4.2 Mod´elisation m´ecanique de la barri`ere thermique
4.2.1 Implantation des coques “Continuum Based“
Dans le cadre de l’implantation de l’´el´ement de coque dans Z-set, on a choisi de mettre en place un mod`ele qui repose sur l’approche ”Continuum Based “ pour les coques d´eja ´evoqu´ee dans la section 2.2.4.
L’aproche d´ecrite dans [Belytschko 2006] est adopt´ee pour l’implantation num´erique. La cin´ematique repose sur une approximation de l’hypoth`ese de Reissner-Mindlin, qui autorise le cisaillement transverse. L’avantage majeur des ´el´ements coques for- mul´es selon l’approche “Continuum Based” concerne la mise en œuvre num´erique. Un ´el´ement volumique tridimensionnel isoparam´etrique est utilis´e pour effectuer l’int´egration num´erique. Cet ´el´ement, que l’on “d´eg´en`ere” ensuite en un ´el´ement de coque surfacique, permet de ne pas d´evelopper de lois de comportement suppl´ementaires adapt´ees aux formulations coques souvent complexes. La coque est mod´elis´ee par une unique surface moyenne tridimensionnelle (figure 4.19) dont on appelera les nœuds ”maˆıtres“ d’apr`es la terminologie adopt´ee dans [Belytschko 2006]. Dans le cas de l’´el´ement coque quadratique `a huit nœuds, la position de ses neuf points de Gauss est illustr´ee sur la figure 4.18.
Figure4.18 – Points d’int´egration d’un ´el´ement coque quadratique `a huit nœuds.
Un ´el´ement volumique sous-jacent est construit `a partir de la g´eom´etrie surfa- cique de la coque dont les nœuds sont appel´es ”esclaves”. Ces derniers sont fictifs mais permettent de d´eterminer par des moyens num´eriques ne faisant pas r´ef´erence aux sp´ecificit´es de la mod´elisation coque, les contraintes et d´eformations internes, et donc les forces internes de l’´el´ement, qui serviront par la suite `a calculer, par projection, ceux de la coque.
Figure4.19 – Nœuds ”maˆıtres“ et ”esclaves” d’un ´el´ement coque d´evelopp´e suivant l’approche Continuum Based.
L’´element volumique sous-jacent poss`ede ainsi 2N nœuds “esclaves” (N nœuds sur chaque face inf´erieure et sup´erieure) et au plus deux nœuds sur chaque fibre pour que le d´eplacement soit lin´eaire dans l’´epaisseur (figure 4.19). L’approche Continuum Based approxime l’hypoth`ese de Reissner-Mindlin par l’introduction
de la “fibre”, un segment qui relie deux nœuds situ´es sur les faces sup´erieures et inf´erieures de l’´el´ement volumique sous-jacent et qui reste droite au cours de la d´eformation.
4.2.1.1 Cin´ematique
Pour la suite, l’indice K d´esignera le nœud maˆıtre, tandis que K+ et K− d´esigneront les nœuds esclaves correspondants et qui sont respectivement situ´es au-dessus et en-dessous du nœud maˆıtre K. Comme repr´esent´ee sur la figure 4.19, la fibre imaginaire qui relie les nœuds esclaves K+ et K− en passant par le nœud maˆıtre K reste droite. On associe `a la coque des coordonn´ees locales constitu´ees par les vecteurs de la base orthogonale (¯exK, ¯eyK, ¯ezK) o`u ¯ezK = pK(ξ, η) indique la direction actuelle de la fibre et p0K indique sa direction initiale. La configuration initiale des nœuds s’´ecrit donc :
X+K = XMK +1 2tKp0K, X − K = XMK − 1 2tKp0K (4.37)
De mˆeme, la configuration d´eform´ee des nœuds s’´ecrit :
x+K = xMK +1 2tKpK, x − K = xMK − 1 2tKpK (4.38) XMK et xM
K sont les positions du nœud K de la surface moyenne dans la configuration initiale et d´eform´ee respectivement, tK repr´esente l’´epaisseur de la coque consid´er´ee comme constante en petite d´eformation. La surface constitu´ee par les nœuds maˆıtre est appel´ee surface moyenne de l’´el´ement et se trouve `a mi-chemin entre les nœuds esclaves sup´erieurs et inf´erieurs.
On en d´eduit le champ de d´eplacement de la coque :
u+K = uMK +1 2tK(pK− p0K), u − K = uMK − 1 2tK(pK− p0K) (4.39) uM
K d´esigne le d´eplacement de la surface moyenne de la coque, avec uMK = xMK−XMK 4.2.1.2 Relation maˆıtres/esclaves
L’´equation d’´equilibre est formul´ee aux nœuds maˆıtres, ce qui signifie que les inconnues du probl`eme sont les degr´es de libert´e des nœuds maˆıtres. On opte pour la formulation `a cinq degr´es de libert´e. Le vecteur des inconnues nodales au nœud maˆıtre K est donn´e par :
uK = [ux uy uz α β]T (4.40)
La relation entre les degr´es de libert´e d’un triplet de nœuds situ´es sur une mˆeme fibre peut s’´ecrire :
u−K u+K
o`u u−K et u+K sont les vecteurs des degr´es de libert´e des nœuds esclaves de l’´el´ement volumique sous-jacent :
u−K = [u−x u−y u−z]T, u+K= [u+x u+y u+z]T (4.42) et TK la matrice de transformation avec :
TK =I Λ − I Λ+ (4.43) avec : Λ− = −t K 2 0 pz −py −pz 0 px py −px −0 = 0 z− K −zK yK −yK− zK −z−K 0 x−K −xK y− K −yK xK −x−K −0 (4.44) et Λ− = t K 2 0 pz −py −pz 0 px py −px −0 = 0 z+K −zK yK −yK+ zK −z+K 0 x + K −xK y+K −yK xK −x+K 0 (4.45)
o`u I est la matrice identit´e.
4.2.1.3 Calcul du vecteur des forces nodales et de la matrice de rigidit´e ´
el´ementaire
L’int´egration num´erique de l’´el´ement coque fait appel `a des proc´edures d´eja implant´ees pour les ´el´ements volumiques et ne requiert donc pas beaucoup d’effort de d´eveloppement. Le vecteur des forces nodales interne et externe aux nœuds maˆıtres peut ˆetre obtenu `a partir des forces nodales des nœuds esclaves par :
f = TT f− f+ (4.46)
o`u TT la transpos´ee de T. Les vecteurs f− et f+ des nœuds esclaves s’obtiennent par les proc´edures classiques utilis´ees pour les ´el´ements volumiques. Il en est de mˆeme pour la matrice de rigidit´e ´el´ementaire des ´el´ements coques KIJ :
KIJ = TTK¯IJT (4.47)
o`u ¯KIJ d´esigne la matrice de rigidit´e de l’´el´ement volumique sous-jacent.
4.2.1.4 Raccord avec ´el´ements `a trois degr´es de libert´e
La question du raccord des ´el´ements coques `a cinq degr´es de libert´e avec des ´el´ements `a 3 degr´es de libert´e en d´eplacement est souvent ´evoqu´ee comme ´etant un point faible de ces ´el´ements de structure par opposition aux ´el´ements coques
de type “solid-shell” `a trois degr´es de libert´e en d´eplacement. Pour y rem´edier, des conditions de type Multi-Points Constraints sont impos´ees entre les nœuds maˆıtres de la coque et ceux de l’´el´ement `a trois degr´es de libert´e en d´eplacement `
a raccorder. On note que cette relation entre les degr´es de libert´e de nœuds non n´ecessairement coincidents est ici de type lin´eaire du fait de la cin´ematique de la coque. Ainsi, la continuit´e entre les champs m´ecaniques de deux ´el´ements de degr´es de libert´e diff´erents est assur´ee de mani`ere dynamique au cours du calcul. Si les nœuds de degr´es de libert´e uV de la face sup´erieure d’un ´el´ement tridimensionnel sont raccord´es `a la face inf´erieure de la coque, la relation s’´ecrit :
uVx uVy uV z = T−KuK (4.48)
o`u uK d´esigne les degr´es de libert´e de la coque. T−K est un bloc de la matrice4.43 avec T−K = [I Λ−]. Cette technique de raccordement sera mise en œuvre lors de l’utilisation combin´ee d’´el´ements coques avec des ´el´ements de zone coh´esive.