Les instabilités de Turing et de Hopf

3 4 5 6 7 8 9 0 5 10 15 20 25 30 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 (a) (b) _{(c) (d)}

predator size ^{predator size}

predator size

predator size

prey size prey size ^{prey size}

prey size

Fig.2.3

– Cascade de bifurcations conduisant à des oscillations chaotiques sur le plan de phase(U, V)

quand b varie : (a)b= 0.197, (b) b= 0.203, (c) b= 0.23, (d) b= 0.26. Les autres paramètres et la condition initiale sont donnés dans (2.5.60) et (2.5.61)

paramètres qu’avec d’autres. Dans ce problème, nous choisissons b comme paramètre de

contrôle car il définit le rapport des taux de natalité de la proie et du prédateur. Ainsi

nous faisons varierb entre 0.195 et0.26. Les autres paramètres et la condition initiale sont

donnés dans (2.5.61) et (2.5.60) respectivement. Pour chaque valeur de b, on résoud le

système (2.2.4) avec la condition initiale (2.5.60) et les valeurs de paramètre dans (2.5.61).

Nous laissons un temps transitoire assez grand de façon à ce que les quantités U et V

entrent dans le domaine d’attraction. On commence par prendre b = 0.26 puis on décroît

les valeurs de b. Pour b = 0.26, la solution du système (2.5.62) est un foyer, voir figure 2.3

(d). Nous obtenons le même plan de phase (un foyer) tant que la valeur de b est

stricte-ment supérieure à 0.255. On observe la première bifurcation quand b = 0.255. Pour des

valeurs deb appartenant à l’intervalle]0.208, 0.255[, le système (2.5.62) exhibe attracteur

périodique, les solutions sont périodiques sur le plan de phase (U, V)voir figure 2.3 (c).

Une seconde bifurcation pourb= 0.208produit un attracteur quasi-périodique. Ainsi pour

b entre 0.208 et 0.199, les solutions de (2.5.62) sont quasi-périodiques. Enfin pour b entre

0.199 et 0.195, les solutions de (2.5.62) deviennent chaotiques, voir figure 2.3 (a). Ces

résultats se résument dans le diagramme de bifurcation de la figure 2.4.

2.5.2 Les instabilités de Turing et de Hopf

Les systèmes de réaction-diffusion conduisent à deux types de bifurcations classiques

brisant la symétrie et qui conduisent à la formation de motifs spatio-temporels. La

bifurca-tion de Hopf brise la symétrie temporelle du système et conduit à des oscillabifurca-tions uniformes

en espace et périodiques en temps. La bifurcation de Turing (stationnaire) brise la

symé-trie spatiale et conduit à la formation de motifs stationnaires en temps et oscillatoires en

espace, voir [23, 69, 70, 98, 100] pour plus de détails. Cette instabilité produit des motifs

stationnaires spontanés.

2.5 Dynamiques complexes et la formation de patterns spatio-temporels 43

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26

Fig. 2.4

– Diagramme de bifurcations en fonction du paramètreb.

populations. Elle ne dépend pas du tout de la géométrie du système. De plus, il n’y a pas

d’instabilité de Turing en absence de diffusion. Elle peut se produire seulement si la proie

diffuse plus lentement que la population prédateur. Donc le principal facteur induisant

l’instabilité de Turing est la diffusion. C’est pourquoi cette instabilité est souvent appelée

dif f usion−driven instability. Un trait remarquable par rapport à d’autres instabilités

est que les caractéristiques du motif résultant ne sont pas déterminées par des contraintes

extérieures.

Rappelons quelques résultats qui nous permettent de choisir les paramètres appropriés.

D’après [18, 19], l’existence et la stabilité de l’équilibre positif (u

∗

, v

∗

) du système (2.2.3)

sont données par la relation suivante :

Lemme 2.5.2 Si a e

2

< e

1

, alors le système (2.2.3) admet un unique équilibre positif

(u

∗

, v

∗

). Notons par,

α

1,2

= ¹−(b−e

1

)±^√ρ

4 ^{où ρ= (1}−(b+e

1

))

²

−8b e

1

Le point d’équilibre(u

∗

, v

∗

)est asymptotiquement stable pour le système (2.2.3) sib+e

1

>1

ou 0< u

^∗

< α

1

ou α

2

< u

^∗

et instable si α

1

< u

^∗

< α

2

.

Pour effectuer l’analyse de stabilité locale, nous linéarisons le système (2.2.4) au

voisi-nage de l’équilibre (u

∗

, v

∗

), puis nous développons l’expression dans l’espace de Fourier,

u(x, t) =u

^∗

e

^λt

e

^{i−→k .−→x}

, v(x, t) =v

^∗

e

^λt

e

^{i−→k .−→x}

.

−

→

k est un vecteur d’onde. Nous obtenons alors l’équation caractéristique |A

k

−λI|= 0 où

A

_k

=A−k

²

D, D=diag(1, δ),

A=







∂f

∂u

∂f

∂v

∂g

∂u

∂g

∂v





=

f

u

f

v

g

u

g

v

=





1−2u

^∗

−^e

¹

^(1−u

∗

)

u

∗

+e

₁

− ^au

∗

u

∗

+e

₁

b −b



 (2.5.63)

Nous pouvons maintenant résoudre l’équation (2.5.63) qui permet d’obtenir le polynôme

caractéristique du problème (2.2.4),

λ

²

−tr(A

k

)λ+det(A

k

) = 0 (2.5.64)

tr(A

_k

) =f

_u

+g

_v

−k

²

(1 +δ) =tr(A)−k

²

(1 +δ), (2.5.65)

det(A

_k

) =f

_u

g

_v

−f

_v

g

_u

−k

2

(δf

_u

+g

_v

) +δk

4

=det(A)−k

2

(δf

_u

+g

_v

) +δk

4

. (2.5.66)

Les racines de l’équation (2.5.64) sont de la forme

λ

1,2

(k) = ¹

2^(tr(A

^k

⁾±^p(tr(A

k

))

2

−4det(A

k

)). (2.5.67)

Théorème 2.5.3 Si b+e

1

> 1 ou 0 < u

^∗

< α

1

ou α

2

< u

^∗

; α

1

, α

2

sont définis dans le

lemme 2.5.2. Alors(u

∗

, v

∗

)est un équilibre asymptotiquement stable pour le système (2.2.3).

Sous ces conditions,(u

∗

, v

∗

)devient un équilibre homogène instable pour le système (2.2.4)

si on a

δ >2bf

_u

+ 4det(A) + 2^pbf

_u

det(A) + (det(A))

2

. (2.5.68)

Démonstration.D’après le lemme 2.5.2, la trace deA (tr(A)) est négative. Ainsi,tr(A

_k

)

est négative par la définition donnée dans (2.5.65). Par conséquent, (u

∗

, v

∗

) devient un

équililibre homogène instable pour le système (2.2.4) s’il existe unk

0

tel quedet(A

k0

)<0.

Considérons le déterminant de A

_k

(det(A

_k

)) comme un polynôme de k

2

.

Son discriminant s’écrit

Θ = (δ

u

+g

v

)

²

−4det(A). (2.5.69)

Après simplification nous remarquons queΘest positif si la condition (2.5.68) est satisfaite.

Sous cette condition, il existe au moins un k

∗

positif entre k

0

et k

1

telle que l’inégalité

suivante soit satisfaite : det(A

k∗

)<0. De plus k

0

et k

1

satisfaient det(A

k1,2

) = 0.

Une analyse linéaire montre que les conditions nécessaires pour donner les motifs de

Turing sont

tr(A) =f

u

+g

v

<0, (2.5.70)

det(A) =f

_u

g

_v

−f

_v

g

_u

>0, (2.5.71)

δf

u

+g

v

>0, (2.5.72)

(δf

u

+g

v

)

²

>4δ(f

u

g

v

−f

v

g

u

). (2.5.73)

En effet, les conditions (2.5.70) et (2.5.71) asssurent que l’équilibre(u

∗

, v

∗

)est stable pour

le système (2.2.3). L’équilibre(u

∗

, v

∗

)devient instable pour le système (2.2.4) siRe(λ

1,2

(k))

passe d’une valeur négative à une valeur positive.

De l’équation (2.5.64), une condition nécessaire pour avoirRe(λ

1,2

(k))>0est quetr(A

k

)>

2.5 Dynamiques complexes et la formation de patterns spatio-temporels 45

Remarque 2.5.4 Comme nous considérons ici un modèle proie-prédateur, f

u

doit être

positive, voir [44] pour plus de détails. Par un calcul simple nous avons f

u

>0 si

a > ^4e

¹

2−2e

1

+ 4e

2

. Rappelons aussi que nous avons d’après (2.5.70) et (2.5.71),f

_u

+g

_v

<0

et δf

_u

+g

_v

>0.

Ainsi, pour un modèle proie-prédateur, une condition nécessaire pour observer l’instabilité

de Turing est que le prédateur doit diffuser plus rapidement que la proie, c’est à direδ >1.

De façon mathématique, comme δ >1 alors on a à la bifurcation de Turing,

Im(λ(k)) = 0 et Re(λ(k)) = 0 à k=k

T

6= 0,

oùk

T

est la longueur d’onde critique. La valeur critique du paramètre de bifurcation b est

égale à

b

T

= −B±^√B

2

−4RC

2∗R ^, (2.5.74)

où,

R = −1

(1 +δ)

2

, C =− ^(δf

^u

⁾

2

(1 +δ)

2

,

B = ^((f

^u

^{(1 +δ}

2

))

(1 +δ)

2

+^u

∗

(2u

∗

+a+e

₁

−1)

u

∗

+e

1

.

Au seuil b

_T

de la bifurcation de Turing, la symétrie spatiale du système est brisée et les

motifs sont stationnaires en temps et oscillatoires en espace (voir [44]), avec une longueur

d’onde donnée par

λ

T

= ^2π

k

T

= 2π

s

δ(u

∗

+e

₁

)

u

∗

(2u

∗

+a+e

1

−1)^. (2.5.75)

À la bifurcation de Hopf, nous avons

Im(λ(k))6= 0 et Re(λ(k)) = 0 à k = 0.

D’après l’équation des valeurs propres (2.5.67), la valeur critique du paramètrebconduisant

à la bifurcation de Hopf est égale à

b

H

= 1−2u

^∗

−^e

¹

^(1−u

∗

)

u

∗

+e

₁

^. (2.5.76)

Au seuil de la bifurcation de Hopf, la symétrie temporelle du système est brisée et

conduit à des oscillations uniformes en espace et périodiques en temps et avec la fréquence

w

H

=Im(λ(k)) =^pdet(A) =

r

bu

∗

u

∗

+e

₁

^(2u

A est définie dans l’équation (2.5.66) et la longueur d’onde correspondante est égale à

λ

H

= ^2π

w

H

= 2π

r

u

∗

+e

1

bu

∗

(2u

∗

+a+e

1

−1)^. (2.5.78)

Les valeurs de ces paramètres sont utiles et seront utilisées pour les simulations numériques.

Résultats numériques :

L’analyse de stabilité du système (2.2.4) conduit à ces courbes de bifurcations où les

pa-ramètres sont fixés comme suit

a= 1.1, e

₁

= 0.3, e

₂

= 0.2et δ∈]100,130[.

La figure 2.5 (b) représente la valeur critique de b permet d’observer l’instabilité de Hopf

quandδvarie. Les courbes(a)et(c)de la figure 2.5 sont les valeurs minimales et maximales

deb(c-à-db

T

) permettant d’avoir l’instabilité de Turing. La courbe 2.5(b)donne la valeur

critique de b (c-à-db

H

) conduisant à la bifurcation de Hopf.

Les courbes de bifurcation de Turing et de Hopf séparent l’espace des paramètres en

do-maines distincts, voir la figure 2.5 :

0.008545 0.00855 0.008555 0.00856 0.008565 0.00857 0.008575 0.00858 0.008585 100 105 110 115 120 125 130 diffusion coefficient no Turing intability instability Turing (a)

Miniimal value of b for Turing instability

0.0672 0.0674 0.0676 0.0678 0.068 0.0682 0.0684 0.0686 0.0688 100 105 110 115 120 125 130

critical value growth rate b

Hopf instability no Hopf instability diffusion coefficient (b) 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 100 105 110 115 120 125 130 (c) no Turing intability Turing instability diffusion coefficient

Maximal value of b for Turing instability

Fig. 2.5

– la courbe de valeur critique b conduisant à la bifurcation de Hopf ou de Turing dans le système (2.2.4). Le coefficient de diffusion varie entre 100 et 130. Les autres paramètres sont fixés comme suit :e1 = 0.3,e2 = 0.2,a= 1.1.

a= 1.1, e

1

= 0.3, e

2

= 0.2, b = 0.06. (2.5.79)

La figure 2.6 est un exemple d’instabilité de Turing. Les paramètres sont fixés comme dans

(2.5.79) et δ = 120.1. La figure (2.7) est un exemple d’instabilité de Turing et de Hopf.

On observe au dessus de la valeur critique de la courbe 2.5 (b) que les motifs présentent

une certaine symétrie spatiale. Avec un autre espace de paramètre, on observe seulement

l’instabilité de Hopf. La figure 2.8 en est l’exemple. Les paramètres sont fixés comme suit,

2.5 Dynamiques complexes et la formation de patterns spatio-temporels 47

Fig. 2.6

– Labyrinthe est stable pour le système (2.2.4) dans le domaine de parmètre où on a que l’instabilité de Turing. Les autre paramètres sont donnés dans (2.5.79) etδ = 120.1.

Fig. 2.7

– Labyrinthe est stable pour le système (2.2.4) dans le domaine de parmètre où on a que l’instabilité de Turing et de Hopf. Les autres paramètres sont donnés dans (2.5.79) etδ = 120.1.

Fig. 2.8

– Instabilité de Hopf sous les paramètres suivant,e₁ = 0.3, e₂ = 0.1,b= 0.1781, a= 1.1,

Dans le document Complexité de dynamiques de modèles proie-prédateur avec diffusion et applications (Page 63-69)