5.2. Implantation du modèle dans FORGE® 3D
5.2.3. Implantation du modèle dans les lois utilisateurs
L’implantation de la nouvelle loi de comportement dans FORGE® s’effectue à travers les lois utilisateurs (fichiers *.f). Elles permettent la modification et/ou la création des variables d’états définies aux points d’intégration volumiques ou surfaciques. Aucune variable nodale ne peut être créée par l’utilisateur. Les variables nodales se limitent aux inconnues d’un
problème thermo-mécanique (température, vitesse, pression …). Elles peuvent, cependant, être utilisées pour le calcul des variables utilisateurs aux points d’intégration.
5.2.3.1. Les lois utilisateurs utilisées pour l’implantation
Afin d’implanter le modèle, trois lois utilisateurs, trois routines, ont été utilisées pour coder le modèle :
La loi utilisateur LOIV INTG, gère la création de variables d’état utilisateur en volume. Ces variables peuvent être définies avec deux approches :
- soit avec une équation explicite de paramètres : 𝑎 = 𝑓(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑚)
- Soit avec une équation de transport intégrée sur chaque pas de temps ∆𝑡 : 𝑎(1)= 𝑓(𝑎(0), ∆𝑡, 𝑝
1(0), 𝑝2(0) , … 𝑝𝑚(0), 𝑝1(1), 𝑝2(1), … 𝑝𝑚(1))
Où 𝑎(0) et 𝑎(1) désignent la valeur de la variable d’état en début et en fin d’incrément. 𝑝𝑖(0) 𝑒𝑡 𝑝𝑖(1) désignent les valeurs des paramètres de la loi en début et
en fin d’incrément.
L’essentiel des calculs liés au modèle micro-Macro s’effectue dans cette routine qui génère l’évolution de la fraction de solide dans la zone active et la viscosité du semi-solide. Ces dernières sont définies comme des variables utilisateurs afin de pouvoir les visualiser lors de la simulation. Par ailleurs, les différentes variables dépendantes de la température, permettant de calculer la contrainte d’écoulement, sont calculées en chaque point d’intégration.
La loi utilisateur LOIV SIG0 gère l’évolution de la contrainte d’écoulement plastique 𝜎0 en
fonction de la vitesse de déformation viscoplastique équivalente 𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝, de la déformation viscoplastique équivalente 𝜀𝑒𝑞𝑣𝑝 et, le cas échéant, d’autres variables utilisateurs créées pour d’autres lois intégrées. Par ailleurs, dans cette routine, sont également calculées les dérivées 0 par rapport, d’une part à la vitesse de déformation viscoplastique équivalente 𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝 et, d’autre part, par rapport à la déformation viscoplastique 𝜀𝑒𝑞𝑣𝑝.
La loi utilisateur LOIV EVOL gère l’évolution des paramètres élastique (E et 𝜈).
5.2.3.2. Algorithme de calcul
Dans cette partie, sont présentées les différentes opérations effectuées et la séquence des appels aux différentes lois utilisateur durant le calcul micro-Macro au cours d’un incrément de calcul i+1.
En suivant la chronologie d'enchaînement du calcul dans FORGE® 3D, le modèle micro- Macro commence par le calcul, dans la routine LOIV EVOL, des propriétés élastiques (module de Young E et coefficient de Poisson 𝜈). Le calcul se fait en fonction des variables d’états des utilisateurs, module de cisaillement poro-élastique 𝐺𝑃𝑜𝑟𝑜 et module de
compressibilité poro-élastique 𝐾𝑃𝑜𝑟𝑜 :
𝐸
𝑖+1=
9 𝐾𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜 𝐺𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜3 𝐾𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜+𝐺𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜 et
𝜈 =
3 𝐾𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜−2 𝐺𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜 2(3 𝐾𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜+𝐺𝑖+1𝑃𝑜𝑟𝑜)
Les deux modules poro-élastiques, dépendent de la variable fraction de liquide définie et calculée dans la routine LOIV INTG à l‘incrément i.
La deuxième étape de calcul se déroule dans la routine LOIV SIG0 pour la résolution des équations mécaniques. Dans cette routine la contrainte d’écoulement s’écrit :
𝜎0 = 3𝜇(1 + 𝐵𝜀𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1 𝑛
)𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1
Pour des températures supérieures à celle de solidus, 𝜇 vaut la viscosité du semi-solide déterminée à l’incrément précédent i dans la routine LOIV INTG :
𝜎0 = 3𝜇𝑠𝑠𝑖(1 + 𝐵𝜀𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1𝑛 )𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1
Concernant la détermination des dérivées de la contrainte d’écoulement 𝜎0 par rapport à la déformation viscoplastique équivalente 𝜀𝑒𝑞𝑣𝑝 et à la vitesse de la déformation viscoplastique équivalente 𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝, nous avons considéré que la variation de la viscosité était constante.
Pour des températures inférieures à celle du solidus le terme 𝜇 vaut la viscosité du solide qui dépend de la consistance du solide 𝑘𝑠(𝑇) , identifiée en fonction de la température à l’incrément précédent i dans LOIV INTG, et la vitesse de déformation viscoplastique équivalente totale calculée à i+1. La formulation de la contrainte d’écoulement devient :
𝜎0 = 3𝑘𝑠(𝑇)𝑖 𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1 𝑚−1
(1 + 𝐵𝜀𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1𝑛 )𝜀̇𝑒𝑞𝑣𝑝𝑖+1
La dernière étape de calcul du modèle se fait dans la routine utilisateur LOIV INTG pour le calcul de la viscosité du semi-solide qui s’appuie sur une succession de calculs et d’identifications d’autres variables : consistance du solide en fonction de la température 𝑘𝑠(𝑇
𝑖+1), fraction de solide en fonction de la température 𝑓𝑠(𝑇𝑖+1), fraction de solide dans la
zone active 𝑓𝐴𝑠
solide 𝜇𝑠𝑠𝑖+1. La détermination de la fraction de solide et de la consistance de la phase solide s’effectue à travers de relations directes avec la température, des lois mathématiques identifiées avec les résultats des calculs IDS de la fraction de liquide et les essais expérimentaux. L’évolution de la température d’un incrément à l’autre est gérée par le logiciel, c’est une variable de FORGE®. Les différentes lois d’évolution des différentes variables d’état seront détaillées par la suite. La figure 5.3 représente un schéma récapitulatif de l’algorithme de calcul du modèle à l’incrément i+1 avec les différentes routines utilisateur utilisées.
Fig. 5.3 – Schéma récapitulatif de l’algorithme de calcul dans le logiciel FORGE®
𝐺
𝑃𝑜𝑟𝑜, 𝐾
𝑃𝑜𝑟𝑜µ𝑠𝑠
𝑖+1(𝑘
𝑠 𝑖+1, 𝑓
𝑠𝑖+1, 𝑓
𝐴𝑠𝑖+1)
𝜺𝒊+𝟏𝒗𝒑 , 𝜺̇𝒊+𝟏𝒗𝒑 𝑺𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆 ∶ 𝝈𝟎 = 𝟑𝒌𝒔(𝑻) 𝒊 𝜺̇𝒆𝒒𝒗𝒑𝒊+𝟏 𝒎−𝟏 (𝟏 + 𝑩𝜺𝒆𝒒𝒗𝒑 𝒊+𝟏 𝒏 ) 𝜺̇𝒆𝒒𝒗𝒑 𝒊+𝟏 𝑺𝒆𝒎𝒊 − 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆: 𝝈𝟎= 𝟑𝝁𝒔𝒔𝒊(𝟏 + 𝑩𝜺𝒆𝒒𝒗𝒑𝒊+𝟏 𝒏 )𝜺̇𝒆𝒒𝒗𝒑 𝒊+𝟏 𝝏𝝈𝟎 𝜺𝒆𝒒𝒗𝒑 𝒊+𝟏 ; 𝝏𝝈𝟎 𝜺̇𝒆𝒒𝒗𝒑 𝒊+𝟏 LOIV SIG0 LOIV EVOLVariables internes du Forge :
𝑻𝒊+𝟏 ,𝜺𝒊+𝟏𝒕𝒐𝒕, 𝜺̇𝒊+𝟏𝒕𝒐𝒕, 𝝈𝒊+𝟏 𝒇 = 𝝈𝒆𝒒− 𝝈𝟎 LOIV INTG É qu il ib re sur l a st ruc ture 𝒅𝒊 𝒗𝝈 = 𝟎 E (𝑮𝑷𝒐𝒓𝒐,𝒌𝑷𝒐𝒓𝒐) 𝝂 (𝑮𝑷𝒐𝒓𝒐, 𝒌𝑷𝒐𝒓𝒐)
La figure 5.4 représente une illustration des données d’entrées et les résultats analysés pour une simulation avec le modèle micro-Macro.
Fig. 5.4 – Données d’entrées et de sortie de la simulation micro-Macro
5.2.3.3. Validation de l’implantation
Afin de vérifier la bonne implantation du modèle, des comparaisons entre les résultats de simulations des essais de traction sur FORGE® et de calculs réalisés par en dehors de FORGE® (compilateur FORTRAN) sur un point matériel (champs homogènes) ont été réalisées. La figure 5.4 représente l’évolution de la force en fonction du déplacement pour des résultats de simulation avec FORGE® 3D d’un essai de traction isotherme à 1340°C et les résultats du calcul analytique pour un même jeu de paramètres.
Fig. 5.4 –Evolution de l’effort en fonction du déplacement pour des résultats de simulation et de calcul analytique d’un essai de traction à1340°C
Afin de se rapprocher des conditions du calcul sur un point matériel (champs homogènes, sans thermique en un point matériel), la simulation de l’essai sur FORGE® a été faite sur un lopin de 10 mm de diamètre et de longueur contenant un faible nombre d’éléments (figure 5.5). La température du lopin est homogène et tous les échanges thermiques avec l'air et les outils sont négligés. La conductivité thermique du matériau est nulle et le contact entre le lopin et les outils est bilatéral et glissant.
Fig. 5.5 – Maillage de l’éprouvette pour la configuration de la simulation de l’essai sur FORGE®
Les résultats obtenus par les deux méthodes de calcul concordent ce qui prouve la validité de l’implantation du modèle. La présence d’une différence infime est due aux approximations numériques de calcul dans un logiciel éléments finis. L’analyse de l’évolution des différentes variables utilisateurs et la bonne prise en compte des hétérogénéités du comportement ainsi
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Eff o rt (N ) Déplacement (mm)
que les comparaisons des résultats de simulations et expérimentaux seront abordés à la fin du chapitre.
5.2.4. Identifications des lois de dépendance à la température des paramètres du