Implémentation de l’estimateur

La figure 4.4 présente la structure de l’estimateur décrit. Notons qu’il s’agit d’une implémentation réalisant l’estimation en ligne et en boucle ouverte. Il est possible d’affiner l’estimation des offsets temporel et fréquentiel en rebouclant le signal l



,ˆ_ML

 





, à l’aide d’une PLL.

Dans le cas d’une estimation hors ligne, on a plutôt intérêt à moyenner les estimations sur plusieurs périodes de symbole, afin de gagner en précision.

Figure 4.4 - Structure de l’estimateur.

5 Correction d’amplitude sur les signaux OFDM démodulés

5.1 Présentation de la problématique

Après la démodulation par FFT des symboles OFDM, nous obtenons une suite d’informations complexes. Le canal de propagation étant non dispersif, on peut assimiler les sous-canaux correspondant aux sous-porteuses, à des gains complexes constants sur une durée supérieure à celle d’un symbole. On ne peut donc pas s’attendre à retrouver en sortie de la FFT des informations complexes reconstituant la constellation de la modulation linéaire choisie pour l’émission (BPSK, QPSK, MAQ16, MAQ32, …).

Nous devons donc compenser en amplitude les informations complexes reçues. Ces opérations se feront en aveugle car nous ne connaissons pas les caractéristiques du canal mais devrons les estimer à partir des signaux reçus.

Pour ajuster l’amplitude, nous devons estimer le gain en module subi par le signal. Il s’agit de calculer le nombre optimal de symboles reçus sur lesquels on doit faire l’estimation.

Ce nombre doit être assez grand pour avoir une bonne précision mais ne doit pas être trop élevé car une variation brusque dans le temps des caractéristiques du canal risque de compromettre l’estimation. Une fois que l’on a récupéré l’amplitude, on renormalise le signal de sorte qu’il soit de puissance égale à 1, ce qui permet alors d’utiliser des algorithmes de type DD (Decision Directed) pour pouvoir décider les symboles de constellation à partir des symboles reçus traités.

5.2 Ajustement de l’amplitude

5.2.1 Calcul du nombre de points reçus servant à l’estimation

Pour une constellation donnée, on cherche le nombre n optimal de points complexes consécutifs reçus, pour faire une bonne estimation du gain en amplitude apporté par le canal.

5.2.1.1 Cas de la constellation MAQ16

Considérons par exemple une constellation MAQ16 (cf. figure 5.1). Une information complexe émise à l’instant k peut prendre de façon équiprobable les valeurs suivantes :

1

Xk étant supposé stationnaire sur le nombre de points servant à l’estimation de la puissance du signal.

Figure 5.1 - Constellation d’états d’une modulation MAQ16.

On choisit de normaliser les points complexes afin d’avoir une puissance moyenne totale égale à 1 :

16

Var _MAQ ^MAQ

n

Yn,k est donc un estimateur non biaisé, convergent en moyenne quadratique, de la moyenne

Aussi, en vertu du théorème central limite, comme les variables aléatoires sont supposées indépendantes et de même loi, leur somme Yn,k suit une loi gaussienne lorsque n est grand.

Yn,k suit une loi gaussienne de moyenne  E_MAQ16 et de variance _n²_,MAQ16_MAQ² ₁₆/n. Donc sur un grand nombre de réalisations, 99.73% des valeurs prises par Yn,k sont comprises entre

16 ,

16 3 _nMAQ

EMAQ   et E_MAQ163_n,MAQ16 (cf. figure 5.2).

Figure 5.2 - Valeur remarquable pour une variable aléatoire gaussienne.

Ainsi pour q3, la quasi-totalité des points ont un module compris entre Eq_n et q n

E  . On obtient des probabilités d’erreurs acceptables à partir de q = 3 ou 4. Par exemple pour q=3, la probabilité d’avoir des points dans les queues (Y_n,k Eq_n etY_n,k Eq_n) est de 1-0.9973 = 2,7.10^-3.

Ainsi, 99.73% des points reçus ont un module carré estimé compris entre Eq_n et q n

E  , avec q=3. On fait alors une normalisation des symboles de sorte qu’ils soient de puissance moyenne E=1. Ceci revient à multiplier le module carré par un coefficient compris entre

q n

E E



 et q n

E E



 . Ceci se traduit par une homothétie de centre 0 (l’origine du plan complexe) et d’un rapport variable suivant les points compris entre

q n

E E



 et

q n

E E



 .

Nous allons calculer l’écart-type nécessaire pour que le bruit d’un point ck n’empiète pas sur la région de décision d’un autre point de la constellation après les deux homothéties (une de contraction et une de dilation) les plus significatives.

0

La contraction la plus significative a un rapport de 1

 

Et le nombre de points nécessaires à l’estimation vaut :

 

2

De même, le rapport de la dilatation la plus significative vaut 1

 

Il reste à déterminer α et β en fonction de la dégradation en rapport signal sur bruit, laquelle dépend du rapport entre les distances d0 et d0’ aux axes de décision des points avant et après l’homothétie (cf. figure 5.3). Jusqu’ici, le type de constellation n’a pas été pris en compte.

Dans le premier quadrant du plan complexe de la constellation MAQ16 le point le plus affecté par la contraction est le point ck = 3+3j. Le point ck = 3+3j se rapproche alors de ses axes de décision associés. On note d0 et d0’ les distances de ck aux axes avant et après l’homothétie.

Un rapport de r = d0/d0’ entre ces distances exige r fois moins de bruit pour ne pas influer sur le taux d’erreurs de décision. Ainsi à niveau de bruit constant, ce déplacement du point ck

entraîne une dégradation du RSB en dB de l’ordre de :



Ainsi pour la constellation MAQ16, la dégradation en RSB vaut :

On peut vérifier que pour le même ΔRSB, le nombre n de points nécessaires à l’estimation est plus grand en cas de contraction que de dilatation. C’est donc la contraction qui provoque une plus forte dégradation du RSB. On se placera donc dans la configuration d’une homothétie de contraction. pour que la probabilité d’avoir une dégradation de 1 dB soit inférieure à 2,7.10 ^–3.

5.2.1.2 Cas de la constellation MAQ32

Comme le cas de la MAQ16, on peut vérifier que la contraction est toujours plus significative que la dilatation en terme de dégradation du RSB. Nous considérerons donc seulement le premier cas. Le nombre de points à considérer s’obtient de la même manière à ceci près que la formule du facteur de contraction en fonction de la dégradation de RSB est différente.

Figure 5.4 - Constellation d’états d’une modulation MAQ32.

Dans le premier quadrant du plan complexe de la constellation MAQ16 le point le plus affecté par la contraction est le point ck = 5+3j (avec le point ck = 3+5j) (cf. figure 5.5).

Figure 5.5 - Mise en évidence de la dégradation du RSB sur la constellation MAQ32.

ck = 5+3j

Axes de décision

d0’ = 5 αMAQ32 -4

d0’’ = 3 αMAQ32 -2

0

On souhaite calculer le ΔRSB en fonction du rapport des distances avant et après homothétie entre ce point à l’axe de décision horizontal d’une part et vertical d’autre part. On remarque et on peut vérifier par le calcul que ce rapport est plus grand pour les distances à l’axe vertical x=4 qu’à l’axe horizontal y=2. En effet :

1

Et 0<α<1 correspond bien à un rapport d’homothétie de contraction.

Le premier rapport induit donc une plus forte dégradation en RSB. C’est donc le premier cas que l’on utilisera. Ce rapport vaut :

4 La dégradation en RSB vaut donc :



Il reste à calculer l’espérance et la variance des modules carrés des points d’une constellation MAQ32. L’espérance vaut :

8 20

Comme précédemment, on normalise la constellation de sorte que la puissance moyenne de ck

soit égale à 1. On pourra ainsi calculer la variance du module carré pour chaque constellation quand l’espérance du module carré est toujours à 1.

L’espérance de la constellation ainsi normalisée vaut EMAQ32 = 1 et sa variance : 31

5.2.1.3 Cas de la modulation MAQ64

L’espérance du module carré des points d’une constellation MAQ64 est donnée par : 16 42

L’espérance de la constellation normalisée vaut EMAQ64 = 1 et sa variance :

38095

Le point du premier quadrant le plus sensible aux contractions est : ck = 7+7j.



5.2.1.4 Cas de la constellation MAQ128



Figure 5.6 - Constellation d’états d’une modulation MAQ128.

5.2.1.5 Cas de la constellation MAQ256















3953 . 0 1

~ 170

2 256 256 256

MAQ MAQ MAQ

E E



ck = 15+15j













 

 15 14

log 1 20

256 MAQ

RSB 

 

15



^/20



1 256 2

256 2

256

256 2

256

256 14 10

1

RSB MAQ

MAQ MAQ

MAQ MAQ

MAQ avec

E

n q    ^











  







Avec ΔRSB = 1 dB et q = 3, on obtient : nMAQ256 = 16556.

5.2.1.6 Cas de la constellation MAQ512

5.2.1.7 Cas de la constellation MAQ1024



5.2.1.8 Cas de la constellation MAQV29

Figure 5.7 - Constellation d’états d’une modulation MAQV29.

5.2.2 Récapitulatif

Nous donnons ici le nombre n de points nécessaires à l’estimation pour q=3 et ΔRSB = 1dB, c’est à dire pour obtenir une probabilité d’erreur de décision de 2,7.10^–3 avec une dégradation en RSB de moins de 1dB.

Constellation Espérance module carré

Variance module carré = Sigma2

Nombre n Sigma2 / n théorique

MAQ16 1 0,32 491 6,5173. 10^–4

MAQ32 1 0,31 1381 2,2247. 10^–4

MAQ64 ^{1 0,3809 3389 1,1241. 10–4}

MAQ128 1 0,3427 7658 1,4750. 10^–5

MAQ256 ^{1 0,3953 16556 2,3877. 10–5}

MAQ512 1 0,3506 34788 1,0078. 10^–5

MAQ1024 ^{1 0,3988 72149 5,5274. 10–6}

MAQV29 1 0,4184 1863 2,2457. 10^–4

Tableau 5.8 - Variance théorique du module carré du signal normalisé, nombre de points nécessaires à l’estimation du module carré et variance théorique de l’estimateur.

Il est possible de vérifier la moyenne et la variance de l’estimateur de la moyenne Yn,k en faisant ces mesures sur un signal contenant un grand nombre de séquences disjointes de n symboles. On peut ainsi calculer, pour chaque constellation, les moyenne et variance temporelles de l’estimateur en utilisant les propriétés d’ergodisme du signal (cf. programme de l’annexe 9.5.1).

5.3 Influence du bruit sur la variance du module carré du signal reçu

Nous souhaitons évaluer l’influence sur la variance du module carré du signal reçu (puissance instantanée), de l’ajout de bruit sur le signal utile en fonction du RSB souhaité.

Dans cette section, nous utiliserons souvent E[X Y] = E[X]E[Y], pour X et Y indépendants.

Notons :

- s le signal utile reçu après FFT de démodulation (point complexe de constellation noté ck

dans le chapitre précédent).

- b le bruit additif à s (bruit blanc gaussien complexe centré circulaire).

s et b sont supposés stationnaires au 2^nd ordre sur le nombre de points servant à l’estimation de la puissance moyenne.

On s’intéresse alors à l’espérance et à la variance de la variable aléatoire X = |s+b|². b

car b et s sont indépendants et centrés.

Calculons maintenant la variance de X : Var[X] = E[X²] – E[X]² :

Ceci vient de la circularité du bruit et du signal utile :

D’où l’expression de la variance de X : Var[X] = E[X²] – E[X]²

= ^{Es4Eb44Es2Eb2}



^Es2Eb2



²

= _^Es4

 

^{Es2 2}_^_^Eb4

 

^{Eb2 2}_^{2Es2Eb2}

Donc : Var

 

X Varsb² Vars²Varb² 2Es²Eb² (1)

En supposant le bruit additif gaussien complexe circulaire (parties réelle et imaginaire gaussiennes centrées et de même variance σ²), on peut montrer (cf. annexe 9.2) que le module r du bruit suit une distribution de Rayleigh :

 

, pour r 0

Ceci nous permet de calculer les moments d’ordre 2 et 4 (cf. annexe 9.2) du module du bruit, intervenant dans la variance du module carré du signal bruité :

soit ramenant la puissance de y=s+b à 1, soit E|s+b|² = 1, nous allons appliquer en conséquence un facteur multiplicatif à s et b, en fonction du rapport signal sur bruit souhaité.

On a : RSB = Ps / Pb = E|s|² / E|b|²,

2 2

D’où Es² Eb²10^{RSBdB/10}

On choisit donc d’appliquer dans l’équation (1), un coefficient multiplicatif de α pour |b|² et de (1-α) pour |s|² ; ce qui correspond aux opérations : constellation utilisée (cf. section 5.2) :

Constellation Var |s|² théorique

MAQ16 0.32

MAQ1024 0.3988

MAQV29 0.4184

Tableau 5.9 - Variance théorique du module carré du signal utile s à puissance moyenne égale à 1, selon la constellation

Donnons maintenant pour chacune des constellations les nouvelles variances du module carré du signal bruité en fonction d’un RSB minimal souhaité. Ces mesures sont obtenues, à l’aide d’un programme Matlab (cf. annexe 9.5.2), sur des symboles de constellation générés par le logiciel de génération de signaux OFDM, et bruités par le programme Matlab en fonction du RSB souhaité :

Constellation Var |s|² théorique

Var |s|² mesurée

(RSB)dB Var |s+b|² théorique (équation (4))

Var |s+b|² mesurée

MAQ16 0.32 0.3188 15 dB 0.3610 0.3606

MAQ32 0.31 0.3061 18 dB 0.3316 0.3288

MAQ64 0.3809 0.3850 21 dB 0.3907 0.3937

MAQ128 0.3437 0.3476 24 dB 0.3479 0.3534

MAQ256 0.3953 0.3863 27 dB 0.3977 0.3897

MAQ512 0.3506 0.3496 30 dB 0.3519 0.3514

MAQ1024 0.3988 0.3952 33 dB 0.3994 0.3963

MAQV29 0.4184 0.4260 15 dB 0.4535 0.4585

Tableau 5.10 - Variances théorique et expérimentale du module carré du signal reçu (bruité et non bruité) normalisé pour une puissance moyenne égale à 1.

Constellation (RSB)dB Var |s+b|²

Théorique (équation (4)) Var |s+b|² mesurée

MAQ16 14 dB 0.3711 0.3707

MAQ32 16 dB 0.3434 0.3390

MAQ64 18 dB 0.4001 0.4045

MAQ128 20 dB 0.3566 0.3616

MAQ256 22 dB 0.4029 0.3942

MAQ512 24 dB 0.3557 0.3563

MAQ1024 26 dB 0.4018 0.3981

MAQV29 14 dB 0.4621 0.4700

Tableau 5.11 - Variances théorique et expérimentale du module carré du signal bruité (selon un autre jeu de RSB) reçu normalisé pour une puissance moyenne égale à 1.

On en conclut que le jeu de RSB du tableau 5.12 (moins exigeant en terme de qualité du signal reçu que le jeu du tableau 5.11) est satisfaisant pour les modulations MAQ128, 256, …, 1024 (RSB = 20, 22, …, 26 dB), dans le sens où on a une faible dégradation de la variance du module carré du signal reçu. La mesure du module carré, par l’estimateur de la moyenne sur un nombre de points adapté à la constellation, reste donc assez fine (les estimations sont peu dispersées autour de la valeur moyenne). Pour les modulations MAQ16, 32, 64 et MAQV29, on préfèrera les valeurs du tableau 5.11 (RSB=15, 18, 21, 15 dB).

A titre d’exemple, la variance mesurée du module carré du signal reçu de la constellation MAQ64, en passant du signal utile au signal bruité avec un RSB de 24 dB, augmente de :

ce qui correspond à une très faible dégradation de la variance (faible augmentation de la variance). Pour les variances théoriques, ce gain est de :

% 57 . 2 0257 . 3809 0

. 0

3809 . 0 3907 .

0   



V .

Pour l’ensemble des constellations et pour une faible dégradation de la précision de l’estimation du module carré du signal reçu, on souhaite une faible augmentation de la variance lors de l’ajout du bruit, ce qui exige un RSB suffisamment élevé. En effet, plus le RSB est faible, plus la variance du module carré du signal bruité augmente par rapport à celle du signal utile. Et plus le RSB est élevé, plus la variance reste proche de celle du signal utile.

On constate alors que pour un RSB convenablement choisi selon la constellation, l’estimation du module carré du signal bruité reste assez fine par rapport à celle du signal non bruité. Cette mesure étant calculée par l’estimateur de la moyenne sur le nombre de points théorique adapté à la constellation (cf. tableau 5.8), on en conclut que l’on peut estimer le module carré du signal bruité sur le même nombre de points que pour le même signal non bruité.

Notons également que l’on a un léger biais d’estimateur dû au bruit. En effet, le signal bruité s+b étant ramené à puissance unitaire, la puissance moyenne du signal utile est légèrement inférieure (cf. équation (3)), et le biais introduit est de . Ce biais diminue lorsque le RSB augmente (cf. équation (2)). Il est donc moins important pour les constellations MAQ d’ordre élevé car on exige dans ce cas un fort RSB. Pour les PSK, le RSB exigé sera plus faible et le biais de l’estimateur de l’amplitude sera plus important, mais ce ceci n’est pas gênant car les points de constellation sont tous de même module, donc la décision d’un point de constellation ne sera pas faussée par le biais.

6 Compensation de phase sur les symboles OFDM démodulés

6.1 Nécessité de la compensation en phase

Premièrement, le canal assimilé à un gain complexe sur la durée d’un symbole OFDM provoque une rotation de phase dans le domaine fréquentiel, laquelle rotation se répercute sur les informations complexes issues de la FFT de démodulation.

Deuxièmement, lors de cette démodulation, les imprécisions de synchronisation fréquentielle et temporelle entraînent sur les symboles une dérive de phase constante sur l’axe des fréquences et sur l’axe des temps.

En effet, une erreur de synchronisation fréquentielle de n0 Δf entraîne une dérive de phase de _temp 2n₀f T_S constante sur l’axe des temps symboles. De même une erreur de

Justification des dérives temporelle et fréquentielle

Un symbole OFDM utile, au temps symbole k, s’écrit {Sk,0, …, Sk, N-1} avec :

Supposons un décalage des bins de FFT de (n0 Δf) pour la synchronisation fréquentielle, et pour la synchronisation temporelle un décalage de l0 échantillons empiétant dans l’extension cyclique de chaque symbole mais pas au delà. Nous avons alors :

  

Points de constellation obtenus après la FFT de démodulation

En passant du symbole k au symbole k+1, la dérive temporelle sur chaque sous-porteuse devient : temp  f



l N



 



fl 



 fl







~temp

2 modulo 2

1 2

2 _{0 0 0}

Ainsi, les symboles complexes issus des symboles OFDM démodulés ont subi une rotation de phase, que l’on peut représenter ainsi dans le plan temps fréquence :

temp freq

n

k  n  k 

 _,  _0,0    (1) avec n : indice fréquentiel,

k : indice temporel.

A cette dérive de phase, s’ajoute en réalité un bruit de phase dû au phénomène de Jitter, à l’effet Doppler, au bruit de phase de la réponse en fréquence du canal et au bruit thermique.

6.2 Algorithme du gradient dans le plan temps fréquence 6.2.1 Convergence sur la constellation

Nous allons utiliser un algorithme du gradient qui consiste à compenser en phase de manière itérative les informations complexes représentées dans le plan temps fréquence.

Notre critère à minimiser sera le module carré de la différence entre le symbole reçu compensé en phase et le symbole décidé à partir du symbole compensé, selon le type constellation utilisée pour moduler l’information (M-PSK, M-QAM,…). Il s’agit donc de trouver pour chaque symbole reçu cR, la correction de phase φ qui le rapproche le plus d’un point décidé cD sur la constellation. Pour chaque information reçue correspondant au temps symbole k et à la sous-porteuse n, l’erreur à minimiser est donc :

 



k^décidén



reçu n k décidé j

n k reçu

n k décidé

n k reçu j

n k n

k c e c c c Re e c conjc

E ^kn _, ² _, ^{2 kn} _{, ,}

2 , ,

,

,

,    2  



 ^{ }

Afin de conserver le caractère itératif de l’algorithme du gradient, nous avons choisi arbitrairement de corriger la phase sur chaque temps symbole k en faisant plusieurs passes aller retour sur les bins de fréquence n jouant le rôle de l’indice d’itération.

Il était également possible d’inverser les axes temps et fréquence et de converger sur chaque sous-porteuse n en faisant plusieurs passes aller retour sur les temps symboles k jouant alors le rôle d’indice d’itération de l’algorithme du gradient. Ce traitement porteuse par porteuse, qui nécessite de disposer de la séquence entière afin de pouvoir regrouper les échantillons par porteuses, ne peut s’effectuer qu’en temps différé. Par ailleurs, il est moins bien adapté au cas d’un canal à fortes variations temporelles.

Il semble en effet plus judicieux d’opter pour la première solution, car le temps de convergence sur un axe augmente avec le nombre d’échantillons disponibles sur cet axe et nous traitons généralement des signaux dont le nombre de porteuses est inférieur au nombre de temps symboles (443 temps symboles et 39 porteuses). De plus, cette solution est plus adaptée à un traitement au fil de l’eau. En effet, le traitement temps symbole par temps symbole correspond à l’ordre d’arrivée des échantillons démodulés (FFT suivie d’une

conversion parallèle série). Notons toutefois un inconvénient de cette solution : dans le cas d’un canal de propagation à plusieurs trajets, avec des variations importantes d’une porteuse à l’autre, on peut avoir un fading au milieu du symbole (constitué des composantes fréquentielles d’un symbole OFDM), ce qui peut gêner la compensation de phase sur l’ensemble du symbole.

La dérivée de l’erreur Ek,n par rapport à la correction de phase φk,n s’écrit :

Lors d’une passe aller sur un temps symbole, l’indice d’itération évolue dans le sens des indices de fréquences croissantes. La boucle d’ordre 1 de l’algorithme du gradient classique s’écrit donc :

Lors de la passe retour, l’indice d’itération évolue dans le sens des indices des fréquences décroissantes :



soit :

A chaque itération, la boucle d’ordre 2 (mise à jour de la correction et du résidu de phase) est suivie de la compensation en phase du symbole reçu, du calcul du critère d’erreur et de sa

La convergence sur un symbole s’effectue donc par une succession de passes aller et retour (fréquences croissantes et décroissantes), avec arrêt de la procédure lorsque l’erreur quadratique moyenne sur le symbole est inférieure à un certain seuil (cf. annexe 9.4.3). Ce qui nous donne l’algorithme suivant :

Tant que (EQMk > seuil) {

passe aller sur le symbole numéro k ; passe retour sur le symbole numéro k ;



^ gradient, lequel s’arrête, soit après convergence (EQMk < seuil), soit après un nombre fixe de passes aller retour, et on garde le Δφfreq qui a fourni la plus petite EQMk, avec k=0. On retient à l’issue des différents tests, le Δφ optimal et également la correction de phase 

obtenue sur la 1^ère sous-porteuse. On obtient alors une meilleure convergence sur le 1^er symbole en déroulant les passes aller retour à partir des valeurs obtenues Δφfreq et 0,0 comme résidu fréquentiel et correction de phases initiaux (cf. annexe 9.4.1).

Apres convergence sur le 1^er symbole, on cherche à converger sur le 2^ème symbole avec pour correction de phase initiale sur la 1^ère porteuse, celle obtenue sur la 1^ère porteuse du 1^er symbole après convergence.

On poursuit ainsi la procédure avec pour correction phase initiale sur la 1^ère porteuse du k^ième symbole, celle obtenue après convergence sur le symbole numéro k-1 toujours sur la 1^ère

On poursuit ainsi la procédure avec pour correction phase initiale sur la 1^ère porteuse du k^ième symbole, celle obtenue après convergence sur le symbole numéro k-1 toujours sur la 1^ère

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