Forme de la partie centrale

Dans un troisième temps, on s'est intéressé à l'inuence de la forme de la partie centrale sur le comportement vibratoire de la structure globale. Comme précédemment, on illustre les résultats typiques obtenus dans le cas d'un prol sphérique et on dénit de manière identique un paramètre de forme hmax correspondant à la profondeur du prol, comme indiqué gure 3.8.

Le cas hmax = 1 correspond alors au cas d'une coque hémisphérique. Dans toute la suite, les

calculs ont été eecetué pour un paramètre hmax jusqu'à 1 mais seules les valeurs inférieures à

hmax= 0.5 sont acceptables (les conditions de validité du modèle étant respecttées en deça).

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

r/a

h

(r’)

hmax=1

hmax=0.5

Fig. 3.8 Exemple de défaut de forme h0(r0)appliqué à la structure intérieure. Dans ce cas, la jonction

est situé en s = 0.7 (rouge) et le défaut est sphérique. Sur cette gure sont représentés les cas limites

hmax = 0.5 et hmax = 1 (coque hémisphérique). Dans toute la suite, seuls les résultats obtenus sur les

structures telles que hmax< 0.5ne sont valables.

Comportement linéaire : pulsations propres et déformées modales

Les gures 3.9 et 3.10 représentent l'évolution des pulsations propres ωa pour les 9 premiers

modes de vibration en fonction du paramètre de forme hmax dans les cas limites δ = 1 (plaque)

et δ = 105 _(piston).

Il apparaît sur ces deux gures que la forme de la partie centrale a un impact notoire pour le cas de deux structures identiques (δ = 1 gure 3.9) et se traduit par une augmentation des pulsations propres : ainsi dans le cas d'un faible rapport de rigidités, le fait de rajouter une courbure permet d'augmenter "virtuellement" le rapport des rigidités δ. Cette tendance est éga- lement observable sur les déformées propres du système : en eet, la gure 3.11 représente les deux premières déformées propres Φ1(r)et Φ2(r) obtenues dans le cas d'une structure plane et

d'une structure centrale hémisphérique pour un rapport de rigidités valant δ = 1. On observe bien que dans ce cas, la déformée des deux premiers modes dans le cas de la coque hémisphérique se rapproche du cas δ = 105 _{exposé gure 3.12.}

En revanche, dans le cas d'un grand rapport de rigidité entre les deux structures (δ = 105

101 102 103 104 105 10−3 10−2 10−1 100 ω a h ma x hmax < 0.5

Fig. 3.9 Evolution des 9 premières pulsations propres ωa en fonction de la forme de la partie centrale

hmaxdans le cas d'une structure dont les deux matériaux ont des rigidités en exion identiques (δ = 1).

Dans ce cas, la forme a pour incidence une rigidication de la structure (élévation de toutes les pulsations propres). 101 102 103 104 105 10−3 10−2 10−1 100 ω a h ma x hmax < 0.5

Fig. 3.10 Evolution des 9 premières pulsations propres ωa en fonction de la forme de la partie centrale

hmaxdans le cas d'une structure dont partie centrale est beaucoup plus rigide que la suspension (δ = 105).

Dans ce cas, la forme n'a d'incidence que sur les 2 premiers modes de la structure (rigidication en basse fréquence) et les autres modes ne sont pas aectés par la forme de la suspension.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 r/a Φ1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −6 −4 −2 0 2 4 6 r/a Φ2

Fig. 3.11  Deux premières déformées propres Φ1(r0) (droite) et Φ2(r0) (gauche) obtenues dans le

cas d'un rapport de rigidités valant δ = 1. Pour chaque courbe, la solution en rouge représente le cas d'une structure plane et la solution en bleu le cas obtenu pour une structure intérieure hémisphérique. Les oscillations observées sur les résultats de la coque (en bleu) sont des artefacts de calcul dus à la projection du défaut de forme sur uniquement 9 modes. On remarque dans ce cas que la forme a pour eet de rigidier la structure centrale, ce qui revient à augmenter le rapport des rigidités δ. On se rapproche ainsi du cas piston plan du tableau 2.1, sans pour autant utiliser des matériaux très diérents du point de vue des rigidités. −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 r/a Φ1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 r/a Φ2

Fig. 3.12  Deux premières déformées propres Φ1(r0) (droite) et Φ2(r0)(gauche) obtenues dans le cas

d'un rapport de rigidités valant δ = 105_{. Pour chaque courbe, la solution en rouge représente le cas}

d'une structure plane et la solution en bleu le cas obtenu pour une structure intérieure hémisphérique. On remarque dans ce cas que la forme a peu d'incidence sur les déformées propres, ce qui se comprend car on a deja atteint le cas limite δ À 1.

Comportement non linéaire : coecients cubiques et quadratiques

Reste enn à étudier l'eet de la forme de la partie centrale sur les coecients non linéaires cubiques Γa et quadratiques βa. Les gures 3.13 et 3.14 représentent l'évolution des coecients

cubiques Γaet quadratiques βapour les 9 premiers modes de vibration en fonction du paramètre

de forme hmax dans les cas limites δ = 1 (plaque) et δ = 105 (piston).

100 102 104 106 108 10−3 10−2 10−1 100 Γa hma x hmax < 0.5 100 102 104 106 108 10−3 10−2 10−1 100 β_a hma x hmax < 0.5

Fig. 3.13  Evolution des 9 premières coecients cubiques Γa (gauche) et quadratiques βa (droite) en

fonction de la forme de la partie centrale hmax dans le cas d'une structure dont les deux matériaux ont

des rigidités en exion identiques (δ = 1).

101 102 103 104 105 106 107 108 10−3 10−2 10−1 100 Γa hmax hmax < 0.5 100 102 104 106 108 10−3 10−2 10−1 100 β_a hma x hmax < 0.5

Fig. 3.14  Evolution des 9 premières coecients cubiques Γa (gauche) et quadratiques βa (droite)

en fonction de la forme de la partie centrale hmax dans le cas d'une structure dont partie centrale est

beaucoup plus rigide que la suspension (δ = 105_).

Comme précédemment, il apparaît que la forme a pour eet de générer une valeur non nulle des coecients quadratiques βa (gures de droite) et ce même pour des faibles courbures. Dans

le cas d'un rapport de rigidité identique δ = 1, il apparaît que les coecients cubiques Γa

augmentent fortement avec la courbure alors que dans le cas d'un rapport de rigidité important δ = 105, la forme a peu d'incidence sur ces coecients (gure gauche de 3.14).

3.3 Conclusion

Dans ce chapitre, l'inuence de la forme de la suspension et de la partie centrale sur le com- portement vibratoire en régime linéaire et non linéaire a été montrée. Ceci a été eectué par ajout d'une fonction de forme h0(r)aux équations locales de vibration du chapitre 3. La méthode em-

ployée dans ce chapitre a montré un bon accord avec la méthode numérique des éléments nis sous l'hypothèse d'axisymétrie des vibrations de la structure. Dans noter cas, la abilité du modèle est assurée pour des profondeurs allant jusqu'à la moitié du rayon de la structure, ce qui nous permet de dégager qualitativement l'inuence de la forme sur le comportement vibratoire de la structure.

De manière générale, il est à noter que la forme a pour incidence :

• _{de modier les fréquences propres du système (rigidication de la structure),}

•d'augmenter les non-linéarités géométriques par modication des coecients cubiques dans les équations modales,

• de générer des termes non linéaires quadratiques dans les équations modales.

Il apparaît que la forme de la suspension a peu d'incidence sur le comportement vibratoire linéaire de la structure mais a pour eet d'augmenter les coecients non linéaires, ce qui doit être à tout prix évité dans le cas d'un haut-parleur. En revanche, la forme de la partie centrale permet de modier sensiblement les fréquences propres et les déformées propres du système, ce qui permet d'atteindre "virtuellement" des grands rapports de rigidité entre les deux structures, sans pour autant utiliser des matériaux dont le rapport des rigidités est très élevé. Ceci est très utile dans le cas de structures de type haut-parleur puisqu'il est ainsi possible de rechercher une solution matérielle "faisable" qui possède ainsi les caractéristiques vibratoires recherchées (grande séparation des modes et faibles coecients non linéaires).

Le chapitre suivant balaie les résultats obtenus tout au long de cette première partie et compare les inuences relatives de la forme et des matériaux sur le comportement vibratoire, tant au niveau linéaire qu'en régime de grandes amplitudes ainsi que sur l'ecacité de rayonnement de ce type de structures.

Bilan vibroacoustique : Inuence

relative de la forme et du matériau au

niveau mécanique

4.1 Introduction . . . 58