Nous nous proposons de d´emontrer dans ce paragraphe le r´esultat fondamental selon lequel deux mesures admettant la mˆeme transform´ee de Fourier sont ´egales, ainsi que quelques corollaires qui seront ´enonc´es plus loin. Nous allons commencer par un certain nombre de r´esultats auxiliaires. D’abord, soit la fonction
( 7 ) g(x) = √1
2πe−x2/2.
Lemme 3 La fonction g est la densit´e d’une probabilit´e sur IRd, et sa transform´ee de Fourier est g(u) =ˆ e−2π2u2.
Preuve. a) La fonction gest positive, et bor´elienne puisque continue. Pour montrer que c’est la densit´e d’une probabilit´e il suffit donc de prouver queI =R g(x)dxvaut 1. D’apr`es la proposition 4-20 on a
h est clairement unC1-diff´eomorphisme de ∆ dansD, dont le jacobien vautDh(ρ, θ) =ρ.
Donc en appliquant le th´eor`eme 4-21 avec h, ∆ et D et la fonctionf(x, y) =e−(x2+y2)/2,
(la derni`ere ´egalit´e vient du th´eor`eme de Fubini, la fonction qu’on int`egre ´etant mesurable et positive). En faisant le changement de variable z =ρ2/2 on voit que R0∞e−ρ2/2ρdρ = le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral (proposition 3-14), d’apr`es lequel ˆg est d´erivable, de d´eriv´ee donn´ee par
En faisant une int´egration par parties avec xe−x2/2 (dont une primitive est −e−x2/2) et e−2iπux (dont la d´eriv´ee en xest −2iπue−2iπux), on obtient
ˆ
g0(u) = −i√
2πe−2iπux−x2/2|+−∞∞−u(2π)3/2 Z
e−2iπux−x2/2dx = −4π2uˆg(u).
La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle `a variables s´eparables f0(u) =−4π2uf(u)
´etant f(u) = Ce−2π2u2, et comme on a ˆg(0) = Rg(x)dx = 1 d’apr`es (a), on voit que n´ecessairement ˆg(u) =e−2π2u2. 2
Ensuite, pour toutσ >0 on consid`ere la fonction
( 8 ) gσ(u) = 1
σ√
2πe−x2/2σ2 = σ1g(x/σ)
(donc g=g1). Il est facile par un changement de variable de v´erifier quegσ est encore la desnit´e d’une probabilit´e surIR, et d’apr`es (6) sa transform´ee de Fourier est
( 9 ) gˆσ(u) = e−2π2σ2u2.
Enfin pour σ > 0 on d´efinit la fonction suivante sur IRd, en utilisant la notation x= (x1, . . . , xd):
( 10 ) gd,σ(x) = Qdj=1gσ(xj) = 1
(σ√
2π)de−|x|2/2σ2. D’apr`es la proposition 4-20 et (9) sa transform´ee de Fourier est ( 11 ) ˆgd,σ(u) = Qdj=1gˆσ(uj) = e−2π2σ2|u|2. Lemme 4 Soit µune mesure finie sur (IRd,Rd). On a:
a) (gd,σ ? µ)(x) = RIRdµ(u)eˆ 2iπhu,xi−2π2σ2|u|2du.
b) Pour toute fonction continue born´ee h sur IRd, l’int´egrale R hdµ est la limite de R
IRd(gd,σ ? µ)(x)h(x)dx lorsque σ→0.
Preuve. a) Remarquons quegd,σ(x) = 1
(σ√
2π)dˆgd,1/2πσ(−x) par (10) et (11). Donc d’apr`es 4-(38) et (2) et le th´eor`eme de Fubini, il vient
(gd,σ? µ)(x) = R gd,σ(x−y)µ(dy) = 1
(σ√ 2π)d
R ˆgd,1/2πσ(y−x)µ(dy)
= 1
(σ√ 2π)d
R µ(dy)R gd,1/2πσ(z)eihy−x,zidz
= R e−ihx,zi−2π2σ2|z|2/2dzR eihy,ziµ(dy), d’o`u le r´esultat.
b) SoitIσ =R(gd,σ? µ)(x)h(x)dx. On a la suite d’´egalit´es:
Iσ = R h(x)dx(R gd,σ(x−y)µ(dy)) = R µ(dy) (Rh(x)gd,σ(x−y)dx) (par Fubini)
= R µ(dy) (R h(y+z)gd,σ(z)dz) (changement de variablez=x−y)
= R µ(dy)R h(y+z)σ1dgd,1(z/σ)dz (puisque gd,σ(z) = σ1dgd,1(z/σ))
= R µ(dy) (R h(y+uσ)gd,1(u)du) (changement de variable u=z/σ).
Posons alors kσ(y) = R h(y+uσ)gd,1(u)du, et soit C une constante telle que |h(x)| ≤ C pour tout x. On a |h(u+uσ)gd,1(u)| ≤ Cgd,1(u), et d’apr`es 4-(24) et le fait que g est d’int´egrale 1 par rapport `a la mesure de Lebesgue, on a RIRdgd,1(u)du= 1 ´egalement, de sorte que |kσ(y)| ≤ C. Commeh est continue, on ah(y+uσ)→ h(y) quand σ → 0. On peut alors appliquer une premi`ere fois le th´eor`eme de Lebesgue pour obtenir que kσ(y) converge quend σ → 0 vers R h(y)gd,1(u)du = h(y). En appliquant une seconde fois le mˆeme th´eor`eme, on obtient que R kσ(y)µ(dy)→R h(y)µ(dy), et le r´esultat est prouv´e. 2 Nous arrivons maintenant au th´eor`eme fondamentald’injectivit´ede la transform´ee de Fourier:
Th´eor`eme 5 a) La transform´ee de Fourier µˆ caract´erise la mesure finie µ (i.e. deux mesures finies ayant mˆeme transform´ee de Fourier sont ´egales).
b) La transform´ee de Fourier fˆcaract´erise la fonction complexe Lebesgue-int´egrablef
`
a un ensemble λd-n´egligeable pr`es (i.e. deux fonctions int´egrables ayant mˆeme transform´ee de Fourier sont ´egales λd-presque partout).
Preuve. a) Il suffit d’appliquer le lemme 4: si on connait ˆµ, on connait aussigd,σ?µd’apr`es le lemme 4-(a), donc aussi R hdµpour toute fonction continue born´ee h d’apr`es le lemme 4-(b): il reste `a montrer que si µ et µ0 sont deux mesures finies telles que R hdµ=R hdµ0 pour toute fonction continue born´eeh, on aµ=µ0. Pour tout rectangleA=Qdj=1]−∞, aj[ il est facile de construire une suite (hn)n≥1 de fonctions continues telles que 0≤hn≤1 et que limnhn= 1A. D’apr`es le th´eor`eme de Lebesgue on aµ(A) = limnR hndµ, et de mˆeme pour µ0. Par suite µ(A) =µ0(A) pour tout rectangle comme ci-dessus, et on sait que cela entraine µ=µ0.
b) Si on remplaceµpar une fonction positive Lebesgue-int´egrablef, le lemme pr´ec´edent reste encore valide (puisque cela revient `a prendre pourµla mesuref•λd). Par lin´earit´e on remarque alors que le lemme reste aussi valide pourµremplac´e par une fonction complexe int´egrable f.
Deux fonctions complexes f et f0, Lebesgue-int´egrable, ayant mˆeme transform´ee de Fourier v´erifient doncRAf(x)dx=RAf0(x)dxpour tout rectangleA=Qdj=1]− ∞, aj], par le mˆeme argument que ci-dessus: le lemme 5-30-(b) (appliqu´e s´epar´ement pour les parties r´eelles et imaginaires def et f0) permet alors de conclure. 2
On peut ˆetre plus pr´ecis: en combinant les deux assertions du lemme 4 on voit que si h est une fonction continue born´ee, on a:
( 12 ) R hdµ = limσ↓0Rh(x)dxR µ(u)eˆ 2iπhu,xi−2π2σ2|u|2du,
ce qui est une formule d’inversiondes transform´ee de Fourier des mesures finies. Pour les fonctions, on peut faire mieux:
Th´eor`eme 6 a) Si µest une mesure finie dont la transform´ee de Fourierµˆ est Lebesgue-int´egrable, elle admet une densit´e continue et born´eegpar rapport `a la mesure de Lebesgue, donn´ee par la formule
( 13) g(x) = Re2iπhu,xiµ(u)duˆ
b) Si f est une fonction complexe Lebesgue-int´egrable, dont la transform´ee de Fourier est ´egalement Lebesgue-int´egrable, on a
( 14) f(x) = Re2iπhu,xifˆ(u)du pourλd-presque toutx.
Vu le th´eor`eme 5(b), dans (b) ci-dessus on ne peut pas faire mieux que l’´egalit´eλd-p.p.;
d’ailleurs, le membre de droite de (14) est continu born´e, ce qui n’est pas n´ecessairement le cas de f.
Preuve. a) Soitg d´efinie par (13). L’int´egrand du membre de droite est continu enx et major´e en module par la fonction int´egrable |µˆ|, donc g est born´ee, et continue grˆace `a la proposition 3-14. Par ailleurs, si h est continue `a support compact dans IRd, on peut
´echanger limite et int´egrales dans le membre de droite de (12) (th´eor`eme de Lebesgue).
On obtient alorsR hdµ=Rh(x)g(x)dxpour toute fonctionhcontinue `a support compact.
Soit maintenant C la classe des rectangles A= Qdj=1]aj, bj] avec −∞< aj < bj <∞. Cette classe est stable par intersection, contient une suite (En)n≥1 croissant vers IRd, et engendre la tribu Rd. De plus si A ∈ C il est facile de construire des fonctions hn, h, continues `a support compact, telles que hn → 1A et 0 ≤ hn ≤ h. On d´eduit alors de R hndµ=R hn(x)g(x)dxet du th´eor`eme de Lebesgue que µ(A) =RAg(x)dx.
Le lemme 5-30-(b) appliqu´e aux fonctions 0 etg0 = partie imaginaire deg(qui v´erifie R
Ag0(x)dx = 0 pour tout A ∈ C d’apr`es ce qui pr´ec`ede) implique g0 = 0 λd-p.p., et la continuit´e de g(donc de g0) entraine qu’en faitg0 = 0, de sorte queg est `a valeurs r´eelles.
Soit alors les mesures ν+ = g+ •λd et ν− = g− •λd, qui v´erifient ν+(A) < ∞ et ν−(A) < ∞ pour A ∈ C. On a donc en fait µ(A) +ν−(A) = ν+(A) pour tout A ∈ C, et le th´eor`eme 4-1 implique µ+ν− = ν+. Si alors N ∈ Rd est λd-n´egligeable, il vient ν+(N) = ν−(N) = 0, doncµ(N) = 0: par suite µ est absolument continue par rapport `a λd, et d’apr`es le th´eor`eme de Radon-Nikodym il existe une fonction k positive Lebesgue-int´egrable, telle queµ=k•λd. SiEn=]−n, n]d les fonctionsk1En etg1En sont Lebesgue-int´egrables et v´erifient RA(k1En)(x)dx= RA∩E
nk(x)dx = RA∩E
ng(x)dx = RA(g1En)(x)dx pour tout A∈ C, donc le lemme 5-30-(b) entraine k1En =g1En λd-p.p. pour tout n. On a donc aussi k =g λd-p.p., ce qui ach`eve la d´emonstration de (a).
b) Lorsquef ≥0 le r´esultat d´ecoule de (a) appliqu´e `a la mesureµ=f•λd (puisqu’alors ˆ
µ = ˆf, et que si g est une densit´e de µ par rapport `a λd on a f = g λd-p.p. d’apr`es le lemme 5-30). On passe au cas g´en´eral en prenant les parties positives et n´egatives des parties r´eelle et imaginaire def. 2