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Modélisation XFEM, Nitsche, Level-set et simulation sous FEniCS de la dynamique de deux fluides non miscibles

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Texte intégral

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Modélisation XFEM, Nitsche, Level-set et simulation

sous FEniCS de la dynamique de deux fluides non

miscibles

Thèse

RÉDA MEKHLOUF

Doctorat en génie civil

Philosophiæ Doctor (Ph.D.)

Québec, Canada

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Modélisation XFEM, Nitsche, Level-set et simulation

sous FEniCS de la dynamique de deux fluides non

miscibles

Thèse

RÉDA MEKHLOUF

Sous la direction de :

ABDELKADER BAGGAG, directeur de recherche

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iii

Résumé

À l’heure actuelle, les écoulements à deux fluides non miscibles jouent un rôle très important dans plusieurs domaines, que ça soit en science ou en ingénierie. Leur complexité est tellement élevée que les modèles actuels ne permettent de résoudre que des cas particuliers ou simplifiés avec un degré de précision qui demeurent souvent plutôt modeste. Une nouvelle approche numérique parait être une nécessité pour capturer la complexité physique du phénomène. Pour ce faire nous avons besoin d’outils robustes.

Au niveau de l’interface de séparation entre les deux fluides non miscibles, les variables physiques sont discontinues, ce qui pose un défi majeur dans la description des variables et des conditions aux limites à l’interface. Le fait que les densités et les viscosités de chaque fluide soient différentes de part et d’autre de l’interface donne naissance à des défauts et des impuretés dans le champ des vitesses, ce qu’on appelle une discontinuité faible. Pour sa part, l’existence de la force de tension superficielle au niveau de l’interface crée une discontinuité sur le champ de pression, ce qu’on appelle une discontinuité forte. Un autre grand problème se pose au niveau de l’étude numérique du problème, où les méthodes numériques classiques ont une précision assez limitée dans ce genre de situation.

L’objectif de ce travail est de fournir une étude complète de la dynamique de l’interface entre deux fluides non miscibles à l’aide d’outils mathématiques, physiques et numériques robustes.

D’abord, une étude analytique du problème a été faite où l’équation de Navier-Stokes et les conditions de saut sur les variables physiques au niveau de l’interface de séparation entre les fluides ont été prouvées en détail.

Pour traiter les discontinuités, nous avons discrétisé nos variables à l’aide de la méthode XFEM. Dû aux larges distorsions rencontrées dans ce genre d’écoulement, nous avons utilisé l’approche Eulérienne, pour corriger les oscillations des solutions dues aux choix du système de coordonnées nous avons utilisé les techniques de stabilisation SUPG/PSPG. Le traitement de la courbure des interfaces 𝜿 , a été fait à l’aide de l’opérateur Laplace Beltrami et le suivi d’interface à l’aide de la méthode ¨Level-set¨. Pour le traitement des conditions de saut au niveau de l’interface la méthode Nitsche est développée dans différents contextes. Après avoir développé un modèle physique et mathématique dans les premières parties de notre travail, nous avons fait une étude numérique à l’aide de la plateforme de calcul FEniCS, qui est une plateforme de développement en langage C++ avec une interface Python. Un code de calcul a été développé dans le cas des écoulements de deux fluides non miscibles

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iv

avec les modèles physiques et les outils mathématiques développés dans les sections précédentes.

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v

Abstract

XFEM, Nitsche, Level-set modelling and FEniCS simulation

of the dynamics of two phase flow

The two-phase flow problems have an important role in the multitude of domains in science and engineering. Their complexity is so high that the actual models can solve only particular or simplified cases with a certain degree of precision. A new approach is a necessity to understand the evolution of new ideas and the physical complexity in this kind of flow, to contribute to the study of this field. A good study requires solid and robust tools to have performing results and a maximum of efficacy.

At the interface of separation between the two immiscible fluids, the physical parameters are discontinuous, which gives us difficulties for the description of the physical variables at the interface and boundary conditions. The fact that the density and the viscosity are discontinuous at the interface creates kinks in the velocity, which represent a weak discontinuity. The existence of the surface tension at the interface create a discontinuity for the pressure field, it represents a strong discontinuity.

The main objective of this work is to make a complete study based on strong and robust physical, mathematical and numerical tools. A strong combination, capable of capturing the physical aspect of the interface between the two fluids with a very good precision.

Building such a robust, cost effective and accurate numerical model is challenging and requires lots of efforts and a multidisciplinary knowledge in mathematics, physics and computer science.

First, an analytical study was made where the one fluid model of the Navier-Stokes equation was proved from Newton’s laws and jump conditions at the interface was proved and detailed analytically.

To treat the problem of discontinuity, we used the XFEM method to discretize our discontinuous variables. Due to the large distortion encountered in this kind of fluid mechanic problems, we are going to use the Eulerian approach, and to correct the oscillation of solutions we will use the SUPG/PSPG stabilization technic.

The treatment of the interface curvature 𝜿, was done with the Laplace Beltrami operator and the interface tracking with the Level-set method. To treat the jump conditions with a very sharp precision we used the Nitsche’s method, developed in different cases.

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vi

After building a strong mathematical and physical model in the first parts of our work, we did a numerical study using the FEniCS computational platform, which is a platform of computational development based on C++ with a Python interface. A numerical code was developed in this study, in the case of two-phase flow problem, based on the previous mathematical and physical models detailed in previous sections.

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vii

Table des matières

Résumé ...iii

Abstract ... v

Table des matières ... vii

Liste des figures ...x

Liste des tableaux ... xiii

Remerciements ... xiv Chapitre 1 ... 1 Introduction ... 1 I-Introduction ... 1 II-Organisation de la thèse ... 4 Chapitre 2 ... 6 XFEM ... 6 I-Introduction ... 6

II-Revue de la littérature sur la méthode XFEM ... 6

II-A-Mécanique des fluides ... 6

II-B-Transition de phase ... 8

II-C-Problèmes de solidification ... 9

II-D-Problèmes thermique et thermomécanique ... 9

III-Lacunes de la recherche ... 10

IV-Objectifs de la recherche ... 11

V-Méthode des éléments finis étendus XFEM ... 13

V-1-Définition de la méthode XFEM ... 13

V-2-Méthodes d’enrichissements ... 14

VI-Bases de l’approximation XFEM ... 15

VII-Exemples d’applications ... 16

VIII-Exemples de discrétisation XFEM ... 22

VIII-1-Modélisation d’une barre élastique 1D avec une discontinuité forte ... 22

V-2-Modélisation d’une barre élastique avec une discontinuité faible ... 26

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viii

Modèle mathématique ... 32

I-Introduction ... 32

II-Équation de Navier –Stokes pour deux fluides non miscibles avec tension superficielle ... 33

III-Équation de conservation de la masse ... 38

III-1-Approche physique ... 38

III-2-Approche mécanique des milieux continus ... 43

IV-Équation régissant la physique de l’interface entre deux fluides non miscibles ... 45

V- Conditions de saut sur les grandeurs physiques au niveau de l’interface de séparation entre les fluides ... 53

Chapitre 4 ... 60

Méthodes numériques et stratégies de résolutions ... 60

I-Introduction ... 60

II-Modélisation numérique ... 61

II-1-Nature de l’interface ... 61

II-2-Choix du système de coordonnées ... 63

II-3-Techniques de stabilisation pour le champ de vitesse et de pression SUPG/PSPG. ... 64

II-4-Discrétisation temporelle des équations de Navier Stokes dans le cas des écoulements diphasiques ... 68

III-Opérateur Laplace Beltrami ... 72

III-1-Cas où le coefficient de tension superficielle est constant ... 74

III-2-Cas où le coefficient de tension superficielle est variable ... 76

IV- Méthode Nitsche ... 78

IV-1-Introduction ... 78

IV-2-Nitsche pour le traitement des conditions aux limites de type Dirichlet ... 78

IV-3-Nitsche pour le traitement des conditions de sauts au niveau de l’interface entre de deux domaines non miscibles ... 90

V-Méthode ¨Level-set¨ ... 98

V-1-Équation de transport ¨Level-set¨ ... 98

V-2-Formulation faible de l’équation ¨Level-set¨ ... 100

V-3-Processus de réinitialisation de la fonction ¨Level-set¨ ... 102

V-4-Discrétisation temporelle de l’équation de transport ¨Level-set¨ ... 103

(9)

ix

VI-Plateforme de calcul FEniCS ... 109

I-Introduction ... 109

II-Architecture de FEniCS ... 109

III-Composants principaux de FEniCS ... 110

IV-Interface utilisateur : ... 111

Chapitre 5 ... 114

Résultats numériques ... 114

I-Interface linéaire abrupt stationnaire ... 114

II-Exemple d’une interface dans le cas du problème de Stokes ... 119

III -Écoulements diphasiques ... 120

III-1- Validation ... 120

III-2-Étude de différents paramètres dans les écoulements à deux phases : ... 123

III-3-Transition entre deux régimes d’écoulements (stratifié/ondulé) ... 127

III-4-Effet Marangoni ... 129

III-5-Cas où le taux de remplissage de la phase la plus dense est très faible... 131

III-6- Injection d’une phase dans une autre ... 133

Chapitre 6 ... 136

Conclusions et perspectives ... 136

Annexe A : ... 139

Équations mathématiques régissant les interfaces entre deux fluides non miscibles ... 139

A-I-Loi de Young-Laplace ... 139

A-I-1 Aspect énergétique ... 140

A-I-2 Équilibre des forces ... 143

A-I-3-Remarques ... 145

A-II- Force due à la présence tension superficielle. ... 145

A-III-Expression de la courbure d’une surface de séparation entre deux milieux ... 150

Annexe B ... 158 Méthode Nitsche ... 158 Équation de Stokes ... 158 Annexe C ... 163 Programmes FEniCS ... 163 Bibliographie ... 183

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x

Liste des figures

Figure 2.1 : Éléments et nœuds enrichis XFEM………...……….15

Figure 2.2 : Discontinuité forte, schémas XFEM et FEM……….23

Figure 2.3 : Discontinuité faible, schémas XFEM et FEM………28

Figure 3.1 : Domaines contenant deux fluides de propriétés physiques différentes………...33

Figure 3.2 : Union des deux domaines fluides à travers une interface...………...35

Figure 3.3 : Volume de contrôle à deux phases non miscibles avec interface de séparation.39 Figure 3.4 : Interface de séparation entre deux fluides non miscibles………31

Figure 3.5 : Interface symétrique entre deux fluides non miscibles………..43

Figure 3.6 : Bilan sur une portion d’une interface de séparation entre deux fluides non miscibles………46

Figure 4.1 : Interface à diffusion……..……….62

Figure 4.2 : Interface abrupte……….62

Figure 4.3 : Configuration entre deux fluides non miscibles……….71

La figure 4.4 : Variation de log(e) en fonction de log(h)………..83

Figure 4.5 : Variation de log(h) en fonction de log(e)………...83

Figure 4.6 : Variation de log(e)en fonction de log(h) pour différentes valeurs de 𝜆∂Ω…….84

Figure 4.7 :(a) Représentation de la vitesse au milieu du domaine, (b) Évolution de la pression dans le domaine………..87

(11)

xi

Figure 4.9: Distribution des pressions dans le domaine………87

Figure 4.10 : Distribution des vitesses dans le cas d’absence de glissement………89

Figure 4.11 : Distribution des vitesses dans une section verticale ………...90

Figure 4.12 : Distribution de la pression dans le centre de la géométrie………90

Figure 4.13 : Domaine bi matériel ………..………..91

Figure 4.14 : Deux fluides non miscibles avec une interface………96

Figure 4.15 : Séparation d’un plan dans ℝ2 en différents domaines Ω+(𝑡) et Ω(𝑡) avec un contour Γ(𝑡) de la fonction ¨Level-set¨………98

Figure 4.16 : Schéma de la plateforme de calcul FEniCS utilisant les différents composants du projet FEniCS (Logg, A et al 2012, The FEniCS book)………….109

Figure 4.17: Architecture FEniCS (Logg et al.2009)………..111

Figure 4.18 :Schéma d’assemblage des différents composant de FEniCS………..113

Figure 5.1: Domaine bi matériel en 2D………115

Figure 5.2 : Saut sur la pression à 1D………..116

Figure 5.3 : Cas stationnaire avec une interface droite, saut sur la pression P en x=0.5….116 Figure 5.4 : Représentation de la pression à 1D, dans le cas d’une discontinuité forte et faible………...118

Figure 5.5 : Représentation de la discontinuité faible et forte de la pression en 2D………118

Figure 5.6 : Taux de convergence pour la pression et la vitesse ……….120

Figure 5.7 : Cartographie des régimes d’écoulement selon Mandhan et al. 1974, basée sur des visualisations expérimentales………...121

Figure 5.8 : Distribution des phases……….124

Figure 5.9: Distribution des vitesses au niveau de l’interface entre les deux fluides...125

Figures 5.10 (a,b) : Vecteurs vitesses dans chaque phase pour les deux fluides………….126

(12)

xii

Figure 5.12 :Saut sur la variable pression au niveau de l’interface entre les deux fluides....127

Figure 5.13 : Transition d’un écoulement stratifié vers un écoulement ondulé………...128

Figure 5.14 : Distribution des vitesses au niveau de l’interface entre deux fluides (Écoulement ondulé) ………...129

Figure 5.15: Déplacement de fluide dû à l’effet Marangoni au niveau de l’interface…...130

Figure 5.16 : Distribution des phases dans le cas de faible taux de remplissage………….131

Figure 5.17 : Distribution des vitesses dans le cas de faible taux de remplissage………..132

Figure 5.18 : Distribution du module de vecteur vitesse……….…...132

Figure 5.19 : a-Distribution des vitesses suivant X/ b- Distribution des vitesses suivant Y..133

Figure 5.20 : Distribution des vitesses dans le cas d’injection ………133

Figure 5.21 : a-Distribution vectorielle des vitesses suivant les X /b- Distribution vectorielle des vitesses suivant Y ………..….134

Figure 5.22 : Distribution des pressions dans la configuration ………..135

Figure A.1 : Variation de l’aire d’une surface lors d’un déplacement………140

Figure A.2 : Illustration d’une interface en coordonnées polaires………..143

Figure A.3 : Déformation d’une interface lors d’un déplacement infinitésimal δl………..146

Figure A.4 : Déplacement d’une surface paramétrée……….148

Figure A.5: Déplacement normal infinitésimal d’une interface……….150

Figure A.6 : Divergence d’une surface centrée dans un repère ……….154

Figure B.1 : Variation de log(h) et log(e) en fonction de N ……….161

Figure B.2 : Variation de Log(h) et Log(e) pour différents paramètres de stabilisation 𝛽………...161

(13)

xiii

Liste des tableaux

Tableau 3.1 : Conditions de saut au niveau de l’interface………...………...59 Tableau 4.1 :Valeur de h, l’erreur et le taux pour différentes valeurs du nombre de

cellule N ……….……….81 Tableau 4.2 : Solution 𝑢ℎ pour différentes valeurs de N………82

Tableau 4.3 : Termes Nistche ajoutés à la forme linéaire et bilinéaire de l’équation de Navier-Stokes dans le cas d’existence de glissement………86 Tableau 4.4 : Termes Nistche ajoutés à la forme linéaire et bilinéaire de l’équation de

Navier-Stokes dans le cas d’absence de glissement………..…..89 Tableau 5.1 : Validation expérimentale de nos résultats numériques………..122 Tableau B.1: Valeurs de h de l’erreur et du taux de convergence en fonction du nombre de

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xiv

Remerciements

Je tiens à remercier tout d’abord mon directeur de thèse le Professeur Abdelkader Baggag pour avoir dirigé mes travaux de recherches, pour ses multiples conseils et ses efforts fournis pour mener à bien ces travaux.

Je tiens à remercier aussi le Professeur Adolfo Foriero, le Professeur Daniel Nadeau et le Professeur François Morency d’avoir accepté de prendre le temps de lire ce travail et de faire partie des membres du jury de cette thèse.

Je tiens à remercier mes parents, mon cher père et ma bien aimée mère de m’avoir encouragé tout au long de ma vie, il m’est difficile d’exprimer en quelques mots ma gratitude envers eux.

À mes frères et à ma petite sœur, qui ont toujours cru en moi et qui m’ont toujours soutenu. À ma future épouse, pour son soutien moral ininterrompu, ses encouragements et sa confiance.

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1

Chapitre 1

Introduction

I-Introduction

À l’heure actuelle, les écoulements à deux fluides non miscibles jouent un rôle très important. Autant dans le milieu scientifique, où ce genre d’écoulement comporte plein d’énigmes non résolues par les scientifiques que ce soit expérimentalement, analytiquement ou encore numériquement. Leur complexité est tellement élevée que les modèles actuels ne permettent de résoudre que des cas particuliers ou simplifiés.

Il n’existe toujours pas de modèles scientifiques capables de prédire les écoulements diphasiques et leurs transitions de façon continue entre les différentes topologies.

Dans le milieu industriel, on retrouve ce genre d’écoulement dans beaucoup de domaines notamment en industrie nucléaire, où les écoulements à deux fluides non miscibles jouent un rôle très important et capital, où la maitrise de ce genre d’écoulement est cruciale pour assurer une fiabilité et une sécurité pour ces centrales nucléaires. Sachant que les interfaces sont dues aux impuretés des matériaux utilisés et au changement de phase, due à la variation de température lors du processus. La présence de l’écoulement annulaire est très présente aussi. Dans le domaine aérospatial, ce genre d’écoulement est très important, la simulation numérique de cet écoulement à interface est soutenue par l'industrie spatiale de manière conséquente. Les écoulements à interfaces interviennent dans la dynamique du carburant, où l’inertie de ce milieu diphasique joue un rôle très important dans le pilotage des véhicules spatiaux, dans la stabilisation de l’appareil lors du changement de direction sous les effets de

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2

l’existence de ballottements de fluides, aussi lors du processus de lancement des véhicules spatiaux et de leur atterrissage.

Par ailleurs, en ingénierie pétrolière, où les écoulements multiphasiques sont permanents, une perte importante est subie lors de l’extraction de pétrole des gisements et du transport pétrolier due notamment à la mauvaise gestion de ce genre d’écoulement au niveau des pipelines. Des efforts considérables sont depuis longtemps fournis pour optimiser l'extraction de ces ressources énergétiques.

Parmi les méthodes récentes pour l’extraction du pétrole, celle qui consiste à injecter de l’eau ou du gaz pour pousser le pétrole vers le puits de production, grâce à laquelle le taux d’extraction peut atteindre les 40%. Durant ce processus, les interfaces de séparation jouent un rôle très important. L’exploitation des hydrocarbures est une autre source de motivation pour l'étude du comportement des interfaces entre deux fluides non miscibles.

L'un des exemples typiques associés aux interfaces est l'état gazeux de la matière concernant les problèmes de combustion : lorsqu'une flamme brûle, on observe l'interface entre les gaz frais et les gaz brûlés.

L’observation de la nature nous renseigne aussi sur la forte présence de ce genre d’écoulement dans plusieurs phénomènes naturels. Par exemple le déferlement des vagues, les échanges gazeux entre océan-atmosphère et pleins d’autres phénomènes de la nature. La compréhension de ce genre d’écoulement est essentielle pour appréhender ce genre de phénomènes environnementaux, qui peuvent avoir des conséquences considérables sur notre vie quotidienne.

Lors de la modélisation des écoulements entre deux fluides non miscibles, plusieurs difficultés et problèmes existent. En premier lieu, les larges distorsions des interfaces lors du mouvement des fluides. Pour la description cinématique du mouvement des fluides, on adoptera la formulation Eulérienne. Ou le maillage est fixe et le fluide est en mouvement par

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3

rapport au maillage. Le plus grand avantage de la formulation Eulérienne est qu’elle facilite le traitement des larges distorsions sans avoir besoin de remailler contrairement à l’approche Lagrangienne. L’inconvénient avec la formulation Eulérienne est le traitement du terme non linéaire dans l’équation de Navier-Stokes. Ce terme non linéaire convectif aura un traitement spécial comme on le verra dans le prochain point.

Les opérateurs convectifs dans l’équation de Navier-Stokes avec la formulation Eulérienne ne sont pas symétriques. Cependant comme conséquence la propriété d’approximation dans la norme d’énergie dans la formulation Galerkin FEM est perdue. Donc, la solution sera corrompue par des oscillations de la solution entre les nœuds, les erreurs seront encore plus grandes quand le processus de convection devient plus dominant. Dans notre étude on utilisera la technique de stabilisation ¨the Streamline-Upwind Petrov-Galerkin¨ (SUPG) pour stabiliser les oscillations en modifiant la forme faible de manière consistante (c’est-à-dire que les solutions modifiées de la forme faible seront identiques aux solutions de la formulation forte).

Durant l’évolution des interfaces de séparation entre deux fluides non miscibles, les topologies changent de façon continue dans le temps (coalescence et interpénétration des phases).On utilisera la méthode ¨Level-set¨ pour l’advection de la fonction ¨Level-set¨ pour qui la valeur zéro décrit la position de l’interface. La méthode ¨Level-set¨ est capable de prendre en compte le changement de topologie des interfaces sans avoir besoin de procédures supplémentaires (contrairement aux méthodes de suivi d’interfaces).

Dans le cas où le ratio entre les viscosités des deux fluides est très important, des gradients importants peuvent exister au voisinage de l’interface de séparation. Dans cette étude on emploiera une procédure de maillage adaptatif raffiné dans le cas d’interfaces mobiles pour capturer les gradients importants. Le maillage adaptatif raffiné est réalisé par l’intermédiaire de ¨hanging nodes¨ adaptés aux fonctions de forme de telle sorte qu’ils satisfassent la propriété de partition de l’unité ¨PUM¨. On notera aussi qu’en plus de capturer les gradients importants, le maillage adaptatif servira à améliorer la description et l’évolution de l’interface.

(18)

4

La présence de tension superficielle induit à l’existence d’un saut sur le champ de pression. La pression constitue une discontinuité forte au niveau de l’interface, donc nécessite un traitement avec la méthode XFEM.

L’évaluation de la courbure des interfaces demande des fonctions ¨Level-set¨ très lisses, donc pour la fonction ¨Level-set¨ Φ(𝑥), la courbure 𝜅 de l’interface peut être calculée de telle sorte que 𝜿 = ∆𝚽(𝒙) = 𝛁. 𝛁𝚽 c’est-à-dire le Laplacien de la fonction ¨Level-set¨. Il est simple de se rendre compte que si Φ(𝑥) n’est pas assez lisse, le calcul de la courbure 𝜅 ne sera pas exact. Dans cette étude pour améliorer le calcul de la courbure nous allons utiliser la technique de Laplace-Beltrami pour reformuler le terme de tension superficielle pour calculer 𝜅.

Pour le couplage pression-vitesse, nous allons utiliser la technique de stabilisation PSPG (Pressure-Stabilizing Petrov-Galerkin), qui utilise un ordre d’interpolation équivalent pour la pression et la vitesse.

Les fonctions d’enrichissement dépendent du temps. Dans le cas de XFEM la discrétisation temporelle est faite avant la discrétisation spatiale, ce qui n’est pas le cas dans FEM.

Dans le cas de conditions de sauts (conditions aux limites) au niveau de l’interface de séparation entre deux fluides non miscible, on utilisera la méthode Nitsche pour traiter ce genre de conditions dû à la grande précision qu’apporte cette méthode comparé au traitement classique des conditions aux limites de type Dirichlet.

II-Organisation de la thèse

Ce document est structuré en 6 chapitres. Le premier chapitre est une introduction aux écoulements diphasiques en citant les différents problèmes rencontrés dans ce domaine ainsi que la motivation de ce travail. Le chapitre 2 présentera la méthode des éléments finis étendus (XFEM), des définitions ainsi que des exemples analytiques sont traités pour présenter la méthode de façon claire et objective. Le chapitre 3 concerne la modélisation

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5

mathématique des écoulements diphasiques. Les équations de Navier Stokes pour deux fluides non miscibles ont été développées à partir de principes physiques et de loi de conservations, aussi les conditions de saut des variables au niveau de l’interface de séparation sont prouvées analytiquement et résumées dans un tableau à la fin de ce chapitre. Dans le chapitre 4, les méthodes numériques et mathématiques sont présentées, la stratégie et le plan de construction d’un modèle numérique sont discutés dans l’objectif d’avoir une modélisation numérique du phénomène étudié de manière complète et avec la meilleure précision possible, grâce à des outils performants. L’opérateur Laplace Beltrami, la méthode Nitsche ainsi que la méthode ¨Level-set¨ seront présentés en détail dans ce chapitre, la plateforme de calcul FEniCS sera présentée, son architecture, son environnement ainsi que les modules qui la constitue seront vus à la fin de ce chapitre.

On présentera nos résultats numériques dans le chapitre 5, dans lequel on commencera par une validation de nos résultats grâce à des comparaisons expérimentales et numériques de la littérature. On présentera aussi les résultats numériques obtenus avec notre modèle développé dans les sections précédentes du document.

On finira notre document avec le chapitre 6, dans lequel il y aura notre conclusion générale et des perspectives pour la suite du projet.

Ce document contient aussi des annexes à la fin dans lesquelles, des calculs analytiques ont été mis en détail, des exemples numériques ainsi que des codes de calculs développés sous FEniCS dans le cadre de cette thèse.

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6

Chapitre 2

XFEM

I-Introduction

Dans ce chapitre nous allons d’abord exposer une revue bibliographique de la méthode des éléments finis étendus (XFEM) dans différents domaines d’applications. Ensuite on définira la méthode XFEM, sa formulation, les outils mathématiques sur lesquels se base cette méthode particulière de discrétisation. On finira ce chapitre par des exemples simples de discrétisation à l’aide de la méthode XFEM.

II-Revue de la littérature sur la méthode XFEM

II-A-Mécanique des fluides

La méthode des éléments finis étendus (XFEM) intervient en mécanique des fluides dans le cas de présence d’interfaces (discontinuités), notamment les écoulements multiphasiques, les jets, les gouttes, les bulles et d’autres écoulements dus à des phénomènes physiques par exemple les instabilités capillaires.

La première implémentation de la méthode des éléments finis étendus (XFEM) dans le domaine de la mécanique des fluides a été faite par Wagner et al. (2001), pour la simulation de particules rigides dans un écoulement de Stokes, dans laquelle la surface des particules n’était pas conforme aux maillages FEM. Le maillage au niveau de l’interface de chaque particule a été construit à l’aide d’un enrichissement avec la méthode PUM.

Chessa and Belytschko (2003a) ont présenté pour la première fois la méthode des éléments finis étendus (XFEM) dans le contexte d’un écoulement diphasique axisymétrique avec

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présence de tension superficielle, dans laquelle l’interface se déplace de façon arbitraire, les discontinuités du gradient de vitesse à l’interface entre les deux fluides ont été modélisées par la méthode PUM. Plus tard Chessa and Belytschko (2003b) ont employé XFEM avec une discontinuité arbitraire des gradients pour les écoulements diphasiques, où l’interface a été suivie à l’aide des fonctions ¨Level-set¨ avec un maillage FEM mis à jour à l’aide de la loi de conservation stabilisée. Gross et Reusken (2007) ont enrichi la variable discontinue qui est la pression dans le cas d’un écoulement à deux fluides non miscibles incompressibles, dans lequel il existe une force de tension superficielle localisée au niveau de l’interface de séparation.

Dolbow et al. (2008) ont employé la méthode de reconstruction d’interface couplée avec la méthode XFEM dans le cas d’un problème multiphasique. Fries (2009) a présenté un modèle intrinsèque de XFEM pour la simulation de deux fluides incompressibles non miscibles où les discontinuités, faible pour la vitesse et forte pour la pression, ont été modélisées en utilisant la méthode PUM. Esser, Grande et Reusken (2010) ont combiné la méthode XFEM avec la méthode ¨Level-set¨ pour capturer le comportement de l’interface des gouttes, ils ont appliqué le modèle dans le cas 3D.

Abbas, Alizada et Fries (2010) proposent un modèle et un algorithme d’éléments finis étendus (XFEM) pour résoudre les problèmes diphasiques avec un gradient élevé au niveau de l’interface de séparation, pour obtenir une solution avec un degré élevé de précision dans le cas de présence de convection importante, sans techniques de stabilisation ni de maillage raffiné. Sauerland et Fries (2011) ont fait des travaux pour modéliser les écoulements diphasiques et à surfaces libres, où les discontinuités ont été capturées sans restriction de topologies pour les interfaces.

Cheng et Fries (2012) ont développé la h-version de XFEM dans le cas de deux fluides non miscibles, basé sur un maillage adaptatif à multiniveaux pour le raffinement réalisé à l’aide de nœuds suspendus (¨hanging nodes¨), dans le cas bi et tridimensionnel.

Liao et Zuang (2012) ont présenté une technique de stabilisation ¨Upwind Pressure Stabilizing Petrov-Galerkin¨ XFEM dans le cas des écoulements entre deux fluides non miscibles dans laquelle la projection du gradient de convection et du gradient de pression a été interpolée et construite avec des formules de stabilisation.

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Sauerland et Fries (2013) ont étudié les problèmes du mauvais conditionnement de XFEM dans le cas des écoulements diphasiques, en mettant l’accent sur la stabilisation de XFEM et l’application des solutions itératives.

Choi, Huldsen et Meijer (2010) ont développé une formulation XFEM dans le cas de la simulation directe des écoulements viscoélastiques avec des particules suspendues dans lequel un schéma ALE a été utilisé.

Court, Fournié et Lozinski (2014) ont proposé une méthode à domaines fictifs inspirée de la méthode XFEM pour étudier le problème de Stokes dans laquelle l’interface entre le fluide et la structure est localisée par la fonction ¨Level-set¨, les conditions de Dirichlet ont été prises en compte avec la méthode du Multiplicateur de Lagrange.

II-B-Transition de phase

Les problèmes de transition de phase concernent la modélisation des interfaces entre solide/liquide dans un phénomène de changement de phase. La transition de phase représente des interfaces matérielles dans lesquelles il existe des discontinuités sur soit la grandeur physique, soit le gradient de la grandeur.

Merl et Dolbow (2002) ont proposé une modélisation XFEM pour un problème thermique avec une source de chaleur mobile et des conditions aux limites avec un changement de phase.

Chessa, Smolinski et Belytschko (2002) ont proposé un enrichissement pour la méthode FEM pour la solution numérique d’un problème de changement de phase, où l’évolution du front de changement de phase a été capturée à l’aide de la méthode ¨Level-set¨.

Ji, Chopp et Dolbow (2002) ont présenté une méthode numérique XFEM hybride pour modéliser l’évolution d’une interface abrupte en utilisant un maillage fixe.

Ji et Dolbow (2004) ont utilisé le concept des interfaces abruptes en utilisant XFEM, dans un problème de changement de phase en utilisant un paramètre de pénalité pour les conditions aux limites de type Dirichlet essentiellement pour la vitesse au niveau de l’interface.

(23)

9

Zabaras, Ganapathysubramanian et Tan (2006) ont étudié la solidification dendrite d’un matériau pur en utilisant un couplage XFEM/¨Level-set¨, pour modéliser le problème thermique et une stabilisation basée sur la moyenne volumique pour modéliser le flux du fluide.

II-C-Problèmes de solidification

Dans les problèmes de solidifications, on remarque que les complications sont décrites comme un problème de changement de phase isotherme, où les matériaux sont décrits par leur chaleur latente, ce qui rajoute une difficulté supplémentaire pour décrire la dynamique du front de solidification qui est discontinu.

Uchibori et Ohshima(2012), ont présenté un modèle XFEM basé sur une technique XFEM à front mobile pour modéliser un problème de solidification pour capturer le gradient de température discontinu au niveau de l’interface solide-liquide. Zhou et Qi (2010) ont proposé un modèle XFEM sur le logiciel commercial ABAQUS pour simuler une interface discontinue entre un liquide et un solide où l’interface a été capturée par une fonction ¨Level-set¨. Duddu et al (2012) ont présenté un modèle XFEM/¨Level-Set¨ pour la description des interfaces abruptes, basé sur une description Eulérienne pour modéliser l’évolution d’un changement de phase dans un milieu élastique. Skrzypczak (2012) a proposé un modèle mathématique pour modéliser les interfaces abruptes dans le cas de la solidification des métaux. Ghoneim, Hunedy et Ojo (2013) ont proposé un travail basé sur un enrichissement XFEM/¨Level-set¨ pour étudier un problème de changement de phase où interviennent des particules en poudre. Cosimo, Fachinotti et Cardona (2013) ont présenté une formulation XFEM pour résoudre un problème de changement de phase isotherme où la modélisation du gradient de température discontinue au niveau de l’interface.

II-D-Problèmes thermique et thermomécanique

Les problèmes thermiques et thermomécaniques sont rencontrés dans plusieurs domaines, par exemple dans les chambres de combustion des véhicules spatiaux, dans les composants

(24)

10

des réacteurs nucléaires ainsi que dans de nombreux domaines d’ingénierie. Il existe plusieurs problèmes dans ces domaines d’ingénierie pour lesquels la source de chaleur est mobile.

Michlik et Berndt (2006) ont proposé la prédiction d’un modèle thermomécanique avec la méthode XFEM dans le cas des poutres à multicouches pour prédire l’efficacité de la conductivité et le calcul du module de Young. Duflot (2008) a employé un modèle XFEM pour l’analyse d’un problème thermoélastique stationnaire dans les structures fissurées, où les deux champs mécanique et thermique ont été enrichis avec XFEM dans l’objectif de décrire la température discontinue, le flux de chaleur, le déplacement et la force de traction. Fagerstrom et Larsson (2008) ont proposé une formulation d’un problème thermomécanique couplé, basé sur une discontinuité des champs thermique et mécanique. Zamani, Gracie et Eslami (2010) ont proposé la simulation d’un problème avec une fissure stationnaire sous la dynamique d’une charge thermomécanique pour modéliser les effets mécaniques et thermiques. Lee, Yang et Maute (2011), ont présenté une méthode XFEM pour modéliser la conduction de la chaleur à une échelle du micron pour des nanostructures matérielles à géométries compliquées .

Yvonnet et al (2011) ont proposé une méthode basée sur le couplage XFEM/ ¨Level-set¨ pour modéliser la résistance thermique de type Kapitza au niveau d’une interface arbitraire. Hosseini, Bayesteh et Mohammadi (2013) ont proposé une méthode base sur XFEM pour l’analyse des fractures isotopique et ortho tropique des matériaux sous l’effet de la chaleur stationnaire et des effets mécaniques

Yu et Gong (2013) ont employé XFEM pour la modélisation du champ de température dans un matériau hétérogène, ou le champ de température a été enrichi en incorporant la méthode ¨Level-set¨ et la méthode XFEM pour les éléments contenant les interfaces matérielles.

III-Lacunes de la recherche

Dans la revue de littérature précédente, nous pouvons constater que la plupart des études sur les écoulements non-miscibles à interfaces se limitent à l’utilisation de modèles existants.

(25)

11

Certaines études proposent d’améliorer une technique en particulier couvrant un aspect du problème, sans jamais s’attaquer de front aux lacunes globales des outils de modélisation dont la performance est plutôt modeste vu la complexité du problème étudié.

Les lacunes de la recherche basées sur la revue de littérature, peuvent se résumer aux points suivants :

- Limitation des méthodes dépendantes du maillage dans la description des interfaces mobiles.

- Temps de calcul très important lorsqu’une approche classique est utilisée.

- Utilisation de méthodes de reconstruction d’interfaces et perte d’informations dans le cas d’interfaces à grandes déformations.

- Limitation des méthodes classiques dans le cas du traitement des conditions aux limites de type Dirichlet.

- Continuité des fonctions d’approximations dans les méthodes classiques et discontinuités des grandeurs physiques au niveau de l’interface.

- Absence de prise en compte de la force de tension superficielle ainsi que de l’effet Marangoni au niveau de l’interface de séparation.

- Limitation de la géométrie classique et nécessité d’introduction d’outils de la géométrie différentielle.

- Prise en compte des conditions de saut sur les grandeurs physiques au niveau de l’interface.

- Développement d’une méthode avec maillage qui permet de capter l’interface de façon précise sans être trop couteuse en temps de calcul.

IV-Objectifs de la recherche

L’objectif scientifique de cette thèse est de fournir une étude complète basée sur des outils mathématiques, physiques et numériques robustes. Notre objectif n’est pas la bonification d’une méthode scientifique en particulier, mais bien plutôt, la combinaison de différentes méthodes afin d’améliorer l’étude des phénomènes d’interfaces mobiles entre fluides non miscibles.

(26)

12

Dans la section précédente, nous avons tout d’abord étudié les lacunes dont souffrent les études des interfaces entre fluides non miscibles. Cette étude a comme objectif le développement d’un modèle unifié complet pour la simulation des interfaces abruptes, mobiles, entre fluides non miscibles. Le but est de comprendre les différents aspects de ce phénomène en se basant sur des outils de différentes disciplines scientifiques pour pouvoir construire un modèle qui se rapproche le plus de la réalité.

Les paramètres physiques au niveau des interfaces de séparation sont discontinus, ce qui rend les méthodes numériques classiques très peu précises à cause de l’interpolation des grandeurs au niveau des maillages. Il existe des méthodes à maillages adaptatifs ou à remaillages temporels, qui donnent de bons résultats au détriment du temps de calcul qui devient rapidement très important. Notre objectif est de développer des méthodes numériques qui donnent de bons résultats à moindre cout de calcul et qui demeurent partiellement indépendantes du maillage.

Ce travail propose de prendre en compte la force de tension superficielle, qui joue un rôle très important au niveau de l’interface et qui est la principale responsable de la discontinuité de la pression au niveau de l’interface.

Amélioration des méthodes de traitement des conditions aux limites de types Dirichlet et l’investigation de méthodes plus robustes, qui nous permettent de respecter les conditions aux limites dans les équations lors de la formulation faible.

Ajouté aux objectifs précédents, nous visons l’amélioration de stratégies de résolutions des problèmes à interfaces et l’évaluation des conditions de sauts basées sur des principes physiques fondamentaux.

Le livrable final est un code de calcul gratuit et adaptable à différents cas d’études impliquant deux fluides non miscibles.

(27)

13

V-Méthode des éléments finis étendus XFEM

V-1-Définition de la méthode XFEM

La méthode des éléments finis étendus XFEM est une extension de la méthode des éléments finis classique FEM, dans le cas de présence de discontinuités dans l’espace étudié. La méthode des éléments finis classique est incapable de reproduire une discontinuité avec une bonne précision à cause du fait que les fonctions de forme sont construites avec une base polynomiale.

Dans un enrichissement XFEM, la discrétisation est faite d’abord en FEM classique loin de la discontinuité, ensuite l’enrichissement est introduit au niveau de la discontinuité à l’aide de nœuds suspendus ¨hanging nodes¨ (contrairement à FEM ou les nœuds sont fixes). Ces nœuds suspendus doivent satisfaire la propriété de la partition de l’unité PUM.

La méthode de partition de l’unité (PUM) a été introduite par Duart and Oden (1996), basée sur la définition des nuages de points (Clouds).

La méthode de partition de l’unité est une méthode qui est basée sur la propriété suivante : Soit 𝑓𝑖 un ensemble de fonctions possédant la propriété de partition de l’unité, la somme de

ces fonctions calculées sur des points 𝑥 ∈ Ω𝑃𝑈 est égale à l’unité

∑ 𝑓𝑖(𝑥) = 1 𝑁

𝑖=1

∀𝑥 ∈ Ω𝑃𝑈 (2.1) Si on définit une fonction arbitraire 𝜓(𝑥) définie sur Ω𝑃𝑈, la propriété précédente s’écrit

∑ 𝑓𝑖(𝑥)𝜓(𝑥𝑖) = 𝜓(𝑥) 𝑁

𝑖=1

(2.2)

Par exemple dans le cas de la méthode des éléments finis FEM, la propriété de la partition de l’unité est respectée par les fonctions de formes.

(28)

14

V-2-Méthodes d’enrichissements

Il existe deux manières d’enrichir l’approximation spatiale, soit enrichir la base vectorielle qui est un enrichissement intrinsèque ou bien enrichir l’approximation qui est un enrichissement extrinsèque.

V-2-a-Enrichissement intrinsèque

L’idée dans l’enrichissement intrinsèque est d’améliorer l’approximation de la grandeur 𝑢(𝑥) en incluant de nouvelles fonctions de bases pour capturer les discontinuités ou les singularités. Par exemple, si la base des fonctions d’enrichissement est définie comme suit 𝑁̂ (𝑋) = {𝑁̂𝑖 𝑖1, 𝑁̂𝑖2, … , 𝑁̂𝑖𝑀}

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑁̂ (𝑥)𝒂𝑖 ̅𝑖

𝑃 𝑖=1

= 𝑁̂𝑇(𝑥)𝒂̅ (2.3)

Avec 𝑁̂ (𝑥) est défini comme suit 𝑁𝑖 ̂ (𝑥) = 〈𝑁𝑖 𝑠𝑡𝑑(𝑥), 𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥)〉, ou 𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) représente la

base standard qui est approximée avec la base polynomiale FEM et 𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) la base enrichie, cette manière d’enrichir est appelée enrichissement intrinsèque.

V-2-b-Enrichissement extrinsèque

Dans l’enrichissement extrinsèque, la propriété de la partition de l’unité est employée pour introduire une base supplémentaire à la base standard, qui enrichira la partie discontinue lors de la discrétisation.

Contrairement à d’autres variantes de la méthode FEM classique, la méthode XFEM utilise un enrichissement extrinsèque local de l’approximation. Du fait que la discontinuité est généralement locale, donc l’enrichissement peut être confiné dans une région spécifique au lieu d’enrichir tout le domaine d’étude. Cette manière de faire nous permet d’avoir beaucoup

(29)

15

d’avantages en économisant le temps de calcul, la mémoire utilisée ainsi que d’autres avantages comme la robustesse et la précision de la méthode.

VI-Bases de l’approximation XFEM

La méthode XFEM est une technique employée pour décrire les discontinuités fortes et faibles sans prendre en compte la nature de leurs géométries. La puissance de la méthode XFEM par rapport aux autres méthodes réside dans le fait qu’elle peut prendre en compte l’évolution des discontinuités au court du temps avec une grande précision comparé aux méthodes à maillages adaptatifs.

Figure 2.1 Éléments et nœuds enrichis XFEM

Soit 𝑢(𝑥, 𝑡) une grandeur physique, la discrétisation de cette grandeur à l’aide de la méthode FEM est

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑁𝑖(𝑥)𝒖̅𝑖

ℵ 𝑖=1

(2.4)

Avec la méthode XFEM cette discrétisation devient

Éléments enrichis

(30)

16 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑁𝑖(𝑥)𝒖̅𝑖 ℵ 𝑖=1 + ∑ 𝑁𝑗(𝑥)(𝜓(𝑥))𝒂̅𝑗 ℳ 𝑗=1 (2.5)

Ou ∑ℳ𝑗=1𝑁𝑗(𝑥)(𝜓(𝑥))𝒂̅𝑗 représente le terme d’enrichissement XFEM.Ou 𝑵𝒋(𝒙) sont les

fonctions de formes enrichies, 𝒖̅ est le déplacement nodal standard, 𝒂𝑖 ̅ sont les degrés de 𝑗 liberté nodaux correspondant aux fonctions d’enrichissement, 𝜓(𝑥) sont les fonctions d’enrichissement, 𝑁𝑖(𝑥) les fonctions de formes standards.ℵ est l’ensemble des points nodaux du domaine, ℳ est l’ensemble des points nodaux localisés dans et autour de la discontinuité.

Dans l’enrichissement XFEM, deux approches sont employées de façon simultanée, d’abord la méthode de partition de l’unité PUM pour renforcer l’approximation en ajoutant des fonctions d’enrichissements à l’approximation standard. Ensuite l’enrichissement du champ de déplacement est appliqué pour corriger le déplacement basé sur l’approximation standard en incorporant le champ discontinu à travers la méthode PUM.

Nature de la discontinuité (Forte/ faible)

Les discontinuités dans les grandeurs physiques qui décrivent la nature de certains phénomènes peuvent être classées en deux grandes catégories ; soit une discontinuité forte où la variable physique est discontinue au niveau de l’interface et il existe un saut sur cette grandeur. Ce saut est égal à une constante ou est en fonction de variables physiques ou mathématiques.

La discontinuité est fable dans le cas où le gradient de la grandeur physique est discontinu et la grandeur physique est continue.

VII-Exemples d’applications

Dans la section suivante, nous allons traiter un exemple physique régi par une équation mathématique simple dans laquelle nous allons détailler chaque étape de traitement.

(31)

17

D’abord la formulation forte du problème, ensuite la formulation faible suivit de la discrétisation XFEM de chaque terme et on finira avec la forme matricielle du problème. Formulation faible et discrétisation XFEM

On considère un domaine physique bidimensionnel Ω dans lequel il existe une discontinuité Γ𝑑 . Cette discontinuité peut être forte ou faible.

L’équation stationnaire suivante décrira le phénomène physique dans le domaine Ω

𝛁. 𝝈 + 𝒇 = 𝟎 (2.6) Avec 𝝈 étant le tenseur des contraintes et 𝒇 le vecteur force extérieur. On définit les fonctions d’essais u (x, t) et les fonctions test v(x, t).

La formulation faible de l’équation précédente s’écrit : ∫ v(x, t)(∇. 𝜎 + 𝑓)𝑑Ω = 0

Ω

(2.7) En appliquant le théorème de la divergence et en adaptant les intégrales sur les contours de la géométrie, l’équation précédente devient

∫ ∇V: 𝜎 𝑑Ω Ω + ∫ ⟦𝑉. 𝜎⟧ Γ𝑑 𝑛⃗ Γ𝑑𝑑Γ − ∫ 𝑉⃗ Γ𝑡 . 𝑡̅𝑑Γ − ∫ V. 𝑓 𝑑Ω Ω = 0 (2.8) ∫ ⟦𝑉. 𝜎⟧ Γ𝑑 𝑛⃗ Γ𝑑𝑑Γ = ∫ ⟦𝑉. 𝑡̅ ⟧ Γ𝑑 𝑑Γ = ∫ ⟦𝑉. 𝑡̅𝑑⟧ Γ𝑑 𝑑Γ (2.9) (𝑉⃗ . 𝑡̅𝑑)+= (𝑉⃗ . 𝑡̅ 𝑑) − (2.10) ∫ ⟦𝑉. 𝜎⟧ Γ𝑑 𝑛⃗ Γ𝑑𝑑Γ = ∫ ⟦𝑉. 𝑡̅𝑑⟧ Γ𝑑 𝑑Γ = ∫ ((𝑉⃗ )+. −(𝑉⃗ )−) Γ𝑑 . 𝑡̅𝑑𝑑Γ = 0 (2.11) ∫ ∇V: 𝜎 𝑑Ω Ω − ∫ 𝑉⃗ Γ𝑡 . 𝑡̅𝑑Γ − ∫ V. 𝑓 𝑑Ω Ω = 0 (2.12)

(32)

18

Qui représente la formulation faible de l’équation de départ. Pour discrétiser l’équation précédente, on utilisera la méthode XFEM, pour illustrer l’application de cette méthode nous allons utiliser un enrichissement à l’aide des fonctions Heaviside 𝜓(𝑥)

On considère un déplacement 𝒖(𝑥, 𝑡), l’enrichissement avec la méthode XFEM s’écrit comme suit 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑁𝑖(𝑥)𝒖̅𝑖 ℵ 𝑖=1 + ∑ 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗)) 𝒂̅𝑗 ℳ 𝑗=1 = 𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥)𝒖̅ + 𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥)𝒂̅ (2.13)

Où 𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) ≡ 𝑁𝑖(𝑥) représente la base standard et 𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) ≡ 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗))

représente la base enrichie.

La discrétisation XFEM pour le terme relatif aux fonctions tests s’écrit comme suit

𝒗(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑁𝑖(𝑥)𝒗̅𝑖 ℵ 𝑖=1 + ∑ 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗)) 𝒒̅𝑖 ℳ 𝑗=1 = 𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥)𝒗̅ + 𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥)𝒒̅ (2.14)

À deux dimensions ces bases sont représentées comme suit : 𝑁𝑖𝑠𝑡𝑑 = [𝑁𝑖(𝑥) 0 0 𝑁𝑖(𝑥)] (2.15) Et 𝑁𝑗𝑒𝑛𝑟 = [ 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗)) 0 0 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗)) ] (2.16)

(33)

19 𝛁𝒖(𝑥) = ∑ ∇𝑁𝑖(𝑥)𝒖̅𝑖 ℵ 𝑖=1 + ∑[ ∇𝑁𝑗(𝑥)(|𝜑(𝑥)| − |𝜑(𝑥𝑗)|) + 𝑁𝑗(𝑥)∇(|𝜑(𝑥)| − |𝜑(𝑥𝑗)|)]𝒂̅𝑗 ℳ 𝑗=1 (2.17) Avec ∇(|𝜑(𝑥)| − |𝜑(𝑥𝑗)|) = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜑(𝑥))∇𝜑(𝑥) = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜑(𝑥))𝑛⃗ Γ𝑑 Si on définit 𝐷(𝑢⃗ ) comme suit :

𝐷(𝑢⃗ ) =1

2(∇⃗⃗ 𝑢⃗ + ∇

𝑇

⃗⃗⃗⃗ 𝑢⃗ ) (2.18) Alors sa discrétisation XFEM s’écrit comme suit :

𝐷(𝑢⃗ ) = ∑ 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥 𝒖̅𝑖 ℵ 𝑖=1 + ∑ [𝜕𝑁𝑗 𝜕𝑥 (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗)) + 𝑁𝑗(𝑥) 𝜕 𝜕𝑥(𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗))] 𝒂̅𝑖 ℳ 𝑗=1 = 𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥)𝒖̅ + 𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥)𝒂̅ (2.19) 𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) = [ 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥 ⁄ 0 0 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦 ⁄ 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦 ⁄ 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥 ⁄ ] (2.20) 𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥) = [ 𝜕 ( 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗))) 𝜕𝑥 ⁄ 0 0 𝜕 ( 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗)))⁄𝜕𝑦 𝜕 ( 𝑁𝑗(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗))) 𝜕𝑦 ⁄ 𝜕 ( 𝑁𝑖(𝑥) (𝜓(𝑥) − 𝜓(𝑥𝑗))) 𝜕𝑥 ⁄ ] (2.21)

(34)

20

En remplaçant les expressions précédentes des matrices enrichies XFEM dans la formulation faible du problème : ∫ (𝐵𝑠𝑡𝑑 𝒗̅ + 𝐵𝑒𝑛𝑟 𝒒̅)𝑇 𝜎 𝑑Ω Ω − ∫ (𝑁𝑠𝑡𝑑 𝒗̅ + 𝑁𝑒𝑛𝑟 𝒒̅)𝑇 Γ𝑡 𝑡̅𝑑Γ − ∫ (𝑁𝑠𝑡𝑑 𝒗̅ + 𝑁𝑒𝑛𝑟 𝒒̅)𝑇 𝑓 𝑑Ω Ω = 0 (2.22)

Qui peut être écrite sous la forme

𝒗 ̅𝑻 {∫ (𝐵𝑠𝑡𝑑)𝑇 𝜎 𝑑Ω Ω − ∫ (𝑁𝑠𝑡𝑑)𝑇 Γ𝑡 𝑡̅𝑑Γ + ∫ (𝑁𝑠𝑡𝑑)𝑇 𝑓 𝑑Ω Ω } + 𝒒̅𝑻{∫ (𝐵𝑒𝑛𝑟)𝑇 𝜎 𝑑Ω Ω − ∫ (𝑁𝑒𝑛𝑟)𝑇 Γ𝑡 𝑡̅𝑑Γ + ∫ (𝑁𝑒𝑛𝑟)𝑇 𝑓 𝑑Ω Ω } = 𝟎 (2.23)

L’équation précédente peut s’écrire sous une forme discrète comme suit :

𝑲𝑼̅ − 𝑭 = 0 (2.24) Où le vecteur des variables inconnues aux points nodaux est 𝑈̅𝑇= [𝒖̅𝑻, 𝒂̅𝑻], 𝑲 est la matrice

de rigidité et 𝑭 le vecteur forces extérieurs. Le système peut être écrit comme suit : [𝑲𝒖𝒖 𝑲𝒖𝒂 𝑲𝒂𝒖 𝑲𝒂𝒂] ( 𝒖̅ 𝒂 ̅) = ( 𝑭𝒖 𝑭𝒂) (2.25) 𝑲 = [ ∫ (𝑩𝒔𝒕𝒅)𝑻𝑫𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑Ω Ω ∫ (𝑩𝒔𝒕𝒅)𝑻𝑫𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑Ω Ω ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝑫𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑Ω Ω ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝑫𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑Ω Ω ] (2.26)

(35)

21 Et 𝑭 = ( ∫ (𝑵𝒔𝒕𝒅)𝑻 𝚪𝒕 𝒕̅𝒅𝚪 + ∫ (𝑵𝒔𝒕𝒅)𝑻 𝒇 𝒅𝛀 𝛀 ∫ (𝑵𝒆𝒏𝒓)𝑻 𝚪𝒕 𝒕̅𝒅𝚪 + ∫ (𝑵𝒆𝒏𝒓)𝑻 𝒇 𝒅𝛀 𝛀 ) (2.27)

La discrétisation du saut sur le gradient de vitesse s’écrit

⟦𝛁𝒖(𝑥)⟧ = 𝛁𝒖(𝑥+) − 𝛁𝒖(𝑥−) = ∑ ∇𝑁𝑖(𝑥+)𝒖 𝑖 ̅ ℵ 𝑖=1 + ∑[ ∇𝑁𝑗(𝑥+)(|𝜑(𝑥+)| − |𝜑(𝑥𝑗)|) + 𝑁𝑗(𝑥+)𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜑(𝑥+))𝑛⃗ Γ𝑑]𝒂̅𝑗 ℳ 𝑗=1 − ∑ ∇𝑁𝑖(𝑥−)𝒖 𝑖 ̅ ℵ 𝑖=1 − ∑[ ∇𝑁𝑗(𝑥−)(|𝜑(𝑥)| − |𝜑(𝑥 𝑗)|) + 𝑁𝑗(𝑥−)𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜑(𝑥−))𝑛⃗ Γ𝑑]𝒂̅𝑗 ℳ 𝑗=1 (2.28)

Théorème de divergence dans le cas discontinu s’écrit :

∫ ∇. 𝑈⃗⃗ 𝑑Ω Ω1 = ∫ 𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ 1𝑑Γ ∂Ω1 + ∫ 𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ 𝑑1𝑑Γ Γ𝑑1 (2.29) ∫ ∇. 𝑈⃗⃗ 𝑑Ω Ω2 = ∫ 𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ 1𝑑Γ ∂Ω2 + ∫ 𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ 𝑑2𝑑Γ Γ𝑑2 (2.30) ∫ ∇. 𝑈⃗⃗ 𝑑Ω Ω = ∫ 𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ 𝑑Γ Γ − ∫ ( 𝑈⃗⃗ +− 𝑈⃗⃗ ). 𝑛⃗ 𝑑Γ Γ (2.31) ⟦𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ ⟧ = ( 𝑈⃗⃗ +− 𝑈⃗⃗ −). 𝑛⃗ (2.32)

(36)

22

Pour des problèmes qui contiennent plusieurs discontinuités, l’équation précédente s’écrit :

∫ ∇. 𝑈⃗⃗ 𝑑Ω Ω = ∫ 𝑈⃗⃗ . 𝑛⃗ 𝑑Γ Γ − ∫ ∑⟦𝑈⃗⃗ 𝑖⟧ 𝑁𝑑 𝑖=1 . 𝑛⃗ 𝑑𝑖𝑑Γ Γ (2.33)

Ou 𝑁𝑑 est le nombre de discontinuités de notre domaine.

VIII-Exemples de discrétisation XFEM

VIII-1-Modélisation d’une barre élastique 1D avec une discontinuité forte

Pour illustrer le développement théorique de la section précédente, on présentera un exemple pratique traité par Khoei (2015).

Le problème est une barre élastique avec une discontinuité au milieu, encastrée dans le mur à une extrémité libre avec une condition aux limites sur le déplacement 𝑢 = 𝑢0.

Dans cet exemple, nous allons discrétiser notre problème avec les méthodes XFEM et FEM. Dans la méthode XFEM, on choisira trois éléments avec deux nœuds dans laquelle la discontinuité passe par le deuxième élément. Dans la méthode FEM classique, nous allons choisir quatre éléments avec deux nœuds, les nœuds sont disposés de telle sorte à ce que la discontinuité soit entre deux éléments et possédant un nœud dans chaque élément (les nœuds sont sur la discontinuité, pour que le calcul soit possible avec l’approximation polynomiale).

Interface

𝒖𝟎

(37)

23

Modèle FEM

Modèle XFEM

Figure 2.2 : Discontinuité forte, schémas XFEM et FEM

Dans la méthode XFEM la matrice de rigidité pour les éléments (1) et (3) est comme suit :

𝐊(𝟏)= 𝐊(𝟑) = 𝐴𝐸 𝑙 [ +𝟏 −𝟏 −𝟏 +𝟏] (2.34) 𝐻(𝜑(𝑥𝑐)) = 0 𝐻(𝜑(𝑥3)) = 1 𝐻(𝜑(𝑥2)) = 0 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 4

(38)

24 Pour l’élément (1) : 𝐊(𝟐) = 𝐴𝐸 𝑙 2 [+𝟏 −𝟏 −𝟏 +𝟏] (2.35)

La matrice de rigidité totale est assemblée comme suit :

𝐊(𝑭𝑬𝑴)=𝐴𝐸 𝑙 [ 1 −1 0 −1 3 −2 0 0 0 0 −2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −2 0 0 −2 3 −1 0 0 −1 1 ] 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 (2.36)

Avec la méthode des éléments finis FEM, le système précédent peut être résolu à l’aide des conditions aux limites 𝑢1 = 0 et 𝑢6 = 𝑢0, ce qui donne le résultat suivant : 𝑢2 = 𝑢3 = 0 et 𝑢4 = 𝑢5 = 𝑢0

Dans la méthode XFEM, la discontinuité est modélisée à l’aide de la fonction Heaviside, à l’aide d’enrichissement des points nodaux 2 et 3 dans lesquels 𝐻(𝜑(𝑥2)) = 0 et 𝐻(𝜑(𝑥3)) = 1.

Les fonctions de formes standards et enrichies, leurs dérivées et les matrices de rigidités pour les trois éléments s’écrivent comme suit :

(1)𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙〉 (1)𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) =𝑥 𝑙 (𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑2)) (1)𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈−1 𝑙 1 𝑙〉 (1)𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥) =1 𝑙(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑2))

(39)

25 (𝟏)𝑲 = [∫ (𝑩 𝒔𝒕𝒅)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑x l ∫ (𝑩 𝒔𝒕𝒅)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑x l ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑x l ∫ (𝑩 𝒆𝒏𝒓)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑x l ] =𝐴𝐸 𝑙 [ +𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 +𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 ] 𝑢1 𝑢2 𝑢3(2.37)

Dans laquelle 𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑2) = 0 pour l’élément (1) Pour l’élément (2) : (2)𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙〉 (2)𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) = 〈(1 −𝑥 𝑙)(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑2)) ( 𝑥 𝑙)(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑3))〉 (2)𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈−1 𝑙 1 𝑙〉 (2)𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥) = 〈(−𝑥 𝑙)(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑2)) ( 1 𝑙)(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑3))〉 (𝟐)𝑲 = [ ∫ (𝑩𝒔𝒕𝒅)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑x l ∫ (𝑩𝒔𝒕𝒅)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑x l ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑x l ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑x l ] =𝐴𝐸 𝑙 [ 1 −1 0.5 0.5 −1 0.5 0.5 1 −0.5 −0.5 −0.5 0.5 0 −0.5 0 0.5 ] 𝑢2 𝑢3 𝑎2 𝑎3 (2.38) Pour l’élément (3) : (3)𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) =1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙〉 (3)𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) = (1 −𝑥 𝑙)(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑3))

(40)

26 (3)𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈−1 𝑙 1 𝑙〉 (3)𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥) =(−1 𝑙)(𝐻(𝜑)−𝐻(𝜑3)) (𝟑)𝑲 = [ ∫ (𝑩𝒔𝒕𝒅)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑x l ∫ (𝑩𝒔𝒕𝒅)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑x l ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒔𝒕𝒅 𝑑x l ∫ (𝑩𝒆𝒏𝒓)𝑻𝐴𝐸𝑩𝒆𝒏𝒓 𝑑x l ] = 𝐴𝐸 𝑙 [ +𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 +𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 ] 𝑢3 𝑢4 𝑎3 (2.39)

La matrice de rigidité totale XFEM

𝐊(𝑿𝑭𝑬𝑴)= 𝐴𝐸 𝑙 [ 1 −1 0 −1 2 −1 0 0 0 0 −1 0 0.5 0.5 2 −1 −0.5 −0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 −1 1 0 0 −0.5 0 0.5 0 −0.5 0 0 0.5 ] 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑎5 𝑎6 (2.40)

La solution du système d’équations avec la méthode XFEM donne 𝑢1 = 𝑢2 = 0, 𝑢3 = 𝑢4 =

𝑢0, 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑢0

V-2-Modélisation d’une barre élastique avec une discontinuité faible

Dans l’exemple suivant, nous allons traiter un problème de discontinuité faible dans le même cas de géométrie que précédemment, c’est-à-dire une barre unidimensionnelle fixée d’un côté et libre de l’autre côté avec une condition aux frontières, avec une charge égale à P. Les

(41)

27

propriétés matérielles de l’élément de gauche sont : 𝐸1 et 𝜐1, pour la partie de droite les propriétés matérielles sont : 𝐸2 et 𝜐2, avec une relation de 𝐸1 = 2𝐸2 = 𝐸 et 𝜐1 = 𝜐2 = 𝜐.

Comme dans l’exemple précédent, avec la méthode XFEM nous prenons trois éléments avec deux nœuds, avec une discontinuité matérielle dans le deuxième élément. Avec la méthode FEM nous allons prendre trois éléments, la discontinuité passe par le milieu du deuxième élément, mais avec des nœuds supplémentaires sur la discontinuité de telle sorte qu’il y ait alignement. 𝐸1, 𝜐1 𝐸2, 𝜐2 Modèle XFEM Interface matérielle 𝑷 𝜑(𝑥𝑐) = 0 𝜑(𝑥3) = 0.5𝑙 |𝜑(𝑥2)| = 0.5𝑙 1 2 3 2 1 1 3 4

(42)

28

Modèle FEM

Figure 2.3 : Discontinuité faible, schémas XFEM et FEM

La matrice FEM totale s’écrit comme suit :

𝐊(𝑭𝑬𝑴) =𝐴𝐸 𝑙 [ 1 −1 0 0 0 −1 0 0 0 3 −2 0 0 −2 3 −1 0 0 −1 1.5 −0.5 0 0 −0.5 0.5 ] 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 (2.41)

La solution FEM du système linaire d’équation donne :

𝑈̅𝑇= 〈𝑢

1 𝑢2𝑢3𝑢4𝑢5〉 =

𝑃𝑙

𝐴𝐸〈0 1 1.5 2.5 4.5〉

Dans la résolution XFEM du problème, la discontinuité matérielle est modélisée en utilisant des fonctions d’enrichissement entre les points nodaux 2 et 3, dans lesquels 𝜑(𝑥2) < 0 sur

la partie gauche de la discontinuité et 𝜑(𝑥2) > 0 sur la partie droite. Les éléments standard et enrichis des fonctions de formes, de leurs dérivées et des matrices de rigidité, sont obtenus de la même manière que l’exemple précédent. La fonction ¨Level-set¨ du premier élément est définie comme 𝜑(𝑥) = 𝑥 − 1.5𝑙

(1)𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙〉 (1)𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) = (𝑥 𝑙)( |(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥2)|)= 𝑥 − 𝑥2 𝑙 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 1

(43)

29 (1)𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈−1 𝑙 1 𝑙〉 (1)𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥) = (1 𝑙) (|(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥2)|) +( 𝑥 𝑙)𝑠𝑖𝑔𝑛 ((𝜑(𝑥))) = 1 − 2𝑥 𝑙 (𝟏)𝑲 =𝐴𝐸 𝑙 [ +𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 +𝟏 𝟎 𝟎 𝒍𝟐 𝟑 ] 𝑢1 𝑢2 𝑎2 (2.42) En définissant la fonction ¨Level-set¨ du deuxième élément comme suit :

𝜑(𝑥) = 1 − 0.5𝑙 On obtient (2)𝑁(𝑥) = 〈(2)𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) (2)𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥)〉 = 〈1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙 (1 − 𝑥 𝑙) ( |(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥2)|) ( 𝑥 𝑙) ( |(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥3)|)〉 = 〈1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙 (1 − 𝑥 𝑙) ( |(𝑥 − 𝑙 2)| − 𝑙 2) ( 𝑥 𝑙) ( |(𝑥 − 𝑙 2)| − 𝑙 2)〉 (2)𝐵(𝑥) = 〈(2)𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) (2)𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥)〉 = 〈−1 𝑙 1 𝑙 ( − 1 𝑙) ( |(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥2)|) + (1 −𝑥 𝑙) 𝑠𝑖𝑔𝑛 ((𝜑(𝑥))) ( 1 𝑙) ( |(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥3)|) + ( 1 𝑙) 𝑠𝑖𝑔𝑛 ((𝜑(𝑥)))〉 = 〈−1 𝑙 1 𝑙 ( − 1 𝑙)( |(𝑥 − 𝑙 2)| − 𝑙 2)+ (1 − 𝑥 𝑙) (𝑥 − 𝑙 2) / | (𝑥 − 𝑙 2) | ( 1 𝑙)( |(𝑥 − 𝑙 2)| − 𝑙 2) + ( 𝑥 𝑙)(𝑥 − 𝑙 2) / |(𝑥 − 𝑙 2)|〉 (2.43)

(44)

30 (𝟑)𝑲 =𝐴𝐸 𝑙 [ 3 4 − 3 4 𝑙 8 𝑙 8 −3 4 𝑙 8 𝑙 8 3 4 − 𝑙 8 − 𝑙 8 −𝑙 8 𝑙2 4 𝑙2 8 − 𝑙 8 𝑙2 8 𝑙2 4 ] 𝑢2 𝑢3 𝑎2 𝑎3 (2.43)

Pour l’élément (3), la fonction ¨Level-set¨ dans les coordonnées locales est définie comme suit 𝜑(𝑥) = 𝑥 + 0.5𝑙 (3)𝑁𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈1 −𝑥 𝑙 𝑥 𝑙〉 (3)𝑁𝑒𝑛𝑟(𝑥) = (1 −𝑥 𝑙)( |(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥3)|)= 𝑥 − 𝑥2 𝑙 (3)𝐵𝑠𝑡𝑑(𝑥) =〈−1 𝑙 1 𝑙〉 (3)𝐵𝑒𝑛𝑟(𝑥) =(−1 𝑙) (|(𝜑(𝑥))| − |𝜑(𝑥3)|) +(1 − 𝑥 𝑙)𝑠𝑖𝑔𝑛 ((𝜑(𝑥))) = 1 − 2𝑥 𝑙 (𝟑)𝑲 =𝐴𝐸 2𝑙 [ +𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟎 +𝟏 𝟎 𝟎 𝒍𝟐 𝟑 ] 𝑢3 𝑢4 𝑎3 (2.44)

(45)

31 𝐊(𝑿𝑭𝑬𝑴)=𝐴𝐸 𝑙 [ 1 −1 0 −1 7 4 − 3 4 0 0 0 0 −3 4 0 𝑙 8 𝑙 8 5 4 −1 2 −𝑙 8 −𝑙 8 0 0 0 0 𝑙 8 𝑙 8 −1 2 1 2 0 0 −𝑙 8 0 7𝑙2 12 𝑙2 8 −𝑙 8 0 𝑙2 8 5𝑙2 12 ] 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑎2 𝑎3 (2.45)

La solution du système résolu avec la méthode XFEM, dans les nœuds standard et enrichis est : 𝑈̅𝑇 = 〈𝑢1 𝑢2𝑢3𝑢4𝑎2𝑎3〉 = 𝑃𝑙 𝐴𝐸〈0 1 2.4317 4.4317 0.2295 𝑙 0.3607 𝑙 〉

(46)

32

Chapitre 3

Modèle mathématique

I-Introduction

Ce chapitre présente le modèle mathématique pour un écoulement à deux fluides incompressibles, visqueux, Newtoniens et non miscibles. Dans la première partie, on verra comment obtenir l’équation de Navier-Stokes diphasique, modèle à un fluide, à partir d’un bilan de forces, loi de Newton, pour un fluide monophasique occupant un domaine spécifique. Le même raisonnement sera fait pour un autre fluide possédant des propriétés physiques différentes.

On fera l’union des deux domaines fluides à travers une surface de fusion. Les deux fluides étant non miscibles, cette surface sera une interface de séparation entre les deux fluides. En fusionnant les deux domaines et en faisant un bilan de force au niveau de l’interface, on obtiendra l’équation de Navier Stokes pour deux fluides non miscibles. Un terme dû au bilan de force au niveau de l’interface apparaitra.

À travers l’interface de fusion des deux fluides apparaitront des discontinuités pour les propriétés physiques des deux fluides. Pour traiter ces discontinuités, on appliquera des conditions de saut pour ces grandeurs physiques. Ce qui fera l’objet de la deuxième partie de ce chapitre.

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