogonal à la direction de propagation :              −−→ eT E = ey−→y0 −−→ hT E = hx−→x0 + hz−→z0 −−→ eT M = ex−→x0 + ez−→z0 −−→ hT M = hy−→y0 (1.40)

Chaque mode est caractérisé par :

1.2 Interactions non-linéaires en guides d'ondes 25

 une distribution spatiale transverse φm(x)présentant m zeros le long de l'axe Ox.

Dans un guide ruban, le champ associé à un mode guidé 2D peut s'exprimer de la façon suivante :

E(x, y, t) = E0φm,n(x, y) exp [i(βz − ωt)] (1.41)

où β = nef fω/c est la constante de propagation du mode, E0 est l'amplitude com-

plexe et φm,n(x, y) est la distribution modale du champ pour laquelle on applique la

normalisation suivante : Z

φ2_m,n(x, y)dxdy = 1 (1.42)

Prenons maintenant en considération des guides GaAs/AlxGa1−xAs que l'on fait

croître par épitaxie sur des substrats de GaAs. La croissance permet de varier la concen- tration en Al de x = 0 à x = 1. On voit sur la gure 1.7 que l'on peut faire varier l'indice de réfraction de chacune des couches constituant les guides, et ainsi nement dénir l'indice eectif des modes guidés. La ligne verticale représente le seuil d'absorption du GaAs : au-delà de l'énergie de la bande interdite le matériau devient absorbant. Notons aussi que le substrat étant en GaAs, matériau ayant l'indice de réfraction le plus fort, les modes sont susceptibles de fuir vers le substrat. Pour éviter ce désagrément il faut insérer une couche connante susamment épaisse pour bien repousser le mode dans le c÷ur guidant (voir gure 1.8).

1.2.2 Conversion de fréquence en guide d'ondes

Par rapport au traitement en ondes planes, eectué en section 1.1.2, la recherche des expressions de l'ecacité de conversion normalisée prend en compte la distribution spatiale des modes interagissant. Considérons trois modes décrits par l'expression 1.41, pour lesquels on admet que E0 est une fonction lentement variable au cours de la

propagation selon (Oz). Le recouvrement spatial des distributions φ1(x, y), φ2(x, y) et

φ3(x, y), et du coecient non-linéaire def f(x, y), s'exprime via l'intégrale de recouvre-

ment non-linéaire : Γ =

Z

def f(x, y)φ1(x, y)φ2(x, y)φ3(x, y)dxdy (1.43)

La résolution du système d'équations couplées 1.15 pour la SFG (avec ω3 = ω1+ ω2)

Figure 1.7  Dispersion de l'alliage AlxGa1−xAs en fonction de x (d'après M. A. Afromowitz [25]). −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 (a) (b)

GaAs GaAs GaAs GaAs

AlGaAs 70%

AlGaAs 70% AlGaAs 70% AlGaAs 70%

air air

e1 e2

Figure 1.8  Fuite d'un mode TE0 vers le substrat dans une structure GaAs/e

Al0.7Ga0.3As/1 µm GaAs/1 µm Al0.7Ga0.3As à λ=2 µm. Si e=e1=1 µm le mode