Incertitudes associées

Différents paramètres peuvent influer sur les résultats issus de la mesure 3D :

incertitudes liées à l’instrumentation, à la fluctuation de la température lors de la

mesure. L’impact de ces différents contributeurs a été quantifiée.

III.2.2.1 Incertitudes liées à l’instrumentation

Ne disposant que d’une seule mesure 3D, la dispersion des résultats a été

mo-délisée en considérant pour chaque point mesuré, une incertitude liée à l’instrument

de mesure (géométrie et état de surface du système de palpation, répétabilité,

re-productibilité, bruit de mesure...).

L’évaluation de cette incertitude sur les coordonnées de points est issue des

caractéristiques de la machine à mesurer tridimensionnelle. L’indication donnée par

le fabricant concerne l’incertitude sur une mesure de longueur L est de type : L =

a+bL. On peut en déduire une forme simplifiée de l’incertitude (en µm) sur les

coordonnées de points :

σ =

q

a

²

+ (bL)

²

k ^, (III.5)

où k est le facteur d’élargissement, L la longueur mesurée en mm. a et b sont des

constantes données par le fabricant de la machine à mesurer tridimensionnelle :

a= 3.3, b= 3.3/1000.

J’ai effectué une étude de Monte Carlo en appliquant sur chaque point de

mesure 3D (surface optique, contour, billes de référence) une loi normale d’écart

typeσ. Comme le montre l’équation III.5, l’incertitude considérée varie en fonction

de la position du point mesuré dans le volume de mesure. La distribution est par

conséquent appliquée sur les données brutes.

A chaque itération la méthode de traitement de données du nuage 3D est

appliquée. J’en déduis l’écart type associée à chaque paramètre issu de cette mesure.

Le tableau III.2 présente les résultats obtenus par étude de Monte Carlo, pour

l’ensemble des paramètres issus du nuage 3D. L’incertitude est indiquée avec un

coefficient d’élargissement de 3.

L’incertitude de positionnement dans le repère optique est estimée égale à

la valeur moyenne des incertitudes obtenues sur les 3 axes lors du changement de

repère, soit _±60 µm pour les coordonnées (x, y, z) et _±0.003° pour les rotations

autour des axes Ox et Oy.

Le calcul a également été effectué en appliquant une incertitude sur les points

mesurés sur la surface optique et sur le contour mais pas sur les points palpés sur les

billes de référence. Ce calcul complémentaire montre que l’incertitude liée au calcul

III.2. Caractéristiques optiques et mécaniques à température

ambiante 81

Table III.2: Incertitudes sur les caractéristiques optiques et sur le changement

de repère, entre le repère de mesure et le repère optique (liées à l’incertitude sur

l’instrumentation).

Caractéristiques optiques

Rayon de courbure _±21 µm

Constante de conicité _±3.10

−4

Décentrement _±96 µm

Changement de repère

Translation en x _±60 µm

Translation en y _±99 µm

Translation en z _±3 µm

Rotation autour de l’axe x _±0.003°

Rotation autour de l’axe y _±0.003°

Rotation autour de l’axe z _±0.003°

du centre de la bille est négligeable par rapport à celle liée au changement de repère

(incertitude inférieure à 1µm en x, y et inférieure à 2µm en z). Les points palpés sur

les billes étant répartis sur une demi sphère, les zones de dispersion autour des points

ont tendance à s’annuler par symétrie. L’incertitude sur les coordonnées du centre

des billes est donc égale à l’incertitude de positionnement dans le repère optique.

A chaque itération de l’étude de Monte Carlo, les paramètres optiques obtenus

sont utilisés pour calculer le meilleur point de focalisation sous Zemax. La dispersion

de positions obtenues sous Zemax, ne prend cependant pas en compte l’incertitude

sur le changement de repère.

La position du foyer et les paramètres liés au changement de repère sont en

effet fortement corrélés, l’optimisation étant effectuée simultanément sur l’ensemble

des paramètres. La position de la surface quadrique dans le repère va influer sur

le résultat de l’optimisation des paramètres optiques. L’incertitude totale sur la

coordonnée du foyer et la rotation du miroir est définie par :

σ

_x

=

v u u u t n X i=1

σ

²_ai

+ 2

ⁿ⁺¹X i=1 n X j=i+1

σ(a

_i

, a

_j

), (III.6)

où a

_i

est l’ensemble des paramètres influant sur l’incertitude de la coordonnée (par

exemple pour la coordonnées x du foyer, on considère la coordonnées x du foyer

obte-nue sous Zemax ainsi que les coordonnées x, y, z du vertex obteobte-nue par optimisation

sur le nuage de données 3D).

Les incertitudes sur la position du foyer et sur les rotations du miroir sont ainsi

respectivement évaluées à _±150 µm et _±0.003°.

82 Chapitre III. Performances en vol du miroir primaire

III.2.2.2 Incertitudes liées aux fluctuations de température

Pour calculer les caractéristiques optiques en fonction de la température, on

applique sur le nuage de points 3D une homothétieH

_Ω,α

. Les coordonnées théoriques

du centre d’homothétie Ω correspondent au centre de gravité des points de fixation

du miroir sur la plaque d’interface. Le coefficient α est le coefficient de dilatation

que l’on estime linéaire sur la plage de température utilisée :

∆L

L =α(T

_{f inal}

₋T

_initial

), (III.7)

où L est la longueur avant homothétie et T la température.

Par conséquent, plusieurs paramètres interviennent dans le calcul d’incertitude

lié à la fluctuation de température pendant la mesure :

- la température de la salle de mesure, pendant la mesure 3D chez le fournisseur

et les caractérisations en laboratoire, régulée à 21 °C _± 1 °C,

- l’incertitude sur les coordonnées du centre d’homothétie estimée à _±1 mm, à

partir des tolérances de fabrication,

- le coefficient de dilatation mesuré sur un échantillon de substrat et estimé à 23.6

µm/m/K avec une incertitude de_±5 % sur la pente de la courbe (figure III.16).

y = 23.6-06x + 5-04 R = 0.9996 0.0E+00 2.0E-04 4.0E-04 6.0E-04 8.0E-04 1.0E-03 1.2E-03 1.4E-03 1.6E-03 1.8E-03 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Température (°C) d L /L o

Figure III.16: Coefficient de dilatation en fonction de la température.

L’impact des paramètres (température, centre d’homothétie, coefficient de

di-latation) est estimé séparément pour quantifier leur influence sur le résultat. La

distribution est appliquée sur le nuage de points préalablement positionné dans le

repère optique. On suppose que ces facteurs d’influence suivent une loi uniforme, le

coefficient d’élargissement utilisé dans ce cas est k=^√3.

Le résultat des études de Monte Carlo, effectuée sur chaque paramètre, montre

que seule la fluctuation de température a une influence significative. Les incertitudes

associées au coefficient de dilatation sont inférieures auµm pour les caractéristiques

optiques et les translations du repère. Les ordres de grandeurs obtenus pour les

incertitudes liées au centre d’homothétie sont semblables à celle obtenues pour le

coefficient de dilatation.

III.2. Caractéristiques optiques et mécaniques à température

ambiante 83

Table III.3: Incertitudes sur les caractéristiques optiques et sur le positionnement

dans le repère optique (liées à l’incertitude sur la température).

Caractéristiques optiques

Rayon de courbure _±30µm

Constante de conicité _±5.10

−8

Décentrement _±16µm

Changement de repère

Translation en x _±0 µm

Translation en y _±18µm

Translation en z _±1 µm

Les rotations ne sont pas affectées par homothétie : il n’y a pas, dans ce cas,

d’incertitudes associées aux rotations pour le positionnement dans le repère optique.

Le tableau III.3 présente les résultats obtenus sur le nuage 3D, après homothétie, en

ne considérant que l’incertitude sur la température du miroir. Le miroir est

préala-blement positionné dans le repère optique : on obtient directement l’incertitude de

positionnement dans le repère optique. L’incertitude sur les coordonnées du centre

des billes de référence est égal à l’incertitude de positionnement du miroir dans le

repère optique comme vu au III.2.2.1. L’incertitude sur la position du foyer est

cal-culée à partir de l’équation III.6, soit une incertitude de _±10µm sur les coordonnées

du foyer.

III.2.2.3 Incertitudes totales

Les incertitudes sur l’estimation des paramètres du miroir sont dominées par

les incertitudes liées à l’instrumentation et à la fluctuation de la température de

la salle lors de la mesure. Ces deux paramètres sont supposé indépendants,

l’incer-titude totale est par conséquent la somme quadratique des incerl’incer-titudes calculées

séparément.

J’ai ainsi défini un ordre de grandeur des incertitudes associées aux

caractéris-tiques opcaractéris-tiques : _±40 µm sur le rayon de courbure, _±3.10

−⁴

pour la constante de

conicité et_±100µm pour le décentrement. Le positionnement dans le repère optique

est effectué à _±60 µm pour les coordonnées (x, y, z) et _±0.003° pour les rotations

autour des axes Ox, Oy et Oz.

J’ai également montré que l’incertitude sur le calcul du centre des billes est

négligeable. L’incertitude sur les coordonnées du centre des billes de référence est

celle obtenue pour le positionnement dans le repère optique soit _±60 µm pour les

coordonnées (x, y, z) et _±0.003° pour les rotations autour des axes Ox, Oy et Oz.

Pour l’incertitude sur la position du foyer, j’ai calculé sous zemax les

coordon-nées du foyer pour chaque ensemble de paramètres optiques obtenus par étude de

Monte Carlo sur le nuage 3D. La dispersion de résultats ainsi obtenu ne prend pas

en compte l’incertitude sur le positionnement dans le repère optique. L’incertitude

finale sur la position du foyer prend en compte les dispersions obtenues à partir de

84 Chapitre III. Performances en vol du miroir primaire

l’ensemble des caractéristiques optiques et du positionnement du repère. La

préci-sion sur les coordonnées du foyer et sur les rotations autour des axes Ox, Oy sont

ainsi respectivement de _±150 µm et _±0.003°.

Tous les résultats de calcul utilisant en données d’entrée le nuage de points 3D

mesuré sont associés à ces incertitudes.

III.2.3 Adéquation entre les caractéristiques estimées et les

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