Inf´erence dans le cas des petits objets compacts ou des objets

On utilise directement les r´esultats obtenus dans la section pr´ec´edente. Prenons par exemple les objets de la figure 4.40-a, l’histogramme d’angles li´e `a un couple d’ob- jets (Fig. 4.40-b) est tr`es proche d’un Dirac. Cela nous permet de repr´esenter tous les objets par leur centre de gravit´e. Une estimation de l’angle correspondant `a l’angle form´e par les deux centres de gravit´e peut ˆetre obtenue en calculant le centre de gravit´e de l’histogramme d’angles. Plus l’histogramme d’angles est proche d’une fonction de Dirac, plus cette estimation sera correcte.

Pour illustrer ces r´esultats, supposons qu’on soit amen´e `a d´eduire la position rela- tive d’un objet ou une r´egion C par rapport `a une r´egion A (Fig. 4.40-a) connaissant la position relative de cette r´egion par rapport `a certains rep`eres Bi. Pour utiliser les

r´esultats pr´ec´edents, la position relative de ces rep`eres par rapport `a la r´egion A est connue. Cet exercice est tr`es fr´equent quand il s’agit de trouver son chemin en uti- lisant un plan. `A partir de l’information visuelle, l’ˆetre humain (objet A) d´etermine sa position relative par rapport `a certains rep`eres (objets Bi) pr´esents sur le plan. La

4.9 Inf´erence des relations spatiales directionnelles entre des r´egions B B A B B B C B 4 2 1 6 5 3

(a) Un exemple d’objets compacts.

0 0 5 10 15 x 108 −π π (b) Histogramme d’angles HAC. Objet interm´ediaire γ |γ − θAC| |α − β| B1 0.5171 0.123 2.12 B2 0.5923 0.048 1.01 B3 0.6806 0.040 1.07 B4 0.7852 0.145 2.16 B5 0.6683 0.028 2.83 B6 0.6163 0.024 2.94

(c) Inf´erence de la position relative γ de l’objet C par rapport `a A (les angles sont exprim´es en radian, θAC= 0.64), connaissant l’histogramme d’angle de l’objet C par

rapport `a un autre objet Bi et l’histogramme d’angle de l’objet Bi par rapport `a

l’objet A.

Fig. 4.40 – Application de l’inf´erence des relations spatiales directionnelles dans le cas des objets compacts.

position relative du point d’arriv´ee (objetC) par rapport `a ces rep`eres (objetsBi) est

d´etermin´ee `a partir du plan. Le probl`eme, dans ce cas, consiste `a d´eduire la direction `a suivre en partant deA pour arriver en C.

Puisque les r´esultats obtenus en utilisant les trois types de distribution sont presque identiques, nous utilisons dans cette partie uniquement les r´esultats li´es `a une distribu- tion uniforme des points `a l’int´erieur d’un disque. On suppose pour cela que les objets B1..6 et C sont uniform´ement plac´es autour de l’objet A `a l’int´erieur d’un disque. Les

diff´erentes positions relatives θXY sont exprim´ees `a partir des histogrammes d’angles.

Les r´esultats de l’inf´erence en utilisant la r`egle de la minimisation de la probabilit´e d’erreur sont illustr´es sur le tableau de la figure 4.40-c.

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 |β−α| Perr π/2 π

Fig. 4.41 – ´Evolution de la probabilit´e d’erreur en fonction de |β − α|.

En examinant ce tableau, on remarque clairement que les plus faibles erreurs d’es- timation |γ − θAC| correspondent `a des faibles ou fortes valeurs de la diff´erence |β − α|.

Cela ´etait pr´evisible car la localisation du point C est d’autant plus difficile que le secteur angulaireDα,β est large. Cela est confirm´e en examinant la courbe de la proba-

bilit´e d’erreur (Fig. 4.41), celle-ci est croissante par rapport `a la diff´erence|β − α|entre

0 et (ψ0 ' 1.915) o`u ψ0 repr´esente la racine de l’´equation 2ψ − 2π + 6 sin(ψ) − 8 sin(2ψ) + 6 sin(3ψ) + 5 sin(4ψ) + 2 sin(5ψ)appartenant au domaine[π/2, 2π/3]. Pourψ0≤ |β − α| ≤ π, la

probabilit´e d’erreur est d´ecroissante. Dans le cas o`u la valeur de|β − α| est proche deπ, on doit choisir parmi deux angles possiblesα etβ. Comme la probabilit´e d’avoir γ = α ´etant donn´e les deux positions relatives αe, βe est largement inf´erieure `a celle d’avoir

γ = β, on a une tr`es faible probabilit´e d’erreur en choisissantγ = β.

La probabilit´e d’erreur devient moins importante si on utilise plusieurs possibilit´es d’inf´erence. On peut fusionner les diff´erentes probabilit´esP (γe/αe, βe)obtenues pour les

diff´erents objets interm´ediaires afin d’am´eliorer le r´esultat final. En tra¸cant la courbe des six probabilit´es conditionnellesP (γe/αe, βe) li´ees aux six objets interm´ediaires B1..6

(Fig. 4.42-a), on remarque clairement que le produit des diff´erentes probabilit´es tend vers un Dirac correspondant `a la position relative de l’objetC par rapport `a l’objet A. On peut mˆeme obtenir une tr`es bonne estimation `a partir d’objets correspondant `a un large domaine Dα,β. Par exemple avec les deux objets interm´ediaires B1 et B4 corres-

pondant `a une forte erreur, on arrive `a une estimation γ = 0.655qui est tr`es proche de la position exacteθAC= 0.64. Cela est dˆu au fait que la surface du secteur angulaire issu

de l’intersection des deux domainesDα,β est tr`es petite compar´ee `a celle des domaines

de d´epart. Plus la surface du domaine d’intersection est petite, plus notre estimation sera proche de la valeur exacte.

4.9 Inf´erence des relations spatiales directionnelles entre des r´egions −3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 γ B 1 B 2 B3 B 4 B5 B 6

(a) Les courbes de la probabilit´e

P (γe/αe, βe) en utilisant les six objets

interm´ediaires de la figure 4.40-a.

−3 −2 −1 0 1 2 3 0 2 4 6 8 10 12 θ_AC

(b) Produit des six probabilit´es conditionnelles P (γe/αe, βe).

Fig. 4.42 – Fusion des diff´erents r´esultats obtenus. Discussion et exemple d’application

Le probl`eme pr´esent´e dans cette partie est tr`es proche de nos hypoth`eses de d´epart : si les r´egions sont compactes, elles peuvent ˆetre repr´esent´ees par un seul point. L’une des applications les plus proches de cet exemple est la localisation des t´el´ephones mo- biles. Actuellement les m´ethodes de localisation utilisent essentiellement l’estimation du temps de retard entre l’instant d’´emission et l’instant d’arriv´ee des ondes au niveau d’une ou plusieurs stations de base dont la position est connue [ELNA-99]. Il existe toutefois une autre possibilit´e en utilisant une estimation de la direction d’arriv´ee de l’onde ´emise par le mobile sur une ou plusieurs stations de base. Cette approche n´e- cessite que les stations de bases concern´ees soient ´equip´ees d’antennes multiples dites intelligentes.

Une localisation pr´ecise `a l’aide des temps de retard suppose l’existence d’un trajet direct entre le mobile et la station de base. Cela n’est malheureusement pas toujours vrai en particulier en milieu urbain, ce qui entraˆıne souvent des erreurs importantes sur l’estimation de la position du mobile. `A partir de notre calcul th´eorique de la probabilit´e a posteriori P (γ/α, β) et en utilisant les informations angulaires estim´ees sur chaque station, on peut associer un degr´e de confiance `a chaque mesure. Pour cela, il suffit de supposer que la trajectoire de l’onde entre le mobile et la station de base principale (la plus proche) est directe. Cette station va repr´esenter dans notre cas le point B. Le mobile repr´esente le point C et l’autre station de base va repr´esenter le pointA. `A partir de la position relative de la station de base principale B par rapport `a la station A (angle α) et la position relative du mobile par rapport `a la station de base principale B (β), on peut associer un degr´e de confiance `a l’estimation de l’angle d’arriv´ee γ0 mesur´ee par la station de base A en fonction de la probabilit´e P (γ0/α, β).

Sachant qu’il faut trois stations de base pour localiser le mobile, on peut choisir la meilleure combinaison possible `a partir des degr´es de confiance associ´es aux diff´erentes mesures.