Dans la section 2.3, le modèle thermo-mécanique proposé introduit une longueur ca-ractéristique e dans la définition du gradient thermique à travers la surface cohésive. Cette partie concerne d’une part une étude paramétrique de cette longueur e et d’autre part une étude sur l’influence de la conductivité thermique λ3 de l’éventuel fluide interstitiel. 3.4.1 Influence de la longueur caractéristique e
Le test unitaire envisagé est assez similaire au précédent : deux quadrangles (lc = 15.10−4m) (voir Figure 2.10(a)) sont reliés par la loi thermo-cohésive définie dans la section 2.3. Une température initiale T0 = 0◦C est appliquée sur les deux éléments et une température Timp = 20◦C est imposée sur le bord gauche. Un milieu homogène thermo-élastique dont les propriétés sont présentées sur la Figure 2.10(b) est considéré.
On rappelle que le modèle proposé pour la longueur caractéristique e introduit une dépendance à la taille de maille lc et à la variable d’endommagement surfacique β :
3. ETUDE DES PARAMÈTRES MÉCANIQUES ET THERMIQUES DU MODÈLE ET VALIDATION • • • • • • T0 C ZM lc Timp
(a) Schéma du test unitaire
Module d’Young (GP a) E = 15 Coefficient de Poisson ν = 0.2 Masse volumique (kg.m−3) ρ = 2900 Conductivité (W.m−1.K−1) λ = 1.107 Capacité thermique (J.kg−1.K−1) C = 760 Coefficient de dilatation (K−1) α = 2.10−5 (b) Propriétés thermo-élastique.
Figure 2.10 – Définition du cas test unitaire.
où γ > 0 et ζ ∈ [0,1]. L’étude paramétrique porte sur six valeurs différentes de la longueur e :
— e = 1 : longueur unitaire, γ = 1/lc et ζ = 0,
— e = lc : ordre de la taille de maille lc, γ = 1 et ζ = 0,
— e = lc/10 : plus petite que la taille de maille, γ = 1/10 et ζ = 0, — e = 10lc : plus grande que la taille de maille, γ = 10 et ζ = 0, — e = (1 − β) : dépendance à l’endommagement, γ = 1/lc et ζ = 1,
— e = lc(1− β) : dépendance à l’endommagement et à la taille de maille, γ = 1 et ζ = 1.
La variable d’endommagement permettant de piloter l’état de la zone cohésive ther-mique, sept calculs sont menés afin de représenter l’évolution de l’endommagement de l’interface : β ∈ [1, 0.95, 0.8, 0.5, 0.2, 0.05,0] (le cas β = 1 est particulier car sa résolution ne fait pas intervenir la conduction du modèle thermo-cohésif).
Les variables de référence sont le saut de température [T ] entre deux nœuds supports de la zone cohésive et l’évolution du flux la traversant i.e. la quantité φCZM. L’objectif physique visé est d’obtenir une dégradation de la conduction thermique surfacique dont l’intensité évolue avec le niveau d’endommagement surfacique. En l’absence de données expérimentales dédiées, on vise intuitivement à un modèle permettant d’atteindre l’équi-libre thermique en environ 50µs (ce qui représente 5s en multipliant par le coefficient α de la partie 3.1) à l’échelle d’une maille de 1.5mm pour une interface endommagée à 50% (β = 0.5).
• e=1
La Figure 2.11 montre dans le cas d’une longueur unitaire un comportement similaire à celui d’une zone totalement endommagée : une longueur caractéristique unitaire donne lieu à une cinétique thermique toujours trop lente et la conduction d’une interface quasi saine ne peut être retrouvée.
• e = lc
La Figure 2.12 présente les résultats pour une longueur correspondant à la taille de maille lc. Pour un endommagement très faible (β = 0.95) l’équilibre est atteint trop
(a) Saut de température à l’interface.
(b) Flux au travers de l’interface.
Figure 2.11 – e = 1
lentement. De plus, à l’initiation de l’endommagement (de β = 0.95 jusqu’à β = 0.5), l’évolution de la réponse thermique est très faible. La conduction thermique est dégradée rapidement même pour des endommagement très faibles : la progressivité visée n’est que partiellement obtenue.
(a) Saut de température à l’interface.
(b) Flux au travers de l’interface.
Figure 2.12 – e = lc
• e = lc/10
La Figure 2.13 présente les résultats pour h = lc/10. Dans le cas d’une longueur infé-rieure à la taille de maille, l’interface reste thermiquement quasi-saine jusqu’aux derniers moments de la rupture totale. La dégradation progressive recherchée n’est pas modélisée.
3. ETUDE DES PARAMÈTRES MÉCANIQUES ET THERMIQUES DU MODÈLE ET VALIDATION
(a) Saut de température à l’interface.
(b) Flux au travers de l’interface.
Figure 2.13 – e = 10−1lc.
La Figure 2.14 présente les résultats pour e = 10lc. Le phénomène est similaire à celui obtenu pour e = lc.
(a) Saut de température à l’interface.
(b) Flux au travers de l’interface.
Figure 2.14 – e = 10lc.
• e = (1 − β)
La Figure 2.15 présente les résultats lorsque la longueur e dépend de l’endomma-gement : e = (1 − β). La dépendance de la longueur à l’endommal’endomma-gement permet une meilleure séparation des valeurs lors de l’initiation de la rupture. Cependant, les résultats obtenus montrent une cinétique trop lente dans la dégradation du flux thermique.
• e = (1 − β) lc
(a) Saut de température à l’interface.
(b) Flux au travers de l’interface.
Figure 2.15 – e = (1 − β)
maille pondérée par l’endommagement : e = lc(1− β). Les résultats obtenus permettent une représentation de la physique transitoire qui nous semble correcte. Pour un endom-magement très faible (β = 0.95), la valeur maximale et la cinétique de la réponse sont proches du cas sain. Lorsqu’il y a un endommagement important, le temps pour atteindre l’équilibre thermique est conséquent ce qui représente correctement la physique d’une in-terface à conduction dégradée.
(a) Saut de température à l’interface.
(b) Flux au travers de l’interface.
Figure 2.16 – Approximation du gradient par une pondération de la taille de maille par l’endommagement.
Dans la suite, la longueur e choisie est : e = lc(1− β) car une longueur e = lc qui représente le mieux la progressivité visée conduit cependant à une diffusion dans la partie endommagé ne dépendant pas de l’endommagement :
φCZM = β 1− βλβ+ λ1−β (T+− T−) lc n (2.33)
3. ETUDE DES PARAMÈTRES MÉCANIQUES ET THERMIQUES DU MODÈLE ET VALIDATION
3.4.2 Influence de la conductivité interstitielle λ3
Pour l’influence de la conductivité du fluide interstitiel λ3, le cas test de la Figure 2.8 est repris. La Figure 2.17 présente les résultats pour trois conductions dans la zone co-hésive : λ3, 103λ3 et 106λ3.
Figure 2.17 – Étude paramétrique sur la conductivité λ3 associée au modèle de zone cohésive thermique.
L’impact de cette conductivité interstitielle sur la réaction cohésive normale RN est très faible. La cinétique de diffusion dans la zone cohésive augmente avec la conductivité λ3. Le saut de température tend vers la valeur théorique du cas stationnaire lorsque la conductivité de l’interface est importante.