Chaos spatio-temporel

Les systèmes biologiques sont en général hors d’état d’équilibre. Les systèmes

s’auto-organisent en brisant la symétrie des instabilités. Ainsi des structures telles que les

spiral waves, les black eyesou encore d’autres motifs spatiaux sont observés dans un large

éventail de systèmes chimiques et biologiques, voir [62, 64, 70, 98, 100] pour plus de détails.

Ces motifs sont les fluctuations de la distribution spatiale et sont une découverte majeure

de ces deux dernières décennies. Cependant un défi sera de comprendre et de prédire leur

formation sachant qu’ils sont étroitement liés aux interactions non linéaires et complexes du

système étudié. On observe une distribution spatiale de type onde spiralepour le système

(2.2.4), voir figure 2.9. Le chaos spatio-temporel est un autre type de motif dans lequel les

densités changent de façon apériodique en espace et en temps, comme dans la turbulence.

Ces structures et ces phénomènes spatio-temporels sont émergents et résultent de causes

très simples, dans le sens où ce sont des motifs macroscopiques obtenus à partir d’un simple

couplage d’interaction et la régle de diffusion locale. En d’autres termes, ils ne sont pas

programmés dans les équations, voir [11, 47, 69, 70].

Dans ce sous-paragraphe, nous étudions le problème (2.2.4) dans le domaineΩ = [0, 900]×

[0,900] de R

²

, le flux est nul sur le bord de Ω. Nous nous intéressons aux structures

émergentes pour le système (2.2.4). Remarquons que si (u

∗

, v

∗

) est un équilibre instable

pour le système (2.2.3) alors il l’est aussi pour le système (2.2.4) dès que les deux espèces ont

le même coefficient de diffusion. Ainsi les paramètres sont fixés de telle sorte que (u

∗

, v

∗

)

est instable pour (2.2.3). On suppose aussi que les deux espèces diffusent de la même

façon, c’est à dire δ = 1. La condition initiale est une légère perturbation au voisinage de

Fig.2.9

– La distribution spatiale de proie et de prédateur àt= 1200correspond à un motif de type onde spatiale. La condition initiale est donnée dans (2.5.81). Les paramètres sontb= 0.042, e₂ = 0.2, les autres sont donnés dans (2.5.82).

l’équilibre (u

^∗

, v

^∗

) ayant une faible disparité de la répartition spatiale. Elle s’écrit comme

suit,

u(0, x, y) =u

^∗

−2 10

⁻⁷

(x−0.1y−231)(x−0.1y−632) (2.5.80)

v(0, x, y) =v

^∗

−3 10

⁻⁵

(x−450)−1.2 10

⁻⁴

(y−150) (2.5.81)

Les valeurs des paramètres sont les suivantes :

2.5 Dynamiques complexes et la formation de patterns spatio-temporels 49

Nous observons l’évolution suivante de la distribution spatiale des espèces. Les figures de

gauche représentent la distribution spatiale de la population de proie et celles de droite

concernent la population des prédateurs. La couleur bleu correspond à une faible densité

de population et la rouge à une forte densité.

Distribution spatiale des espèces à t= 100

Distribution spatiale des espèces à t= 200

t= 500

t= 610

2.5 Dynamiques complexes et la formation de patterns spatio-temporels 51

t= 1000

t= 1200

t= 1800

t= 2000

2.5 Dynamiques complexes et la formation de patterns spatio-temporels 53

t= 3000

t= 4000

t= 8000

Nous observons dans un premier temps deux ondes en forme de spirale qui se forment.

Puis ces spirales s’éclatent conduisant à une distribution spatiale apériodique sur une partie

du domaine. Ensuite cette appériodicité se propage sur tout le domaine et demeure dans le

temps. On obtient alors du chaos spatio-temporel car l’écart moyen entre l’équilibre(u

∗

, v

∗

)

et la solution de (2.2.4) vérifiant (2.5.81) et (2.5.82), temps vers l’infini.

Chapitre 3

Analyse qualitative de la dynamique

d’une chaîne alimentaire de trois espèces

3.1 Introduction

Une des méthodes généralement utilisée en biologie ou en écologie dans le processus de

conservation et du contrôle de la dynamique des espèces, est l’introduction d’une population

supplémentaire appelée “super-prédateur”. Cependant l’impacte de cette introduction doit,

au préalable, faire l’objet d’une étude afin de réduire au minimum les effets indésirables.

La modélisation mathématique apporte une solution raisonnable à cette étape. Alors, nous

considérons un modèle de réaction-diffusion avec trois espèces. Le terme de diffusion décrit

la capacité à mouvoir dans un domaineΩdeR

ⁿ

,n = 1,2,3, que nous supposons fermé. Le

flux au bord de ce domaine est supposé nul. La première population notéeU

1

est l’unique

source de nourriture de la deuxième U

₂

. De même le prédateur U

₂

(espèce intermédiaire )

est l’unique proie du super-prédateurU

3

. Les interactions locales entre les espèces U

1

etU

2

sont modélisées par un schéma de type Lotka-Volterra, alors que celles entre U

2

etU

3

sont

de type Holling type II. En absence de diffusion le modèle s’écrit de la façon suivante :







































dU

₁

dT ⁼

a

0

−b

0

U

1

− ^v

⁰

^U

²

U

1

+d

0

U

1

, T >0,

dU

2

dT ⁼

−a

1

+ ^v

¹

^U

¹

U

1

+d

0

− ^v

²

^U

³

U

2

+d

2

U

2

, T >0,

dU

3

dT ⁼

c

3

− ^v

³

^U

³

U

2

+d

3

U

3

, T >0,

U

1

(0) = U

01

≥0, U

2

(0) =U

02

≥0, U

3

(0) =U

03

≥0

(3.1.1)

U

1

, U

2

, U

3

représentent les quantités de chaque espèce au temps T. a

0

, b

0

, v

0

, d

0

, a

1

, v

1

,

v

2

,d

2

, c

3

, v

3

et d

3

sont les paramètres du modèle supposés strictement positifs.

Ces paramètres sont définis de la manière suivante :

a

0

est le taux de croissance de la proie U

1

, b

0

mesure la mortalité due à la compétition

entre les individus de l’espèce U

1

, v

0

est la mesure maximale que le taux de réduction

56 trois espèces

par individu U

1

peut atteindre, d

0

mesure la protection dont la proie U

1

et le prédateur

intermédiaireU

2

bénéficient grâce à l’environnement, a

1

représente le taux de mortalité de

U

₂

en l’absence de U

₁

, v

₁

est la valeur maximale que le taux de réduction par l’individu

U

1

peut atteindre, v

2

est la valeur maximale que le taux de réduction par l’individu U

2

peut atteindre, v

3

est la valeur maximale que le taux de réduction par l’individu U

3

peut

atteindre,d

₂

est la valeur de U

₂

pour laquelle le taux d’élimination par individuU

₂

devient

v

2

2,c

3

décrit le taux de croissance deU

3

, en supposant qu’il y ait le même nombre de mâles

et de femelles, et d

3

représente la perte résiduelle, causée par une forte rareté de la proie

U

2

des individus de l’espèce U

3

. En prenant en compte la diffusion des populations dans le

domaine le modèle s’écrit :















































∂U

1

∂T ⁼

a

0

−b

0

U

1

− ^v

⁰

^U

²

U

1

+d

0

U

1

+δ

1

∆U

1

,

∂U

₂

∂T ⁼

−a

1

+ ^v

¹

^U

¹

U

1

+d

0

− ^v

²

^U

³

U

2

+d

2

U

2

+δ

2

∆U

2

,

∂U

3

∂T ⁼

c

3

− ^v

³

^U

³

U

2

+d

3

U

3

+δ

3

∆U

3

.

(3.1.2)

Nous étudions l’existence et la permanence des solutions. Nous établissons la condition

d’existence et de non-existence d’équilibres et en dernier paragraphe nous étudions

l’émer-gence de motifs spatiaux et spatio-temporels.

Dans le document Complexité de dynamiques de modèles proie-prédateur avec diffusion et applications (Page 69-77)