Implantation du mod`ele de bruit rouge filtr´e dans le code CEDRE . 146

IV.2.3.1 Strat´egie d’implantation dans CEDRE

On veut que le mod`ele de bruit rouge filtr´e s´electionn´e soit utilis´e pour ajouter des fluctua-tions lors de l’injection de fluide dans le canal. En premi`ere approche, on pense `a implanter le mod`ele comme une condition aux limites, en l’adaptant par exemple `a la condition aux limites d’injection de d´ebit constant employ´ee pour toutes les simulations men´ees jusqu’`a pr´esent. L’ajout de fluctuations (bruit blanc) `a une condition limite d’injection de d´ebit constant a d´ej`a ´et´e test´e par d’autres auteurs [4][54][86][87]. Cependant, il a ´et´e remarqu´e que lorsque le bruit blanc est employ´e comme condition aux limites, les fluctuations intro-duites dans le canal se retrouvent rapidement dissip´ees. Les perturbations ainsi introintro-duites dans l’´ecoulement sont tr`es vite amorties, rendant la condition limite d’injection `a d´ebit fluctuant quasi-similaire `a celle `a d´ebit constant... On peut alors envisager d’´etudier les raisons de ce ph´enom`ene pour ensuite tenter d’y rem´edier et ainsi ´eventuellement pou-voir greffer notre mod`ele de bruit rouge filtr´e `a la condition limite. Une autre alternative s’offre `a nous et une deuxi`eme approche est envisageable en exploitant les caract´eristiques du code de calcul CEDRE. En effet, une fonctionnalit´e d’ajout de sources existe dans le code CEDRE et sa complexit´e moindre par rapport aux conditions limites permet d’entre-voir une possibilit´e d’adaptation plus simple et rapide pour notre mod`ele de bruit. Ainsi, on choisit de coder le mod`ele de bruit rouge filtr´e comme une source ajout´ee `a l’int´erieur du canal au niveau de la paroi injectante.

On commence par exposer la fonctionnalit´e de prise en compte de sources dans le code CEDRE. Puis on passe `a la fa¸con dont on a greff´e le bruit rouge filtr´e pour l’adapter `a la structure d´ej`a existante.

IV.2.3.2 Prise en compte de sources dans CEDRE

Dans le code CEDRE, la source S(x, y, z, t) est appliqu´ee sur les variables conservatives q et a autant de composantes n_q qu’il y a d’´equations de bilan, soit [84] :

– les composantes pour les sources de masse, avec une composante pour chaque esp`ece (avec n<sub>esp</sub> esp`eces),

– les trois composantes pour les sources de quantit´e de mouvement, – la composante pour la source d’´energie totale,

– les composantes pour les sources associ´ees aux n_sca scalaires suppl´ementaires ´eventuels (avec une composante pour chaque scalaire).

Au total, on a donc nq= 4 + nesp+ nsca. La d´efinition de l’amplitude de la source se fait en deux ´etapes. La premi`ere consiste `a sp´ecifier la distribution spatiale de la source et la deuxi`eme `a d´efinir sa variation temporelle ´eventuelle. Les composantes de la source sont

alors de la forme :

Sj = F (t).G(x, y, z).γj (IV.23)

avec j = 1, n_q, γ_j r´ef`ere `a la composante consid´er´ee, G d´efinit la partie purement spatiale de la source et F (t) son ´eventuelle d´ependance temporelle.

Distribution spatiale de la source

Deux fonctions sont disponibles dans CEDRE pour d´efinir la distribution spatiale, c’est-`

a-dire la fonction G pr´ec´edente (formule IV.23). On peut choisir entre [84] : – une gaussienne, telle que :

G(x, y, z) = exp  −  (x− x0)² a2 x +^(y− y0)² a2 y +^(z− z0)² a2 z  (IV.24) avec les param`etres x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>, a<sub>x</sub>, a<sub>y</sub>, a<sub>z</sub> `a d´efinir selon la gaussienne voulue.

– un cr´eneau `a support parall´el´epip´edique tel que :

G(x, y, z) = 1 si x1 < x < x2, y1 < y < y2, z1 < z < z2 G(x, y, z) = 0 sinon

(IV.25) avec les param`etres x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>, z<sub>1</sub> et x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>, z<sub>2</sub> `a d´efinir selon le parall´el´epip`ede voulu. Variation temporelle de la source

Si la source d´epend du temps, la fonction F (t) d´efinit la forme de la variation tempo-relle. Dans le code CEDRE, plusieurs types sont disponibles. Parmi ceux-l`a, on a par exemple [84] :

– une rampe de t₁ `a t₂, telle que :

F (t) = a^t− t1 t2− t1 si t₁ ≤ t ≤ t2 F (t) = 0 si t < t1 F (t) = a si t > t₂ (IV.26)

– une gaussienne centr´ee sur t₁ et d’´ecart-type t₂, telle que : F (t) = a. exp " t− t1 t2 2# (IV.27) – un sinus de fr´equence f₁ sur l’intervalle [t₁, t₂] :

F (t) = a. sin [2πf₁(t− t1)] si t₁ ≤ t ≤ t2 F (t) = 0 si t < t₁ou t > t₂

(IV.28)

– une sir`ene entre les fr´equences f₁ et f₂ avec : F (t) = a. sin [2πf1(t− t3)] si t < t1 F (t) = a. sin [2πf₁₂(t− t3)] si t₁≤ t ≤ t2 F (t) = a. sin [2πf2(t− t3)] si t > t2 (IV.29) avec f₁₂= f₁+ (f₂− f1) ^t− t1 t₂− t1 .

Comme on le voit sur ces exemples, il faut fixer la valeur d’un certain nombre de param`etres pour d´efinir ces fonctions temporelles. Dans le code CEDRE, il est pr´evu que les valeurs de six param`etres au maximum puissent ˆetre sp´ecifi´ees :

– un r´eel pour d´efinir la valeur d’une amplitude a, – un r´eel pour d´efinir la valeur d’un instant t1, – un r´eel pour d´efinir la valeur d’un instant t₂, – un r´eel pour d´efinir la valeur d’un instant t₃, – un r´eel pour d´efinir la valeur d’une fr´equence f1, – un r´eel pour d´efinir la valeur d’une fr´equence f₂.

IV.2.3.3 Adaptation du mod`ele de bruit rouge filtr´e `a la structure des sources Pour int´egrer notre mod`ele de bruit rouge filtr´e dans le code CEDRE, on utilise la fonction G(x, y, z) de d´efinition de la distribution spatiale des sources telle qu’elle est cod´ee dans CEDRE. En revanche, un travail d’adaptation est n´ecessaire pour la sp´ecification de la variation temporelle. En effet, actuellement, la prise en compte de la partie temporelle des sources s’effectue pendant l’int´egration temporelle. Or, du fait de sa formulation (relation IV.20), pour appliquer la source de bruit rouge filtr´eS, on voudrait que celle-ci soit prise en compte en dehors de l’int´egration temporelle, en fin de pas de temps. Ainsi, on voudrait que notre mod`ele de source temporelle de bruit rouge S soit pris en compte de la fa¸con suivante :

qⁿ⁺¹ = q_∗ⁿ⁺¹+ C× S (IV.30)

o`u qn+1

∗ correspond aux variables conservatives calcul´ees par CEDRE hors source de bruit rouge et o`uS = [ρS, (ρvx)S, (ρvy)S, (ρvz)S, (ρE)S]<sup>t</sup>, avec, d’apr`es (IV.20) :

S(t + ∆t) − S(t) =  exp  −^∆t_T L  − 1  S(t) + σ s 1− exp  −2∆t T_L  w(t) (IV.31)

Dans la relation (IV.30), le vecteur C = [C(ρ), C(ρv_x), C(ρv_y), C(ρv_z), C(ρE)]^tpermet de pr´eciser sur quelle variable conservative la source de bruit rouge est appliqu´ee. La valeur des coefficients de C r`egle l’amplitude des fluctuations sur l’ensemble du volume sur lequel la source de bruit rouge est impos´ee. Ce volume est d´efini par l’interm´ediaire de la fonc-tion G(x, y, z) caract´erisant la distribufonc-tion spatiale de la source. Ainsi, l’implantafonc-tion du

mod`ele de bruit rouge dans le code CEDRE implique que l’amplitude des fluctuations g´e-n´er´ees ne d´epend plus uniquement de la valeur de l’´ecart-type du mod`ele, mais ´egalement de la valeur des coefficients de C et du volume sur lequel les perturbations sont appliqu´ees. L’int´egration dans CEDRE consiste donc `a ajouter une option permettant de sp´ecifier que dans le cas d’une source temporelle de bruit rouge filtr´e, il ne faut pas la consid´erer pendant la phase d’int´egration temporelle. Dans un deuxi`eme temps, on a cr´e´e une nou-velle fonction dans CEDRE de prise en compte de la source temporelle en dehors de la phase d’int´egration temporelle, en se basant sur la structure d´ej`a existante et en apportant toutes les modifications n´ecessaires. On a ´egalement cr´e´e de nouvelles fonctions, telle que celle permettant de cr´eer une variable al´eatoire `a distribution normale (bruit blanc) ou celle assemblant les diff´erents ´el´ements du mod`ele selon la formulation (IV.31).