Inuence de la forme et des matériaux

Les impédances de rayonnement font apparaître une dépendance vis à vis des déformées propres Φp(r0) et de la forme de l'objet. Or il a été montré au chapitre 2 que seul le rapport

des rigidités δ a une inuence sur ces déformées propres. On peut ainsi conclure que le rapport des masses surfaciques σ n'aura aucune inuence sur le rayonnement. On ne s'intéresse donc plus qu'à la dépendance vis à vis du rapport des rigidités δ entre les deux structures. La gure 4.4 compare les impédances de rayonnement des 3 premiers modes obtenues dans le cas d'une géométrie plane pour 3 rapports de rigidités δ valant 1 (plaque), 30 (intermédiaire) et 105_(piston).

La partie imaginaire de l'impédance de rayonnement représente la masse additionnelle de uide mis en vibration ; il s'agit ainsi d'un eet réactif du uide sur milieu solide (non pris en compte dans la modélisation mécanique). La partie réelle de l'impédance de rayonnement cor- respond à la résistance de rayonnement, critère déterminant la faculté de la structure à rayonner de l'énergie acoustique dans le milieu uide.

On remarque que le rapport des rigidités a un fort impact sur la résistance de rayonnement. De manière générale, on remarque que pour chaque mode la résistance de rayonnement est maxi- male autour d'une fréquence particulière (nommée fréquence critique fc

p associée au mode p) et

que les tendance suivantes sont observées : • pour f < fc

p, le uide a un eet résistif et réactif : la structure rayonne peu et l'eet prin-

cipal est contenu dans la partie imaginaire de l'impédance de rayonnement, • pour f = fc

p, le rayonnement du mode est maximal,

• _{pour f > f}c

p, les eets sont essentiellement résistifs et la résistance de rayonnement tend

vers une valeur dépendant du mode considéré (de sa déformée modale).

Dans note cas, on aimerait que le premier mode soit le seul à rayonner dans la gamme audible, aussi on aimerait se ramener au cas où la résistance de rayonnement du premier mode est maximale et la résistance de rayonnement des autres modes est minimale. Ainsi la conguration

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 ka Impedance de rayonnement 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ka Impedance de rayonnement 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ka Impedance de rayonnement

Fig. 4.4  Impédances de rayonnement (partie réelle en traits pleins et partie imaginaire en traits pointillés) en fonction du nombre d'onde adimensionnée ka pour les 3 premiers modes (haut : premier mode, milieu : deuxième mode et bas : troisième mode) d'une structure plane et pour 3 rapports de

Cas d'une structure avec courbure

De manière générale, on peut armer que la forme à deux inuences majeures sur l'impé- dance de rayonnement d'une structure :

•_{La forme modie le prol vibratoire (rigidication locale de la structure), ce qui a pour eet} de modier les déformées propres. Il a été montré au chapitre 3 que ce prol vibratoire est très peu perturbé dans le cas d'une courbure de la suspension externe et dans le cas d'une structure interne courbée lorsque le rapport des rigidités est déjà très important (de l'ordre de 105_{). En}

revanche dans le cas d'une structure courbée en sa partie centrale et possédant un faible rapport de rigidité δ < 100, les déformées modales vont être grandement modiées et on se rapproche alors des déformées obtenues dans le cas du piston (grand rapport de rigidités).

• Ensuite, la forme modie le rayonnement de la source en champ proche (et en champ lointain). On peut déjà avancer (se référer aux travaux [18, 120, 133] pour plus de détails) que la forme joue un rôle important sur le rayonnement dès que le nombre d'onde vérie ka > 1. Dans le cas d'une suspension externe torique, on pourrait montrer que le rayonnement est peu aecté, aussi nous ne présenterons pas de résultats dans le cas de cette géométrie mais nous nous attarderons plus en détail sur le cas de la structure centrale sphérique.

La gure 4.5 représente les impédances de rayonnement obtenues dans le cas d'une structure dont la partie centrale est hémisphérique. On remarque sur ces courbes que le fait d'introduire une forme sphérique à la partie centrale modie l'impédance de rayonnement et de manière générale diminue la valeur de la résistance de rayonnement.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ka Impedance de rayonnement 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ka Impedance de rayonnement 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ka Impedance de rayonnement

Fig. 4.5  Impédances de rayonnement (partie réelle en traits pleins et partie imaginaire en traits pointillés) en fonction du nombre d'onde adimensionnée ka pour les 3 premiers modes (haut : premier mode, milieu : deuxième mode et bas : troisième mode) d'une structure plane (noir) et d'une coque

4.4 Tableau récapitulatif

En résumé de cette première partie, nous pouvons ainsi évaluer l'inuence respective des paramètres matériaux et de la forme sur les quatre critères dénis au début de ce chapitre :

Forme Géométrie plane Suspension torique Calotte sphérique Matériau plaque mixte piston plaque mixte piston plaque mixte piston Séparation des −− − + − + ++ ++ ++ ++ modes Modes supérieurs − + ++ −− − + −− − ++ amortis Minimisation des + ++ + − + − −− − −− non-linéarités Ecacité de − + ++ − + ++ + + + rayonnemnt

Tab. 4.1 Inuence de la forme et des matériaux sur le comportement vibratoire, linéaire et non linéaire dans les cas limites plans, avec suspension torique et avec une structure centrale sphérique. Pour chaque conguration géométrique, on évalue de manière subjective (sur une échelle arbitraire allant de ++ à - -) le comportement en fonction du rapport des rigidités δ dans 3 cas limites : δ = 1 (plaque), δ = 30 (mixte)

et δ = 105 _(piston).

De ce tableau, il apparaît que si le comportement vibratoire était la seule donnée du pro- blème, la conguration idéale serait obtenue dans le cas d'une structure plane possédant un grand rapport de rigidités δ À 1. Il apparaît également que le cas d'une suspension torique (cas de la majorité des haut-parleurs traditionnels) est à éviter pour limiter les non-linéarités géométriques. Cependant, comme nous le verrons par la suite, le comportement vibratoire n'est pas la seule

Résolution du problème

électromécanique avec non-linéarités

géométriques

parleur sur toute la bande passante audible en régime de grandes amplitudes de vibration. An d'inclure les non-linéarités typiques en basses fréquences, on s'appuie sur le modèle de Thiele et Small à variables localisées non linéaires auquel on ajoute la formulation du chapitre précédent en vue d'inclure les non-linéarités géométriques intervenant en moyennes et hautes fréquences. Ce dernier type de non-linéarités n'a pas encore été étudié dans le passé (pour le cas du haut-parleur) et la présente formulation représente un pas vers une modélisation étendue du comportement non linéaire du haut-parleur en moyennes et hautes fréquences.

Nomenclature

Re résistance électrique de la bobine L inductance de la bobine mobile Bl _{facteur de force}

Rm résistance mécanique du modèle de Thiele et Small

Mm masse de la partie mobile du modèle de Thiele et Small

K_{m raideur généralisée du modèle de Thiele et Small} u(t) tension aux bornes de la bobine

i(t) intensité parcourant la bobine

x(t) _{déplacement dans le cas d'un unique mode de vibration}

F r(t) force de réluctance appliqué à la bobine

w(r, t) déplacement transverse

ω_{p pulsation propre du mode p} µp amortissement modal du mode p

Φp pime mode propre en exion

Tp forces appliquées à la structure projetées sur le mode p

Γa coecient non linéaire cubique associé au mode a

βa coecient non linéaire quadratique associé au mode a

Y _{vecteur d'état} A matrice d'état B vecteur d'excitation

Résolution dans le cas d'un unique

mode de vibration

Sommaire