Incertitudes sur la temp´ erature

III.4.1 Facteurs d’incertitudes

Lors de la phase de calcul, un champ thermique nominal est consid´er´e pour chaque

´etat thermique j. Le champ r´eel peut l´eg`erement varier en fonction de nombreux pa-ram`etres (mod`ele thermique, temp´erature ext´erieure, qualit´e du refroidissement etc.).

L’incertitude sur le champ thermique de chaque pi`ece implique ´egalement une incer-titude sur le champ de d´eplacements r´esultant, et donc sur les d´eplacements calcul´es permettant de s’assurer du respect des exigences. Le but n’est pas de d´eterminer l’in-certitude associ´ee en fonction de chaque param`etre mais de consid´erer l’effet sur les exigences d’apr`es une estimation du champ de d´eplacements `a chaque ´etat thermique.

La figure III.32 montre que par rapport `a une situation nominale, les variations de temp´erature induisent une variation de position des points P_h et P_b. Il faut rechercher la situation au pire des cas qui maximise le d´eplacement du point F.

Figure III.32– Incertitude sur les points de contact des paliers

Il faut donc ajouter un terme d’incertitude dans les ´equations. La variation totale d’un pointF dans la direction −→

f `a un ´etat j devient donc :

f ) repr´esente l’influence globale des incertitudes au point F dans la direction −→

f `a l’´etat j. Son estimation `a partir de ∆^j ´evite de faire des cal-culs suppl´ementaires pour tous les champs thermiques envisag´es.

III.4.2 Estimation des incertitudes

Afin d’estimer les valeurs des incertitudes, on propose deux possibilit´es :

ˆ par estimation lin´eaire ;

ˆ par calcul de la valeur maximale.

Pour la m´ethode par estimation, un calcul initial est r´ealis´e sur les temp´eratures nominales permettant d’obtenir les d´eplacements thermiques ∆^j. Les experts estiment un pourcentage d’incertitude sur le champ thermique complet appliqu´e. Cette valeur est ensuite appliqu´ee au d´eplacement calcul´e pour trouver le d´eplacement dˆu `a l’incertitude.

Si le champ thermique du housing a une erreur de ±10%, le d´eplacement du point P_h dans la direction−→

f `a l’´etat thermique j dˆu aux incertitudes vaut : τ^j(P_h,−→

f) =±10%×e^j(P_h,−→

f) (III.39)

Par la seconde m´ethode, les experts doivent proc´eder `a deux s´eries de calculs par

´etat thermique. La premi`ere s´erie de calculs correspond aux temp´eratures nominales, la seconde correspond aux temp´eratures estim´ees donnant les d´eplacements maximaux.

Cela donne les d´eplacements `a un ´etat thermiquej dus aux effets thermiques nominaux e<sup>j</sup> et ceux dus aux effets thermiques maximauxe<sup>jmax</sup>. L’incertitude `a cet ´etatj est donc la diff´erence de ces deux valeurs. Pour l’´etude au point P_h dans la direction−→

f. τ^j(Ph,−→

f ) =e^jmax(Ph,−→

f)−e^j(Ph,−→

f) (III.40)

III.4.3 Prise en compte de l’incertitude

Les incertitudes sur les d´eplacements sont consid´er´ees centr´ees sur les valeurs ob-tenues avec les temp´eratures nominales. L’´ecart thermique total d’un point P_i dans la direction−→

i en fonction de la temp´erature nominale et de son incertitude `a l’´etatj peut donc ˆetre d´efini par la relation suivante :

e^j_total(P_i,−→

i ) = e^j(P_i,−→

i )±τ^j(P_i,−→

i ) (III.41)

A la diff´erence des effets thermiques nominaux qui peuvent avoir une influence posi-tive ou n´egative, les incertitudes ont un effet global toujours positif pour la recherche d’un d´eplacement au pire des cas. Si les incertitudes sont ind´ependantes (cas de ph´enom`enes al´eatoires), l’effet dˆu `a l’incertitude de chaque point d’analyse doit ˆetre positif. Cela revient `a ajouter les valeurs absolues de l’influence des incertitudes en chaque point d’analyse. En reprenant l’´equation III.36 et en y ajoutant les effets des incertitudes, l’´equation compl`ete du d´eplacement maximal du point F dans la direction −→

f `a un ´etat

L’incertitude de la temp´erature peut ˆetre corr´el´ee. Par exemple la source de cha-leur induisant cette incertitude s’applique aux deux paliers en mˆeme temps. Les ´ecarts peuvent s’ajouter ou se compenser. Il faut donc cumuler les ´ecarts avant de prendre la valeur absolue :

La corr´elation d’incertitudes peut aussi ˆetre prise en compte au sein d’une mˆeme pi`ece. Les dilatations sur les diff´erentes surfaces de contact et surfaces fonctionnelles sont corr´el´ees.

En pratique, on peut avoir un comportement hybride (m´elange d’incertitudes al´eatoires et corr´el´ees). C’est donc aux experts thermiciens d’analyser les causes d’incertitudes et les corr´elations pour estimer l’incertitude globale. Par exemple 30% d’incertitudes al´eatoires et 70% d’incertitudes corr´el´ees, ce qui donne l’incertitude globale :

θ^j(F,−→

Une application num´erique sera pr´esent´ee en III.5.6 pour donner des ordres de gran-deur des effets de ces incertitudes.

III.4.5 Variations des r´ egimes thermiques

Un m´ecanisme r´eel subit des variations thermiques au cours de son utilisation. Cer-tains ´etats thermiques sont stables (r´egimes ´etablis) et d’autre non (r´egimes transitoires).

Par exemple, une mont´ee en temp´erature d’un moteur peut ˆetre consid´er´ee comme une succession de r´egimes transitoires alors qu’une utilisation `a un r´egime moteur fixe sera consid´er´ee comme un r´egime ´etabli.

Le fait que le r´egime soit ´etabli ou transitoire n’est pas impactant pour la m´ethode de calcul propos´ee. En effet, les ´etats thermiques consid´er´es repr´esentent des images thermiques `a un instant donn´e.

III.4.6 R´ egime transitoire

Lors d’un cycle de fonctionnement d’un m´ecanisme, celui-ci peut subir des variations thermiques complexes. Le d´emarrage de l’appareil peut commencer par une phase de

mont´ee en temp´erature. Cette phase peut ˆetre suivie par une phase de r´egime perma-nent et enfin par un retour `a temp´erature ambiante lorsque le m´ecanisme est en phase d’arrˆet. Ces diff´erentes phases sont repr´esent´ees figure III.33. Ce graphique repr´esente les temp´eratures nominales avec leurs incertitudes. Les temp´eratures sont consid´er´ees comme uniformes dans chaque palier en chaque instant. Pour simplifier les calculs, l’arbre et le support ne subissent pas de variations thermiques.

Figure III.33– R´egime thermique transitoire sur les deux paliers

Les courbes des temp´eratures sont complexes. Il est compliqu´e de d´efinir pr´ecis´ement

`

a quel instant le d´eplacement du point F sera maximal. Aussi, on discr´etise les courbes en diff´erents instants qui seront les diff´erents ´etats thermiques j `a ´etudier. D’apr`es les hypoth`eses consid´er´ees et l’´equation III.42 devient :

δ^h(−−→

Cela permet de tracer les courbes de l’influence thermique ∆^j et de sa valeur avec incertitude ∆^j +θ^j pour chaque ´etat j :

Figure III.34 – D´eplacement au pointF

Cette courbe permet de d´etecter la situation critique (ici pour l’´etat j = 90) qui donne l’effet maximum de F dans la direction−→

f.

La dilatation ´etant ind´ependante des tol´erances, il suffit d’´etudier l’exigence unique-ment pour cet ´etat thermique.