Implémentation du krigeage

Dans l’objectif d’utiliser la méthode AK-MCS pour la résolution des problèmes fiabilistes, il est nécessaire d’utiliser un code de calcul permettant de réaliser une interpolation par krigeage. Parmi les codes de calculs disponibles, il existe des solutions telles que GSLIB (Geostatistical Software LIBrary) très populaire dans le monde de la géostatistique, ou encore HPGL (High Performance Geostatistics Library) qui a la particularité d’utiliser une interface Python. La limite des codes issues de la géostatistique est que la dimension du système étudié ne peut dépasser 3 (dimension de l’espace physique), ce qui est limitant pour le domaine de la mécanique.

Il existe aussi des codes plus généraux qui permettent de réaliser un krigeage quelle que soit la dimension du système et donc le domaine d’utilisation. Le code DACE semble être régulièrement utilisé et cité dans des articles de références [Kaymaz 05, Kleijnen 09]. De

la même manière que FERUM, ce code dépend de la plateforme Matlabr_{. Il n’est donc}

pas possible de l’utiliser dans cette étude. Un code de krigeage écrit en python a donc été développé.

Comme décrit au chapitre précédent, l’interpolation par krigeage est réalisée en deux étapes. Dans un premier temps il faut évaluer les paramètres σ et θ décrivant la struc- ture de dépendance, au moyen de l’analyse variographique. Dans un second temps, pour chaque point à interpoler, les coefficients d’interpolation λ sont calculés, permettant ainsi l’estimation de la valeur et de la variance de la fonction en ce point.

4.1.2.1 Analyse variographique

Pour rappel, le semi-variogramme γ (h) est défini comme la demi-variance de tout ac- croissement δ (x + h) de δ (x), avec δ (x) la partie stochastique du processus gaussien :

Y (x) = µ (x) + δ (x) (4.1)

La construction du semi-variogramme expérimental se base sur le plan d’expérience, com- posé de nexp points x(i) et des évaluations correspondantes y(i) = y



x(i). La première action est de constituer les ensembles N (h) de paires de points distants de h. En pratique, on regroupe plutôt les paires de points dont la distance est comprise dans un intervalle h_{± ǫ. De plus, d’après Arnaud et Emery [Arnaud 00], le semi-variogramme expérimental} n’étant plus fiable pour de grandes valeurs de h, il est préconisé de se limiter à la moitié de la distance maximale entre les points x(i) _:

hmax = 1 2max   x (i) − x(j)   (4.2) avec i, j ∈ {1, . . . , nexp}.

Les points du semi-variogramme expérimental se construisent donc selon l’estimateur suivant : ˆγ (h) = 1 2 |N (h ± ǫ)| X N(h±ǫ)  yx(i)_{− y}x(j)2 (4.3) avec N (h ± ǫ) = n

(i, j) tel que   x (i)_{− x}(j) = h ± ǫ o et |N (h ± ǫ)| le nombre de couples distincts de N (h ± ǫ). Enfin pour prendre en compte toutes les paires de points, il faut que l’ensemble des zones couvertes par les hk± ǫ soit [0, hmax]. Pour cela, la tolérance ǫ

est définie selon ǫ = hmax

expérimental. Les l points hk se définissent donc par :

hk = (2k − 1) ǫ = (2k − 1)

hmax

2l (4.4)

Le semi-variogramme expérimental étant construit, il faut identifier les paramètres σ et θ de la forme analytique choisie γ (h) (exponentielle ou gaussienne). Ce problème d’i- dentification est résolu par minimisation de l’estimateur des moindres carrés, en utilisant l’algorithme de Levenberg-Marquardt. Une fois le semi-variogramme identifié γ (h), il est utilisé pour l’estimation par krigeage des points non évalués. L’implémentation du pro- cessus d’analyse variographique est décrit sur la figure 4.1.

Figure 4.1 – Représentation du processus d’analyse variographique

Dans la description ci-dessus, le modèle est considéré isotrope, cet à dire que la structure de dépendance caractérisée par le semi-variogramme est indépendante de la direction. Il est aussi possible de considérer le krigeage anisotrope, dans ce cas il faut identifier un variogramme par direction observée. Dans ce travail, la structure de dépendance sera considérée isotrope.

4.1.2.2 Estimation par krigeage

Maintenant que le semi-variogramme est identifié, il est possible d’estimer la valeur de la fonction y au point x(0) _{non évalué, suivant la relation :}

ˆy x(0)=  γ+ WWTΓ−1W−1w_{− W}TΓ−1γ T Γ−1_{Y (4.5)}

ainsi que sa variance de krigeage :

σ2_kx(0)= γTΓ−1γ₋w_{− W}TΓ−1γT WTΓ−1W−1w_{− W}TΓ−1γ (4.6) Pour cela il faut construire la matrice des fonctions de tendances des points d’expérience Wij = wj



x(i), le vecteur de tendance au point à estimer wi = wi



x(0), la matrice de demi-variance entre les points d’expérience Γij = γ

  x (i)_{− x}(j)   , et le vecteur de demi-variance entre le point à estimer et les points d’expériences γi = γ

  x (i)_{− x}(0)   .

Figure 4.2 – Représentation du processus d’interpolation par krigeage développé Il est intéressant de noter que pour l’évaluation d’une série de points, les matrices W , Γ−1

et 

WT_Γ−1_W−1

sont à évaluer un seule fois, et l’effort de calcul revient à la construc- tion des vecteurs w et γ, et à une série de produits matriciels. Finalement, l’algorithme d’interpolation par krigeage d’une population de points non échantillonnés peut se décrire comme sur la figure 4.2.

4.1.2.3 Exemple de mise en oeuvre

y(x) = x3+ (x − 2)2+ x + 2 (4.7) et un plan d’expérience composé de 7 points x(i) _{∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}.}

Figure 4.3 – Illustration d’un exemple d’identification du semi-variogramme Dans ces conditions, les paramètres du semi-variogramme gaussien normé sont identifiés et valent σ = 1, 21 et θ = 0, 82 (figure 4.3).

Figure 4.4 – Illustration d’un exemple d’interpolation par krigeage

L’interpolation par krigeage qui découle de ce variogramme et des points d’expérience est illustrée dans la figure 4.4. En plus de l’estimation ˆy (x), il est possible de construire un intervalle de confiance (à 95% dans ce cas) grâce à l’évaluation de la variance de krigeage σk(x). C’est cet intervalle qui est utilisé dans les méthodes numériques basées sur le

krigeage. Dans le cas de l’AK-MCS, elle permet de déterminer le point le plus pertinent pour enrichir le plan d’expérience.

Il est intéressant de noter que l’estimation par krigeage n’est plus bonne lorsque l’on sort du domaine défini par le plan d’expérience, c’est à dire pour x < −3 et x > 3. Cela s’explique par le fait que x s’éloigne de la zone d’influence des points d’observation, et donc que les poids associés υ tendent vers 0. Ainsi, l’estimation tend vers la moyenne du processus gaussien et la variance de krigeage vers la variance du même processus. Cette particularité est à prendre en compte lors de la détermination du domaine d’étude et du plan d’expérience, et en particulier du premier plan lors de la mise en oeuvre de la méthode AK-MCS.