Interaction de Heisenberg

3.3.1 Le hamiltonien de Heisenberg à deux dimensions

Plus réaliste que le système d’Ising, le hamiltonien de Heisenberg a pour objet

la description du magnétisme électronique au sein des solides, en particulier les

isolants, où les ions magnétiques sont bien séparés. On pourrait croire que les

interactions magnétiques entre les moments discrets de ces ions magnétiques provi­

ennent essentiellement de leur champ magnétique, soit directement à travers les in­

teractions dipôle-dipôle, soit plus indirectement à travers les couplages spin-orbite.

En réalité, il n’en est rien puisqu’en général, l’interaction électrostatique électron-

électron domine de loin tous ces effets. Ainsi, à titre indicatif, on mesure que

la température critique du fer, du cobalt ou du nickel est de l’ordre de 10^ à

lO^K [52]. Si l’interaction entre les dipôles magnétique des électrons dominait,

cette température devrait être de 10°ié. Cependant, nous verrons dans la section

suivante qu’en réalité, l’interaction dipolaire justifie certaines propriétés des solides

magnétiques.

Si l’interaction coulombienne constitue une des causes du magnétisme électronique,

il en est une autre, tout aussi essentielle, liée à la nature fermionique des partic­

ules: le principe d’exclusion de Pauli. Considérons tout d’abord un système à deux

électrons. Du fait de l’existence de ce principe, le système ne peut se trouver que

dans quatre états distincts, dont un état singulet (symétrique) et trois états triplet

(antisymétriques). Ecrivons Es l’énergie minimum associée à un état singulet, et

E

t

l’énergie minimum associée à un état triplet.

A titre illustratif, imaginons deux atomes. Si les deux noyaux sont bien séparés,

l’état fondamental décrit alors deux atomes indépendants, chacun possédant un

électron de valence par exemple. Par conséquent, cet état est quatre fois dégénéré

: Es = E

t

- Ensuite, si l’on rapproche un petit peu les deux noyaux, cette

dégénérescence est levée: Es ^ E

t

- Ce phénomène est dû aux interactions en­

tre les deux atomes. Cependant, cette différence d’énergies Es — E

t

reste petite

comparativement aux autres niveaux d’excitation du système. Aussi, lors de l’étude

de ce système, on peut négliger toute la partie plus excitée du spectre, pour se con­

centrer sur les conséquences de ces quatre niveaux d’énergie. De la sorte, le système

se modélise avec quatre états, modèle qui est très valable pour décrire par exemple

les propriétés thermiques du système lorsque ksT ~ Es — E

t

car, dans ce cas, seuls

ces quatre états sont thermiquement excités.

Le hamiltonien de Heisenberg qui en résulte est une combinaison linéaire de ces

quatre états les plus bas [52]. Un système à deux électrons se caractérisera donc par

les propriétés suivantes. Chaque électron i satisfait à

de sorte que le spin total est donné par

= (Si+ 82)^

= ^ + 281-82. (3.14)

Comme la valeur propre de 8^ dans les états de spin total 5 est de 5(5” + 1), par

l’équation 3.13 on voit que l’opérateur 81-82 a pour valeur propre — | si l’état est

singulet {S = 0), et | si l’état est triplet (5 = 1). Dans ce cas, le hamiltonien s’écrit

H = ^{Es + 3E

t

) - {Es - £^T)SrS2, (3.15)

dont les valeurs propres sont bien Es pour l’état singulet, et Ej pour les états

triplets. En incluant le terme \{Es + 3E

t

) dans le zéro d’énergie commun aux

quatre états, on obtient finalement le hamiltonien

7

t

! = -JS

i

-S2, (3.16)

§(5 + »

3

4’ ^(3.13)

où J — {Es — E

t

) est appelée la constante de couplage d’échange. Le couplage des

spins ne dépend que de l’orientation relative des deux spins, de sorte que ce système

est isotrope.

Lorsqu’on étudie un système à N particules, la description du problème est de plus en

plus compliquée au fur et à mesure qu’on ajoute des particules. Ainsi, contrairement

au système à deux électrons, on ne connaît pas a priori les niveaux de basses énergies.

Ensuite, même dans l’hypothèse où l’on parvient à construire le hamiltonien, encore

faut-il en calculer les valeurs propres. Cette tâche n’est pas triviale. Néanmoins,

dans certains cas, le hamiltonien qui fournit le spectre d’énergie résultant de la

levée de la dégénérescence par rapprochement des ions sur le réseau est donné par

la somme sur toutes les paires d’ions. Ainsi, le hamiltonien de Heisenberg à N spins

1/2 sur un réseau fini C est donné par

Hneis =

2

J ^

^{rii,ny) ’(ni + l,riÿ + 8_{{^Tlx ) ^(nx,riy + l) 9} (3.17)

(nx,ny)eC

OÙ

il est

à

nouveau tenu compte de conditions aux bords périodiques. L’approximation

d’une somme tronquée aux plus proches voisins se justifie par la décroissance expo­

nentielle par rapport

à

la distance interspin de l’interaction d’échange. Pour accepter

le fait que seuls les produits de paires d’opérateurs de spin sont présents dans 'Hueis,

il faut que tous les ions magnétiques soient suffisamment éloignés les uns des autres,

de sorte que le recouvrement de leurs fonctions d’onde soit négligeable [52] (voir

également C. Herring).

3.3.2 Contexte expérimental

Le hamiltonien de Heisenberg présente l’avantage d’exprimer sous une forme très

compacte des informations très complexes sur les premiers niveaux d’excitation

du système magnétique. Comme dans le cas du hamiltonien d’Ising, le signe de

J détermine le caractère ferromagnétique ou antiferromagnétique du système. Ce

modèle peut valablement décrire certains systèmes expérimentaux tels que les cuprates

à une et à deux dimensions [58,59]. Ainsi, le composé Sr2Cu03 présente une structure

cristalline dans laquelle apparaissent des chaînes Cu — 0 [59]. Dans ce cas, la version

la plus appropriée du hamiltonien de Heisenberg est la chaîne antiferromagnétique à

une dimension, au sein de laquelle on assiste à un phénomène d’interaction non pas

d’échange, mais de superéchange. En effet, selon une des directions du cristal à trois

dimensions de Sr2Cu03, les ions de cuivre ne sont liés qu’aux ions d’oxygène. 11 n’y

aura donc de couplage de superéchange fort entre les ions de cuivre que selon cette

direction. En termes simples, deux ions magnétiques Cu^"*" (de spin 1/2) sont séparés

par un ion nonmagnétique 0^“, de sorte que l’interaction d’échange directe entre les

électrons des ions magnétiques est dominée par un autre effet, à savoir l’interaction

entre ces deux ions due à la présence des électrons dans l’ion nonmagnétique commun

voisin.

Un autre exemple fort actuel est fourni par la structure planaire des supraconduc­

teurs à haute température critique. Ces matériaux contiennent des réseaux plans de

Cu02, qui alternent avec des couches d’autres atomes (Ba, 0, La...). Plusieurs au­

teurs estiment que les couches de Cu02 jouent le rôle principal dans le phénomène

de supraconductivité, les autres couches constituant simplement un réservoir de

charges électriques [32]. Au sein des couches de Cu02, chaque ion de cuivre est

entouré par quatre ions oxygène. Pour ces couches, le modèle de Heisenberg antifer­

romagnétique à deux dimensions peut fournir la base d’une description qualitative.

On considère qu’une couche donnée consiste en un réseau d’électrons localisés un à

un sur des sites distincts, la coordonnée de chaque site étant celle de l’atome hôte

correspondant. En fait, la pertinence du modèle de Heisenberg se mesure ici à l’aune

de l’importance relative des interactions anisotropes qui peuvent coupler les plans

entre eux. Dans le même ordre d’idées, le choix de la dimensionalité du modèle

de spins dépend étroitement de l’intensité des interactions entre couches d’une di­

mension donnée (chaînes, plans) par rapport à celles qui se produisent entre spins

au sein de chaque couche [34,60,61]. En particulier, il semble que la température

critique du supraconducteur dépende du nombre de couches d’oxydes de cuivre, et

de la distance qui les sépare [32].

En fait, le modèle de Heisenberg ne s’applique pas directement aux matériaux supra­

conducteurs, mais à des matériaux qui le deviennent lorsqu’ils sont dopés [32]. Un

matériau non dopé se distingue d’un matériau supraconducteur en ce qu’il ne con­

tient pas de charge libre au sein des réseaux plans. C’est dans ces matériaux qu’on

observe un ordre antiferromagnétique à basse température. Néanmoins, si cet or­

dre à longue portée disparaît lorsqu’on dope le matériau, on peut s’attendre à ce

que les corrélations de spins demeurent cependant importantes dans le phénomène

de supraconductivité. En effet, ces interactions peuvent être responsables d’un ar­

rangement local ordonné des moments magnétiques qui, à courte distance, diffère

très peu de la structure magnétique observée au-dessous de la température de Néel

dans les régimes isolants.

Un exemple de composé contenant des plans de Cu02 est le semiconducteur an-

tiferromagnétique La2Cu04. Supraconducteur lorsqu’il est dopé par des atomes

de Sr ou de Mn [32,62], il est considéré comme un bon exemple de système de

Heisenberg à deux dimensions, bien que dans une moindre mesure que Sr2Cu03

ne l’est à une dimension [59]. Ces deux composés présentent certes une struc­

ture similaire, encore que dans le cas du Sr2Cu03, l’interaction de superéchange

au sein des chaînes C-0 domîne l’interactîon de superéchange interchaîne, d’où

la différence de dîmensîonalité du modèle de Heisenberg sous-jaçant. Cependant,

une différence plus fondamentale entre ces deux composés réside justement dans la

présence d’effets anisotropes dans le cas du La2Cu04. Pour cette raison, ce matériau

subit par exemple des transformations cristallographiques lors d’un refroidissement

de la température, alors que les propriétés cristallines de l’autre composé antiferro­

magnétique demeurent relativement constantes [32]. D’une manière générale, la

présence de termes anisotropes peut drastiquement modifier les propriétés d’un

supraconducteur.

3.3.3 Contexte théorique

Le modèle de Heisenberg peut être interprété comme un cas limite du modèle de

Hubbard [63]. Le hamiltonien de Hubbard décrit les corrélations entre électrons, en

supposant qu’il y a une orbitale électronique de valence par atome, et que chaque

atome peut accueillir zéro, un ou deux électrons. Ce hamiltonien s’écrit

^Hubb = ^cin + ^pc + ^coul, (3.18)

où le premier terme cinétique Tllcm est proportionnel à l’amplitude de saut, t > 0,

et représente la corrélation électronique. Le paramètre t mesure la contribution du

saut d’un électron d’un site vers un site voisin. Le terme TÎpc est proportionnel

à j.

1

, le potentiel chimique et à N, le nombre total d’électrons. Enfin, le dernier

terme décrit la répulsion coulombienne, et est proportionnel à l’énergie U >0. Ce

hamiltonien est notamment utilisé pour décrire la supraconductivité qui apparaît

dans les matériaux dopés dont nous venons de parler [32].

Typiquement, les supraconducteurs à haute température et les matériaux qui leur

donnent naissance présentent un ensemble de bandes de basses énergies entièrement

occupées, une bande de conduction à moitié remplie près de la surface de Fermi,

et un ensemble de bandes vides aux énergies plus élevées. Dans cette hypothèse,

le potentiel chimique p est nul, et le nombre d’électrons par site est en moyenne

égal à un. En outre, si la répulsion coulombienne est importante, c’est-à-dire que

U » t, on peut alors considérer que le nombre d’états où l’occupation par site

est de deux électrons est négligeable, et que dès lors le hamiltonien de Hubbard

décrit un réseau où chaque site héberge exactement un électron. Donc, dans la

limite j oo, c’est-à-dire lorsque TÎcin est négligeable devant 'Hcoui (^pc étant nul),

le hamiltonien de Hubbard s’apparente au hamiltonien de Heisenberg. En fait, la

constante de couplage J du hamiltonien de Heisenberg est donnée par

J =

T' ^(3.19)

où tes valeurs typiques t « 0.4 eV et U ^ 3.5 eV donnent J sa 0.14 — 0.16 eV proche

des valeurs expérimentales [32]. Par conséquent, lorsque la bande de conduction

est à moitié remplie (exactement), dans la limite envisagée, l’état fondamental du

modèle de Hubbard est équivalent à celui du modèle de Heisenberg.

Soulignons enfin qu’en général, mis à part quelques cas particuliers tels que justment

le hamiltonien de Heisenberg à une dimension, il n’existe pas de solution exacte pour

le modèle de Hubbard, ne fût-ce que pour calculer l’énergie du niveau fondamental.

Les valeurs de t/ et de t ne sont en général pas connues, notamment lorsque la

bande de conduction n’est plus exactement à moitié remplie, et donc ces paramètres

demeurent libres. Dans la dernière section de ce chapitre, nous évoquerons une

approche pour pallier cette déficience d’information, à savoir la théorie des matrices

aléatoires.

Si le hamiltonien de Heisenberg est souvent complété par des termes anisotropes

appropriés, par exemple pour décrire des composés tels que RbMnFs [64], cependant,

le problème du traitement du hamiltonien de Heisenberg étant déjà fort compliqué

en soi, ce modèle est souvent choisi comme point de départ pour investiguer les

propriétés du magnétisme électronique. Certains résultats exacts ont été obtenus à

une dimension [65-67]. En particulier, on a montré grâce à l’hypothèse de Bethe

que la chaîne de Heisenberg à une dimension présente une hiérarchie de constantes

du mouvement, et constitue de ce fait un système complètement intégrable [65-67].

Néanmoins, on ne connaît pas de traitement exact du système de Heisenberg à deux

dimensions.

Toutefois, des résultats exacts ou approchés ont été partiellement obtenus lors de

l’étude des propriétés spectrales et thermodynamiques au sein du système de Heisen­

berg à une et à deux dimensions [68,69], ainsi que des fonctions de corrélation tem­

porelles de spins pour décrire la dynamique de ce modèle [70,71], notamment à trois

dimensions [18,25-27]. D’une part, ces résultats concernent le calcul du niveau fon­

damental et des premiers niveaux excités du ferromagnétisme et de l’antiferromagnétisme

ainsi que des modes selon lesquels ces excitations prennent place (ondes de spin)

[52,72]. D’autre part, les grandeurs thermodynamiques telles que l’entropie ou la

chaleur spécifique ont été calculée pour des chaînes de spins [68]. Enfin, un volet im­

portant de la recherche sur ce modèle concerne la diffusion de spin et les phénomènes

de relaxation qui y sont liés. Des méthodes perturbatives ont notamment été ex­

ploitées afin de dériver des équations de diffusion approchées pour les fonctions de

corrélation de spins, et la matrice densité qui intervient dans leur définition [18,25-

271.

Dans ce travail, nous allons principalement étudier les propriétés spectrales et ther­

modynamiques du hamiltonien de Heisenberg à deux dimensions. D’une part, nous

tenterons d’établir dans quelle mesure ce système perd son caractère intégrable

lorsqu’on passe d’un réseau à une dimension à un réseau à deux dimensions. D’autre

part, l’étude thermodynamique nous conduira à envisager un schéma de transition

de phase à température finie non nulle pour le réseau de Heisenberg en contact

avec un réservoir thermique, de sorte que l’ensemble canonique de la mécanique

statistique d’équilibre pourra servir de cadre théorique à ces calculs.

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