a b
0 a−1
7→ χ(a)
avec χ : F×→ F×p un caractère lisse uniquement déterminé.
Démonstration. Si χ : BS → F×p est un caractère lisse, on sait d’après la Proposition 2.1.4 qu’il se factorise à travers l’abélianisé de BS. Nous venons de prouver que cet abélianisé est égal au tore diagonal TS, lui-même naturellement isomorphe à F×par l’application [x 7→
x 0
0 x−1
]. Autrement dit, il existe un caractère lisse η : F×→ F×p tel que :
∀ a ∈ F×, ∀ b ∈ F, χ a b 0 a−1 = η(a) , ce qui prouve le résultat annoncé.
On note encore η : BS → F×p le caractère de BS obtenu par inflation du caractère η : F×→ F×p. Rappelons que l’argument qui prouve la Proposition 3.3.3 permet aussi de démontrer que tout Fp-caractère lisse de B s’obtient par inflation à partir de deux caractères lisses η1, η2 : F×→ F×p. On note η1⊗ η2 le Fp-caractère de B ainsi obtenu et l’on remarque que l’on a en particulier :
∀ η1, η2 : F×→ F×p, (η1⊗ η2)|BS = η1η2−1 . (3.6)
3.4 Induction parabolique et représentations de la série
princi-pale
L’objectif de cette section est d’étudier la structure des représentations de GS obtenues par induction parabolique à partir d’un Fp-caractère lisse de BS. Plus précisément, nous allons démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.4.1. Soit η : BS → F×p un caractère lisse. 1. Le Fp[BS]-module IndGS
BS(η) est de longueur 2. Il est indécomposable si et seulement si η n’est pas le caractère trivial. Dans le cas contraire, il est totalement décomposé.
2. Le Fp[GS]-module IndGS
BS(η) est irréductible si et seulement si η n’est pas le caractère trivial. Dans le cas contraire, il est indécomposable de longueur 2, et admet le caractère trivial 1 comme sous-objet et la représentation de Steinberg StS := Ind
GS
BS(1)
1 comme
quotient.
3. Il n’existe pas d’isomorphisme entre sous-quotients d’induites paraboliques distinctes. Pour ce faire, on commencera par étudier la structure de Fp[BS]-module portée par IndGS
BS(η) (Section 3.4.1). Ceci nous fournira suffisamment d’informations pour déterminer sa structure de Fp[GS]-module (Section 3.4.2). Nous calculerons ensuite la dimension des espaces de vecteurs invariants sous l’action du pro-p-Iwahori IS(1) des différents sous-quotients irréductibles qui apparaissent (Section 3.4.3), ce qui nous permettra de prouver facilement le dernier point du Théorème 3.4.1 (Section 3.4.4).
60 Induction parabolique et représentations de la série principale
Remarque 3.4.2. Une étude plus fine des espaces de vecteurs IS(1)-invariants est réalisée dans la Section 6.3.10 de cette thèse, avec pour motivation à cet endroit la recherche d’un éventuel analogue de l’équivalence de catégories construite par Ollivier pour les représentations modulo p de GL2(Qp) [O3, Théorème 1.3].
On fixe désormais un caractère lisse η : BS → F×p et l’on considère la représentation IndGS
BS(η) obtenue par induction parabolique de ce caractère.
3.4.1 Structure de Fp[BS]-module
Les arguments développés dans cette section sont inspirés des méthodes utilisées lors de l’étude des représentations complexes (voir par exemple [BH, Section 9]). L’application d’éva-luation en I2 définit un morphisme surjectif de Fp[BS]-modules
φ : IndGS
BS(η) η (3.7)
dont le noyau V s’identifie, par décomposition de Bruhat raffinée, au sous-espace des fonctions de IndGS
BS(η) à support dans BSw0U . Remarquons que la lissité des éléments de IndGS
BS(η) permet d’obtenir la caractérisation suivante des éléments de V , dont une démonstration est donnée dans [BH, Section 9.3, Lemme page 64].
Lemme 3.4.3. Un élément f ∈ IndGS
BS(η) appartient à V si et seulement s’il existe un sous-groupe ouvert compact U0 de U tel que le support de f soit contenu dans BSw0U0.
Nous allons l’utiliser pour démontrer le théorème suivant, qui constitue le résultat fonda-mental de cette sous-section.
Proposition 3.4.4. V est une représentation lisse irréductible de BS.
Démonstration. L’idée de la preuve consiste à donner un modèle de V pour lequel l’irréductibi-lité s’obtiendra assez facilement à partir d’arguments topologiques. Notons Cc∞(U ) l’ensemble des fonctions lisses U → Fp à support compact. Cet espace est muni d’une action lisse de BS définie par a b 0 a−1 · φ := [u(y) 7→ φ u a−1y + b a ] , (3.8)
et l’application [f 7→ [u 7→ f (w0u)]] induit alors un isomorphisme de Fp[BS]-modules
Ψ : V ' Cc∞(U ) ⊗ η−1 . (3.9)
En effet, le Lemme 3.4.3 assure que l’application Ψ admet pour application inverse la fonction envoyant un élément φ ∈ Cc∞(U ) sur la fonction f ∈ V définie par f (bw0u) = η(b)φ(u) pour tous u ∈ U et b ∈ BS, et que ces deux opérateurs préservent bien les propriétés de lissité et de support caractérisant les espaces de fonctions dans lesquels ils prennent leurs valeurs. Enfin, ils sont compatibles avec l’action de BS puisque l’on a, pour tout élément a ∈ F× et toute paire (x, z) ∈ F × F , w0u(z) a x 0 a−1 = a−1 0 0 a w0u a−1z + x a , ce qui implique que pour tout élément b ∈ BS et toute fonction f ∈ V , on a :
3.4.1 - Structure de Fp[BS]-module 61
Puisque la torsion par un caractère ne modifie pas la longueur, il nous suffit de prouver l’irréductibilité du Fp[BS]-module Cc∞(U ) pour conclure. Commençons par rappeler que U est égal à la réunion de ses sous-groupes ouverts compacts, et que toute fonction f ∈ Cc∞(U ) est, par hypothèse de lissité, à support dans un sous-groupe ouvert compact de U . Par ailleurs, si U0 est un sous-groupe ouvert compact de U et si Cc∞(U0) désigne l’espace des fonctions de Cc∞(U ) à support dans U0, il est facile de voir que l’espace des vecteurs U0-invariants de Cc∞(U0) est de dimension 1 sur Fp et engendré par la fonction indicatrice 1U0. En effet, si f est un élément U0-invariant de Cc∞(U0), l’application de la formule (3.8) pour a = 1 montre que f doit vérifier la condition suivante :
∀ x ∈ F, f (u(x)) = (u(x) · f )(I2) = f (I2) , ce qui prouve que f est constante et donc colinéaire à 1U0.
Comme U0 est un pro-p-groupe, on peut appliquer le Lemme 2.1.9 qui assure donc que toute sous-représentation non nulle de Cc∞(U0) contient 1U0. Pour conclure, il nous suffit de prouver que quel que soit le sous-groupe ouvert compact U0 choisi, sa fonction indicatrice engendre le Fp[BS]-module Cc∞(U ). Pour ce faire, on remarque que la famille de sous-groupes ouverts Un:= αn0U0α−n0 (n ∈ N) est un système fondamental de voisinages de I2 dans U , et que l’action de U sur la fonction 1Un permet de construire toutes les fonctions indicatrices translatées 1Unu avec u ∈ U . En écrivant par ailleurs que U0 = α−n0 Unαn0 avec α0 ∈ TS, on voit que l’action de BS = TSU sur 1U0 permet de construire tout élément de l’espace Cc∞(U ), ce qui termine la démonstration.
Corollaire 3.4.5. IndGS
BS(η) est un Fp[BS]-module de longueur 2.
Démonstration. C’est une reformulation de la proposition précédente à partir de la définition de V comme noyau de la surjection (3.7).
Remarque 3.4.6. La Proposition 3.4.4 implique en particulier que les seuls sous-quotients irréductibles du Fp[BS]-module IndGS
BS(η) sont le Fp-caractère η et le noyau V de la surjection (3.7), et qu’ils sont tous deux de multiplicité 1.
Nous souhaitons maintenant étudier l’indécomposabilité du Fp[BS]-module IndGS
BS(η). Au-trement dit, nous voulons déterminer les conditions sous lesquelles la suite exacte courte sui-vante de Fp[BS]-modules admet un scindage :
1 −→ V −→ IndGS
BS(η) −→ η −→ 1 . (3.10)
Ceci équivaut à étudier les cas où η peut être obtenu comme sous-Fp[BS]-module de IndGS
BS(η). Supposons donc qu’il existe une fonction lisse non nulle f : GS → Fp telle que b · f = η(b)f pour tout élément b ∈ BS. Par définition de l’action de GS sur IndGS
BS(η), cette condition est équivalente à la suivante :
∀ b ∈ BS, ∀ g ∈ GS, f (gb) = η(b)f (g) = f (bg) , (3.11) qui assure en particulier que la droite engendrée par f est stable sous l’action de BS et que l’élément f est fixe sous l’action de U . On rappelle maintenant qu’il existe, par lissité de f , un entier N ∈ N tel que f soit fixe sous l’action du sous-groupe UN :=
1 0
$NFOF 1
. Un calcul direct montre alors que l’on a, pour tout x ∈ F× et tout k ∈ Z,
1 0 x 1 = αk0 1 0 x$2kF 1 α−k0 .
62 Induction parabolique et représentations de la série principale
Comme α0 est contenu dans BS, on déduit de la relation (3.11) que f est fixe sous l’action du groupe U des matrices unipotentes inférieures. Il suffit maintenant de remarquer que l’on a l’égalité matricielle suivante :
w0 = 1 −1 0 1 1 0 1 1 1 −1 0 1
pour conclure que l’action de w0 fixe l’élément f , et donc7 que la droite engendrée par f est stable sous l’action de GS. Elle définit par suite un Fp[GS]-module de dimension 1, qui est nécessairement égal au caractère trivial d’après la Proposition 3.3.1. Ceci implique en particulier que le caractère η, qui est par définition égal à la restriction à BS du Fp[GS]-module engendré par f , doit lui aussi être trivial.
Réciproquement, la fonction constante égale à 1 engendre un sous-Fp[BS]-module de IndGS
BS(1) qui est canoniquement isomorphe au caractère trivial. La Proposition 3.4.4 assure de plus que ce sous-module est d’intersection nulle avec le noyau V de la surjection (3.7), ce qui prouve grâce au Corollaire 3.4.5 que IndGS
BS(1) est somme directe de ses deux sous-quotients irréductibles. Nous avons donc démontré le résultat suivant, qui n’est autre que la seconde partie de la première assertion du Théorème 3.4.1.
Proposition 3.4.7. Le Fp[BS]-module IndGS
BS(η) est décomposable si et seulement si η = 1 est le caractère trivial. Dans ce cas, il est totalement décomposé.
3.4.2 Structure de Fp[GS]-module
Nous allons utiliser les résultats de la sous-section précédente pour déterminer la struc-ture de Fp[GS]-module des représentations de GS obtenues par induction parabolique. Nous obtiendrons ainsi en particulier un critère simple d’irréductibilité pour ces représentations. Proposition 3.4.8. Soit η : BS → F×p un caractère lisse.
1. IndGS
BS(η) est une représentation irréductible de GS si et seulement si η n’est pas le carac-tère trivial.
2. IndGS
BS(1) est un Fp[GS]-module indécomposable de longueur 2. Il admet le caractère trivial comme sous-objet et la représentation de Steinberg StS:= Ind
GS
BS(1)
1 comme quotient. Démonstration. Supposons tout d’abord que IndGS
BS(η) soit un Fp[GS]-module réductible. Le Corollaire 3.4.5 et la Remarque 3.4.6 assurent alors que c’est un objet de longueur 2 qui admet un sous-quotient de dimension 1, celui-ci étant nécessairement le caractère trivial d’après la Proposition 3.3.1. Ceci implique que le caractère trivial est un sous-quotient du Fp[BS]-module IndGS
BS(η), dont le seul sous-quotient de dimension 1 est η. On en déduit donc que l’on doit avoir η = 1.
Réciproquement, la fonction constante égale à 1 engendre un sous-Fp[GS]-module de IndGS
BS(1) isomorphe au caractère trivial. Le Corollaire 3.4.5 assure donc que le Fp[GS]-module IndGS
BS(1) est de longueur 2 avec pour quotient la représentation StS := Ind
GS
BS(1)
1 . C’est toutefois un module indécomposable : si ce n’était pas le cas, la Remarque 3.4.6 impliquerait alors que le sous-espace des fonctions de IndGS
BS(1) à support dans BSw0U , qui n’est autre que le sous-Fp[BS]-module V introduit dans la Section 3.4.1, est stable sous l’action de GS. Ceci est faux puisque pour tout sous-groupe ouvert compact U0 de U , l’image de la fonction indicatrice de
3.4.3 - Espaces de vecteurs invariants sous IS(1) 63
l’ouvert BSw0U0 sous l’action de w0 est égale à la fonction indicatrice du fermé BSU0, où U0 := w0U0w0 est un sous-groupe ouvert compact de U , et n’est donc pas à support dans BSw0U .
Une conséquence immédiate de ce résultat concerne le comportement des représentations non supercuspidales vis-à-vis de la conjugaison par α. Elle nous sera très utile lorsque nous devrons nous préoccuper de l’influence de nos choix de compacts maximaux sur nos résultats (voir Section 3.5.5 pour plus de détails).
Proposition 3.4.9. Si V est une Fp-représentation lisse irréductible non supercuspidale de GS sur Fp, alors Vα et V sont des représentations isomorphes de GS sur Fp.
Démonstration. On rappelle qu’une représentation lisse irréductible non supercuspidale est une représentation qui apparaît comme sous-quotient d’une représentation induite parabolique de la forme IndGS
BS(η) avec η : BS → F×p caractère lisse. La Proposition 3.4.8 assure donc que si V est une représentation lisse irréductible non supercuspidale de GS sur Fp, elle se trouve dans l’un des trois cas suivants :
– V est une représentation de la forme IndGS
BS(η) avec η : BS → F×p non trivial ; – V est le caractère trivial ;
– V est la représentation de Steinberg StS.
Si V est le caractère trivial, il n’y a rien à démontrer. Supposons maintenant que V = IndGS
BS(η) avec η : BS → F×p un caractère lisse. D’après la Proposition 2.2.5, on a
IndGS
BS(η)α ' IndGS
BαS(ηα) .
Puisque α fixe point par point le tore TS, on a immédiatement ηα = η et BSα = BS, ce qui fournit l’isomorphisme annoncé dans ce cas.
Enfin, si V est la représentation de Steinberg, on sait grâce à la Proposition 3.4.8 que V est l’unique quotient du Fp[GS]-module IndGS
BS(1). Cela implique que Vα est quotient de la représentation IndGS
BS(1)α ' IndGS
BS(1), donc que Vα est isomorphe à la représentation de Steinberg StS, ce qui termine la démonstration.
Remarque 3.4.10. Comme nous l’avons démontré dans la preuve ci-dessus, l’énoncé de la Proposition 3.4.9 est encore valable lorsque V = IndGS
BS(1), qui n’est pas un Fp[GS]-module irréductible8.
3.4.3 Espaces de vecteurs invariants sous IS(1)
Le Lemme 3.2.8 fournit la décomposition en doubles classes ouvertes disjointes GS = BSIS(1) t BSβ0IS(1)
qui assure en particulier que tout élément IS(1)-invariant de IndGS
BS(η) est entièrement déter-miné par ses valeurs en I2 et en β0. Ceci implique donc directement le résultat suivant. Proposition 3.4.11. L’espace des vecteurs IS(1)-invariants de IndGS
BS(η) est de dimension 2 sur Fp. Il est engendré par la famille de fonctions IS(1)-invariantes {`1,η, `2,η} satisfaisant aux égalités suivantes :
`1,η(I2) = 1 ; `2,η(I2) = 0 ; `1,η(β0) = 0 ; `2,η(β0) = 1 .
64 Induction parabolique et représentations de la série principale
Remarque 3.4.12. Si l’on reprend les notations de la Section 3.4.1, on voit par exemple que V est le Fp[BS]-module engendré par la fonction `2,η tandis que le quotient η est engendré par l’image de `1,η sous l’application d’évaluation en I2.
Etudions maintenant l’action du sous-groupe d’Iwahori IS sur ces deux fonctions. Si i est un élément de IS = TS(kF)IS(1), on peut l’écrire sous la forme i = ti1 avec t ∈ TS(O×F) et i1 ∈ IS(1). On a alors :
∀ f ∈IndGS
BS(η) IS(1)
, ∀ x ∈ GS, (i · f )(x) = (t · f )(x) = f (xt) . (3.12)
La décomposition GS= BSIS(1) t BSβ0IS(1) permet alors de distinguer deux possibilités pour l’élément x ∈ GS.
– Ou bien x = bξ avec b ∈ BS et ξ ∈ IS(1), auquel cas l’on a xt = bt(t−1ξt). Comme t ∈ TS(OF×) normalise IS(1) et comme f est supposée invariante sous l’action de IS(1), on obtient ainsi que
(t · f )(x) = η(bt)f (1) = η(t)f (b) = η(t)f (x) . (3.13) – Ou bien x = bβ0ξ avec b ∈ BS et ξ ∈ IS(1), auquel cas on peut cette fois écrire que xt = b(β0tβ−10 )β0(t−1ξt) avec t−1ξt ∈ IS(1) et β0tβ0−1∈ TS(O×F). On en déduit donc que l’on a
(t · f )(x) = η(bβ0tβ−10 )f (β0) = η(β0tβ0−1)f (bβ0) = η(β0tβ0−1)f (x) . (3.14) Par conséquent, si l’on note η+ et η− les Fp-caractères lisses de IS respectivement obtenus par inflation de la restriction à TS(OF×) des caractères η et ηw0 := η(w0.w−10 ), on obtient le résultat suivant.
Lemme 3.4.13. Le sous-groupe d’Iwahori IS agit respectivement sur les fonctions `1,η et `2,η par les caractères η+ et η−. Autrement dit, on a :
∀ i ∈ IS,
i · `1,η = η+(i)`1,η ; i · `2,η = η−(i)`2,η .
Ceci montre en particulier que IndGS
BS(η) admet au plus deux composantes IS-isotypiques non nulles, à savoir celles associées à η+et à η−. Remarquons en outre que l’égalité w20 = I2implique grâce à un calcul direct que η+ = 1 si et seulement si η est un caractère non ramifié9 de F×, ce qui prouve en particulier le résultat suivant.
Corollaire 3.4.14. Soit η : BS→ F×p un caractère lisse. 1. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) IndGS
BS(η) admet des vecteurs IS-invariants non nuls ; ii) η+ = 1 ;
iii) η− = 1 ;
iv) η est non ramifié.
2. Pour tout caractère lisse non ramifié η : BS→ F×p, on a
IndGS
BS(η)IS =IndGS
BS(η)IS(1) .
3.4.3 - Espaces de vecteurs invariants sous IS(1) 65
Passons maintenant à l’étude de l’espace des vecteurs IS(1)-invariants de la représentation de Steinberg.
Proposition 3.4.15. L’espace des vecteurs IS(1)-invariants du Fp[GS]-module StS est de di-mension 1 sur Fp. Plus précisément, on dispose de la suite exacte courte suivante de Fp-espaces vectoriels :
1 −→ 1 −→ (IndGS
BS(1))IS(1) −→ (StS)IS(1) −→ 1 . (3.15) Démonstration. On commence par appliquer le foncteur des IS(1)-invariants, qui est exact à gauche, à la suite exacte courte de Fp[GS]-modules
1 −→ 1 −→ IndGS
BS(1) −→ StS−→ 1
définissant la représentation de Steinberg. On obtient ainsi la suite exacte suivante de Fp-espaces vectoriels :
1 −→ Fp1GS −→ Fp`1,1⊕ Fp`2,1 −→ (StS)IS(1)
. (3.16)
Prouver la proposition revient donc à démontrer la surjectivité de la flèche de droite dans la suite exacte (3.16). Pour cela, considérons un élément f ∈ (StS)IS(1)
et un relèvement ˜f ∈ IndGS
BS(1) de f . Nous voulons prouver que ˜f est invariant sous l’action de IS(1). Tout d’abord, l’hypothèse de IS(1)-invariance sur f se traduit de la manière suivante pour ˜f :
∀ i ∈ IS(1), ∃ λ(i) ∈ Fp | i · ˜f − ˜f = λ(i)1GS . (3.17) Pour conclure, nous allons prouver que la fonction λ : IS(1) → Fpest identiquement nulle. Pour ce faire, on commence par rappeler que l’on dispose, par définition des éléments de IndGS
BS(1), des identités suivantes :
∀ b ∈ BS, ∀ x, i ∈ IS(1),
(i · ˜f − ˜f )(bx) = ˜f (xi) − ˜f (x) ;
(i · ˜f − ˜f )(bw0x) = ˜f (w0xi) − ˜f (w0x) . (3.18) On remarque ensuite que λ est un homomorphisme de groupes puisqu’il vérifie :
∀ u, v ∈ IS(1), λ(uv)1GS = u · (v · ˜f ) − u · ˜f + u · ˜f − ˜f
= u · ( ˜f + λ(v)1GS) − u · ˜f + λ(u)1GS = (λ(u) + λ(v))1GS ,
la dernière égalité provenant de l’invariance de la fonction 1GS sous l’action de IS(1). Nous obtenons donc que λ(uv) = λ(u) + λ(v) pour tous éléments u, v ∈ IS(1).
Sachant d’une part que IS(1) est engendré par U (OF), U (pF) et TS(1 + pF), et d’autre part que la relation (3.17) implique que λ(u) = (u · ˜f − ˜f )(I2) pour tout élément u ∈ IS(1), on peut conclure comme suit : l’appartenance de ˜f à IndGS
BS(1) assure que pour tout élément u de U (OF) ou de TS(1 + pF), on a λ(u) = 0. Par ailleurs, si u = w−10 vw0∈ U (pF) avec v ∈ U (pF), la seconde relation de (3.18) assure que l’on a λ(u) = λ(w−10 vw0) = ˜f (vw0) − ˜f (w0) = 0 car v est contenu dans BS.
L’homomorphisme λ étant nul sur un système générateur de IS(1), il est identiquement nul et ˜
f est bien un élément IS(1)-invariant de IndGS
BS(1).
Corollaire 3.4.16. Pour tout caractère lisse η : BS → F×p, la représentation de GS portée par IndGS
BS(η) est engendrée par l’espace de ses vecteurs IS(1)-invariants.
Démonstration. Si η n’est pas le caractère trivial, la Proposition 3.4.8 assure que la représen-tation IndGS
66 Induction parabolique et représentations de la série principale
à présent que η = 1 et considérons un élément ˜F de IndGS
BS(1). Comme StS est une représen-tation irréductible de GS, elle est engendrée par ses vecteurs IS(1)-invariants, et l’image de ˜F dans le quotient StS est donc de la forme X
j∈J
gj· fj avec J un ensemble fini d’indices et, pour
tout j ∈ J , gj ∈ GS et fj ∈ (StS)IS(1). La suite exacte courte (3.15) permet de relever chaque fj en un élément Fj ∈ IndGS
BS(1) IS(1)
et assure que la différence ˜F −X
j∈J
gj · Fj est alors contenue dans 1, ce qui signifie qu’elle est égale à une fonction constante ` qui est évidemment IS(1)-invariante. Nous obtenons finalement une écriture de ˜F sous la forme ` +X
j∈J
gj· Fj avec `
et les fonctions Fj qui sont des éléments IS(1)-invariants de IndGS
BS(1), ce qui prouve le résultat annoncé.
Remarque 3.4.17. Une seconde démonstration possible consiste à adapter ligne à ligne les arguments développés pour GL2 par Barthel-Livné [BL95, Section 3] : elle est effectuée dans la Section 7.1.
3.4.4 Absence d’isomorphismes non triviaux
Commençons par remarquer que puisque le caractère trivial est le seul Fp[GS]-module de dimension finie qui apparaît parmi les sous-quotients possibles des représentations de la forme IndGS
BS(η), il ne peut pas être isomorphe à une représentation paraboliquement induite ou à la représentation de Steinberg, qui sont quant à elles de dimension infinie sur Fp.
Rappelons ensuite que si deux représentations de GSsont isomorphes, leurs espaces de vecteurs IS(1)-invariants doivent être isomorphes comme Fp-espaces vectoriels. Les Propositions 3.4.11 et 3.4.15 excluent donc toute possibilité d’isomorphisme entre la représentation de Steinberg et une représentation de la forme IndGS
BS(η).
Il nous reste à étudier l’existence éventuelle d’un isomorphisme entre deux représentations obtenues par induction parabolique. Si η et χ sont deux Fp-caractères lisses de BS, on sait par réciprocité de Frobenius lisse (Proposition 2.2.1) que
HomGS(IndGS
BS(η), IndGS
BS(χ)) = HomBS(IndGS
BS(η)|BS, χ) .
Une condition nécessaire pour qu’il existe un isomorphisme de Fp[GS]-modules entre IndGS
BS(η) et IndGS
BS(χ) est donc que χ soit un quotient du Fp[BS]-module IndGS
BS(η), ce qui n’est pos-sible que si χ = η d’après la Remarque 3.4.6. Cette même remarque assure que χ est un quotient de multiplicité 1 de IndGS
BS(χ), ce qui montre que la dimension sur Fp de l’espace EndGS(IndGS
BS(χ)) = HomBS(IndGS
BS(χ), χ) doit être égale à 1.
Si l’on récapitule, on voit que l’on a finalement démontré le résultat suivant.
Proposition 3.4.18. Il n’existe pas d’isomorphisme non trivial entre représentations non su-percuspidales. Autrement dit : si π1 et π2 sont deux représentations non supercuspidales de GS sur Fp, alors π1 et π2 sont isomorphes si et seulement s’il existe un caractère lisse η : BS → F×p
tel que π1 = π2 = IndGS
BS(η). Dans ce cas, l’espace d’entrelacements EndGS(IndGS
BS(η)) est de dimension 1 sur Fp.
3.4.5 - Lien avec les représentations non supercuspidales de GL2(F ) 67
3.4.5 Lien avec les représentations non supercuspidales de GL2(F )
Commençons par rappeler le résultat suivant [BL94, Theorem 30], qui décrit (à torsion par un Fp-caractère lisse de G près) la structure de Fp[G]-module des représentations de GL2(F ) obtenues par induction parabolique des Fp-caractères lisses du sous-groupe de Borel B.
Théorème 3.4.19. Soit η : F×→ F×p un caractère lisse.
1. Si η n’est pas le caractère trivial, alors la représentation de G portée par IndGB(η ⊗ 1) est irréductible.
2. La représentation IndGB(1) est de longueur 2 ; elle contient comme unique sous-objet la représentation triviale, et son quotient est égal à la représentation de Steinberg St. Nous démontrons maintenant le résultat suivant, qui établit un lien très fort entre repré-sentations non supercuspidales de SL2(F ) et de GL2(F ).
Théorème 3.4.20. Pour tout Fp-caractère lisse η de F×, l’application de restriction à GS induit un isomorphisme de Fp[GS]-modules :
IndGB(η ⊗ 1)|GS ' IndGS
BS(η) , ainsi qu’un isomorphisme de Fp[GS]-modules entre St|GS et StS.
Démonstration. Sachant que G = BGS, l’isomorphisme entre les représentations IndGB(η⊗1)|GS et IndGS
BS(η) s’obtient directement par application de la décomposition de Mackey pour les induites lisses.
On dispose alors en particulier d’un isomorphisme de Fp[GS]-modules IndGB(1)|GS ' IndGS
BS(1) qui induit un morphisme injectif de Fp[GS]-modules
IndGB(1)/1 ,→ IndGS
BS(1)/1 .
Le membre de droite (resp. de gauche) de cette application est par définition égal à StS (resp. à St|GS), ce qui permet de conclure par irréductibilité de StS que l’on a bien St|GS ' StS et termine la démonstration.
Pour prouver ce théorème, on commence par remarquer que les induites paraboliques attachées à G sont naturellement munies d’une structure de sous-Fp[GS]-module des induites paraboliques attachées à GS qui leur correspondent. Plus précisément, on dispose de l’énoncé suivant, qui est une conséquence directe de la décomposition de Mackey pour les induites lisses (Proposition 2.2.8) puisque l’on a G = BGS.
Proposition 3.4.21. Pour tout caractère lisse η : F×→ F×p, l’application de restriction à GS définit un plongement de Fp[GS]-modules
IndGB(η ⊗ 1)|GS ,→ IndGS
BS(η) .
Remarque 3.4.22. Le Théorème 3.4.20 permet de déduire le fait suivant à partir des résultats de la Section 3.4.3 et de Barthel-Livné ([BL94, Lemma 28 & Corollary 36(1)] et [BL95, Lemma 27]) : si W est une représentation lisse de G sur Fp qui est sous-quotient d’une représentation de la forme IndGB(η) avec η : B → F×p caractère lisse, et si V désigne sa restriction à GS, alors WI(1)= VIS(1).
68 Classification des représentations lisses irréductibles de SL2(F )