Les foncteurs d’induction

i=1

Stab_P(vi) : c’est de nouveau un sous-groupe d’indice fini dans P , et il agit trivialement sur la représentation ρ, ce qui permet de factoriser l’action de P sur ρ à travers le p-groupe fini P/S et de terminer la démonstration car l’on a alors

0 6= ρ^{P /S} = ρ^P ⊂ π^P .

2.2 Les foncteurs d’induction

Si π est une représentation lisse de G sur C, on peut se limiter à ne considérer que l’action de H sur π. On définit ainsi une représentation lisse de H sur C que l’on note π|_H, et un foncteur de restriction à H allant de la catégorie des représentations lisses de G sur C vers celle des représentations lisses de H sur C.

Réciproquement, il existe deux constructions fonctorielles standard qui nécessitent chacune une hypothèse topologique sur le sous-groupe H et définissent des foncteurs allant de la catégorie des représentations lisses de H sur C vers celle des représentations lisses de G sur C : l’induc-tion lisse et l’inducl’induc-tion compacte.

2.2.2 - Induction compacte 41

restriction, comme en témoignent les réciprocités de Frobenius qui leur sont attachées (Propo-sitions 2.2.1 et 2.2.3).

2.2.1 Induction lisse

Supposons que H soit un sous-groupe fermé de G et que (σ, V ) soit une représentation lisse de H sur C. On note Ind^G_H(σ) la représentation lisse de G sur C dont l’espace vectoriel sous-jacent est l’ensemble des fonctions f : G → V uniformément localement constantes telles que

∀ g ∈ G, ∀ h ∈ H, f (hg) = σ(h)f (g) , sur lesquelles G agit par translations à droite :

∀ (g, x) ∈ G × G, (g · f )(x) := f (xg) .

Cette construction définit un foncteur Ind^G_H, dit d’induction lisse, allant de la catégorie des représentations lisses de H sur C vers celle des représentations lisses de G sur C. L’énoncé suivant, connu sous le nom de réciprocité de Frobenius lisse, affirme que le foncteur d’induction lisse est un adjoint à droite du foncteur de restriction.

Proposition 2.2.1 (Réciprocité de Frobenius lisse). Soient π une représentation lisse de G sur C et σ une représentation lisse de H sur C. L’application [f 7→ f (·)(1)] établit alors un isomorphisme de C-espaces vectoriels :

Hom_G(π, Ind^G_H(σ)) = Hom_H(π|_H, σ) .

Démonstration. Nous renvoyons à [Vig96, Section I.5.7.i)] pour une preuve détaillée, qui consiste à vérifier que les deux applications suivantes définissent bien l’isomorphisme annoncé : – si Φ est un élément de Hom_G(π, Ind^G_H(σ)), on lui associe la fonction φ : π|H → σ définie

par φ(v) := Φ(v)(1).

– Réciproquement, un élément φ ∈ Hom_H(π|_H, σ) s’envoie sur la fonction Φ : π → Ind^G_H(σ) définie par Φ(v) := [g 7→ φ(gv)].

Un cadre de travail qui nous intéressera particulièrement est le suivant : G est le groupe des points rationnels d’un groupe réductif p-adique connexe défini et quasi-déployé sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p > 0 et de corps résiduel fini, H = LU est un sous-groupe parabolique de G de radical unipotent U et admettant L comme sous-groupe de Levi, et σ est une représentation lisse irréductible de H sur C obtenue par inflation d’une représentation lisse irréductible admissible de L sur C. Dans ce cas, la représentation Ind^G_H(σ) est appelée l’induite parabolique (à partir de H) de σ à G. Ces représentations permettent d’introduire la terminologie suivante : une représentation lisse irréductible de G sur C est dite :

– supercuspidale si elle n’est isomorphe à aucun sous-quotient d’une représentation para-boliquement induite à partir d’un sous-groupe parabolique propre de G ;

– de la série principale de G si elle est de la forme Ind^G_B(η) avec B sous-groupe de Borel de G et η : B → C^× caractère lisse de B.

2.2.2 Induction compacte

On suppose maintenant que H est un sous-groupe ouvert de G et que (σ, V ) est une représentation lisse de H sur C. On note ind^G_H(σ) la représentation lisse de G sur C dont

42 _{Les foncteurs d’induction}

l’espace vectoriel sous-jacent est l’ensemble des fonctions f : G → V uniformément localement constantes à support compact modulo H (à gauche) et telles que

∀ g ∈ G, ∀ h ∈ H, f (hg) = σ(h)f (g) , sur lesquelles G agit par translations à droite :

∀ (g, x) ∈ G × G, (g · f )(x) := f (xg) .

Cette construction définit un foncteur ind^G_H, dit d’induction compacte, allant de la catégorie des représentations lisses de H sur C vers celle des représentations lisses de G sur C.

Remarquons que si H est un sous-groupe ouvert de G, il est aussi fermé et l’on peut alors définir les deux induites Ind^G_H(σ) et ind^G_H(σ). Il est clair que, dans ce cas, ind^G_H(σ) est une sous-représentation de Ind^G_H(σ), et l’on dispose de plus de la propriété suivante [Vig96, I.5.2.a)]. Proposition 2.2.2. Soit H un sous-groupe ouvert de G tel que le quotient H\G soit compact³. On a alors, pour toute représentation lisse σ de H sur C,

ind^G_H(σ) = Ind^G_H(σ) .

Les éléments de ind^G_H(σ) à support dans une seule classe à droite modulo H sont appelés des fonctions standard. Pour toute paire (g, v) ∈ G × σ, on notera [g, v] la fonction standard définie par l’expression suivante :

∀ x ∈ G, [g, v](x) := 

σ(xg)(v) si x ∈ Hg⁻¹ ,

0 si x 6∈ Hg⁻¹ . ^(2.2)

Autrement dit, la fonction standard [g, v] est l’unique élément de ind^G_H(σ) dont le support est égal à Hg⁻¹ et qui vaut v en g⁻¹. Il est alors facile de voir que si H est un sous-groupe ouvert compact de G, on peut écrire tout élément de ind^G_H(σ) comme une combinaison linéaire finie de fonctions standard. On dispose en outre des deux propriétés suivantes, qui découlent immédiatement de la définition (2.2) :

i ) ∀ (g, g1) ∈ G × G, ∀ v ∈ σ, g([g1, v]) = [gg1, v] ; ii ) ∀ g ∈ G, ∀ h ∈ H, ∀ v ∈ σ, [gh, v] = [g, σ(h)(v)].

Il existe aussi une réciprocité de Frobenius pour le foncteur d’induction compacte, qui est cette fois un adjoint à gauche du foncteur de restriction.

Proposition 2.2.3 (Réciprocité de Frobenius compacte). Soient π une C-représentation lisse de G et σ une C-représentation lisse de H. L’application [f 7→ f ([1, ·])] établit un isomorphisme de C-espaces vectoriels :

Hom_G(ind^G_H(σ), π) = Hom_H(σ, π|_H) .

Démonstration. Nous renvoyons à [BL94, Section 2.1] pour le détail de la preuve, qui consiste à vérifier que les deux applications suivantes définissent bien l’isomorphisme annoncé :

– si φ ∈ Hom_H(σ, π|H), on lui associe la fonction Φ : ind^G_H(σ) → π définie par Φ(f ) := ^X

x∈H\G

π(x⁻¹)φ(f (x)) .

– Réciproquement, on associe à Φ ∈ Hom_G(ind^G_H(σ), π) l’application φ : σ → π|H définie par φ(v) := Φ([1, v]).

Remarque 2.2.4. La représentation ind^G_H(σ) est isomorphe à la représentation lisse de G portée par le C[G]-module C[G] ⊗_C[H]V . Sous cet isomorphisme, la réciprocité de Frobenius compacte énoncée ci-dessus reflète alors la propriété universelle du produit tensoriel.

2.2.3 - Induction et conjugaison 43

2.2.3 Induction et conjugaison

Les représentations de G obtenues par l’un ou l’autre des procédés d’induction décrits dans la section précédente ont un comportement assez plaisant vis-à-vis de la conjugaison, comme en atteste la proposition suivante.

Proposition 2.2.5. Soient H un sous-groupe ouvert de G, (σ, V ) une représentation lisse de H sur C et g un élément de G. La conjugaison par g définit des isomorphismes de C[G]-modules de la forme suivante :

Ind^G_H(σ)
g

' Ind^G_Hg(σ^g) ; ind^G_H(σ)
g

' ind^G_Hg(σ^g) .

Démonstration. On effectue la démonstration dans le cas de l’induction compacte, le cas de l’induction lisse se traitant par le même argument. Pour tout élément f de ind^G_H(σ)
g

, on définit la fonction Φ(f ) par la formule suivante :

∀ x ∈ G, Φ(f )(x) := f (g⁻¹xg) .

Cette fonction est définie sur G et elle est bien lisse puisqu’elle est fixe sous l’action du sous-groupe ouvert g(Stab_G(f ))g⁻¹. Elle est à support compact modulo gHg⁻¹= H^get, tout comme f , à valeurs dans l’espace V qui est aussi l’espace vectoriel sous-jacent de la représentation σ^g. Elle satisfait en outre la propriété suivante (x ∈ G et h ∈ H^g) :

Φ(f )(hx) = f (g⁻¹hxg) = f (g⁻¹hgg⁻¹xg) = σ(g⁻¹hg)Φ(f )(x) = σ^g(h)Φ(f )(x) ,

la troisième égalité venant de l’appartenance de g⁻¹hg à H. Tout ce qui précède permet donc d’affirmer que l’opérateur

Φ : ind^G_H(σ)
^g → ind^G_Hg(σ^g)

est bien défini. Il est clairement C-linéaire et sa G-équivariance est prouvée par le calcul suivant : ∀ x, y ∈ G, (x · Φ(f ))(y) = Φ(f )(yx)

= f (g⁻¹yxg) = f (g⁻¹ygg⁻¹xg) = (x · f )(g⁻¹yg) = Φ(x · f )(y) .

L’injectivité et la surjectivité de Φ sont immédiates puisque l’on a f (x) = Φ(f )(gxg⁻¹) pour tous éléments x ∈ G et f ∈ ind^G_H(σ)
^g.

Remarque 2.2.6. La démonstration et l’énoncé de la Proposition 2.2.5 sont encore valables dans la situation suivante : G est un sous-groupe fermé d’un groupe topologique ˜G, H est un sous-groupe ouvert de G (ou seulement fermé si l’on ne s’intéresse qu’à l’induction lisse) et g est un élément de ˜G tel que gGg⁻¹ = G. Nous utiliserons ce cadre de travail lorsque nous considérerons G = SL₂ comme un sous-groupe de ˜G = GL2 (voir Section 3.5).

Nous terminons par un résultat qui permet, sous certaines hypothèses, de décomposer la res-triction à un sous-groupe K de G d’une représentation obtenue par induction compacte en une somme directe de représentations de K obtenues par induction compacte à partir de divers sous-groupes : c’est la décomposition de Mackey, dont une preuve est donnée dans [Vig96, Section I.5.4.v)].

44 _{Algèbres de Hecke et espaces de vecteurs invariants}

Proposition 2.2.7 (Décomposition de Mackey). Soient H et K deux sous-groupes fermés de G tels que les doubles classes HgK (g ∈ G) soient à la fois ouvertes et fermées, ce qui est par exemple le cas lorsque l’un des deux groupes H ou K est ouvert. Pour toute représentation lisse σ de H sur C, la restriction à K induit un isomorphisme de Fp[K]-modules :

ind^G_H(σ)|K '^M

x

ind^K_K∩Hx(σ^x) , (2.3)

où x parcourt un système de représentants dans G de H\G/K.

Il existe aussi une décomposition de Mackey pour les induites lisses, dont nous ne donnons pas d’énoncé général car nous n’en aurons pas l’utilité. Nous mentionnons cependant le cas particulier suivant, qui est notamment vérifié lorsque G admet une décomposition de type Iwasawa.

Lemme 2.2.8. Supposons que G = BK avec B et K deux sous-groupes fermés de G.

1. Si σ est une C-représentation lisse de B, la restriction à K induit un isomorphisme de C[K]-modules

Ind^G_B(σ)|K ' Ind^K_B∩K(σ) .

2. Si V est une C-représentation lisse de K, la restriction à B induit un isomorphisme de C[B]-modules

ind^G_K(V )|_B ' indB

K∩B(V ) .

Nous renvoyons le lecteur intéressé par plus de détails à [Vig96, Section I.5.5].