Dans le cas suivant, nous allons étudier le comportement de l’interface entre deux fluides non miscibles lors de l’injection d’une phase dans une autre.
Initialement, la configuration est remplie d’air à une vitesse d’entrée de 𝑗(𝑎𝑖𝑟/𝑎𝑡𝑚) = 0.08 𝑚/𝑠. On injectera de l’eau à une vitesse de 𝑗(𝑒𝑎𝑢) = 0.05 𝑚/𝑠 et observera le phénomène et l’évolution de l’interface entre les deux fluides.
On obtient la distribution des vitesses comme indiquée dans la figure (5.20).
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Les figures 5.21 (a,b) , montrent la distribution des vecteurs vitesse dans les directions X et Y respectivement. On remarque le fait de l’existence de valeurs négatives de ses vecteurs, les valeurs négatives indiquent le sens de l’écoulement, un sens qui est contraire au sens positif défini initialement.
(a)
(b)
Figure 5.21: a-Distribution vectorielle des vitesses suivant les X /b- Distribution vectorielles des vitesses suivant les Y
Dans le cas de la pression, on obtient la figure (5.22), qui représente la distribution des pressions dans toute la configuration. On remarque l’existence de zone de dépression à l’entrée et puis une augmentation progressive de la pression pour atteindre une valeur maximale à la sortie.
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Chapitre 6
Conclusions et perspectives
Dans cette thèse, nous avons développé un programme complet basé sur des outils physiques, mathématiques et numériques robustes pour le traitement des écoulements diphasiques à interfaces. Tout d’abord, l’approche physique a été développée en détail dans les premiers chapitres avec un complément de preuves mathématiques détaillées, des lois physiques qui régissent ces écoulements, en annexe. Ensuite une discrétisation de l’espace discontinue à l’aide de la méthode XFEM pour trouver les inconnues au niveau de l’interface de séparation mobile entre les deux fluides. Ces variables sont soumises à des conditions de saut au niveau de l’interface. Ce saut est dû à la différence dans la nature physique des fluides, qui fait qu’il y a des discontinuités sur les variables. Pour traiter les sauts de ces variables au niveau de l’interface avec une grande précision, la méthode Nitsche a été développée. Le suivi de l’interface au cours du temps et la capture des topologies variables des interfaces a été fait à l’aide de la méthode ¨Level-set, pour avoir des interfaces parfaitement lisses, nous avions utilisé l’opérateur Laplace Beltrami pour exprimer la courbure des interfaces avec une grande précision. Ce terme de courbure se trouve dans le terme de force de tension superficielle, modèle qui a été développé en détail lors de la construction du modèle physique dans les premiers chapitres de ce document.
L’implémentation des modèles développés dans cette thèse a été faite avec la plateforme de calcul FEniCS, qui est une plateforme de calcul FEM basée sur le langage C++ et Python. Des programmes de calculs ont été développés dans plusieurs cas différents, que ce soit via des tests de la méthode Nitsche avec différentes conditions aux parois ou des tests de discontinuités. Une logique de progression a été respectée dans le développement des codes de calculs, pour finalement compiler un code complet qui traite les écoulements diphasiques avec la méthode XFEM pour la discrétisation, Nitsche pour les conditions de saut au niveau de l’interface de séparation et aussi aux limites des parois. Laplace Beltrami pour le
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traitement des courbures et ¨Level-set¨ pour suivre l’évolution des interfaces au cours du temps. Tous ces éléments constituent une contribution dans le code de calcul FEniCS. On tient à préciser que FEniCS est basé sur la méthode FEM, notre développement d’un code XFEM représente une extension de ce code de calcul open source et une grande contribution. Le code de calcul final obtenu, a démontré sa robustesse et son habileté à prendre en main des situations très compliquées dans le cas des écoulements diphasiques à interfaces. Des validations qualitatives avec des résultats expérimentaux et numériques ont été faites. Des tests dans le cas de l’effet Marangoni ont été faits au niveau de l’interface de séparation. Des tests de transitions entre les régimes d’écoulement ont été faits aussi et ont donnés de très bons résultats et démontrer la fiabilité des codes développés dans cette thèse.
De manière générale, nous avons atteint l’objectif de développer un modèle physique, mathématique et numérique des plus complets avec des outils robustes capable de prendre en compte différentes situations rencontrées dans le cas des écoulements diphasiques.
Perspectives
Comme suite à ce travail, il y aura le développement d’un code de calcul à 3D avec les différents outils de modélisation utilisés dans notre travail à 2D.
Aussi comme perspective l’introduction de modèles de turbulences, pour pouvoir prendre en compte le cas des écoulements diphasiques avec une forte turbulence.
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Annexes
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Annexe A :
Équations mathématiques régissant les
interfaces entre deux fluides non
miscibles
Cette section a pour objectif le traitement analytique des différents termes et équations utilisés dans cette thèse. Les résultats obtenus après des développements mathématiques sont utilisés dans les différentes sections de la thèse.
Dans cette annexe, nous allons prouver en détail les équations mathématiques qui décrivent l’aspect physique des interfaces entre deux fluides non miscibles. La preuve détaillée de l’équation de Young-Laplace sera traitée avec deux approches physiques différentes. L’expression des forces qui sont dues à la présence de tension superficielle sera traitée en détail. L’expression mathématique des courbures des interfaces entre deux fluides non miscibles est traitée et le développement mathématique détaillé.