4.2 Fiabilité thermo-chimique
4.2.2 Étude de sensibilité aux paramètres de la fonction de performance
Parmi l’ensemble des paramètres du modèle thermo-chimique de ModER, sept d’entre eux sont reconnus potentiellement influants sur la température du fluide procédé et le rendement. Ces paramètres sont : le débit massique d’entrée de l’eau Dmeau, le débit
massique d’entrée du thiosulfate de sodium Dmthio., le débit massique d’entrée du perox-
yde d’hydrogène Dmperox., la température d’entrée du fluide procédé Tin, la température
du fluide utilité Tu, le coefficient de convection du fluide utilité hc et enfin la conductivité
thermique du carbure de silicium λ.
Afin de réduire la taille du système à étudier, une étude de sensibilité autour de la moyenne de fonctionnement est menée pour comparer l’influence des paramètres sur les fonctions de performance G1 et G2. Pour déterminer les sensibilités à chacun des paramètres xi
autour du point moyen de fonctionnement µ, la méthode des différences finies centrées est utilisée : ∂Gj(x) ∂xi µ ≈ Gj(µi+ ∆xi2∆x) − Gj(µi− ∆xi) i (4.11) L’équation 4.11 fait intervenir un pas ∆xi pour chaque direction du système. Ce pas doit
être choisi suffisamment petit pour tendre vers la valeur réelle de la dérivée mais assez grand pour percevoir une variation lors de l’estimation numérique. Ici, il est défini comme ∆xi = µi.10−3. Pour gagner en précision, le critère de convergence de ModER sur la
fonction densité de flux FT (s) est défini par E = 0, 1 mW.mm−2. De plus, pour limiter le
nombre d’itérations, la densité de flux est initialisée à FTµ, la densité de flux d’équilibre
au point moyen µ. L’étude nécessite donc 14 évaluations du modèle thermo-chimique, soit environ 1 heure de calcul sur un mono processeur. Les sensibilités de chaque fonction de performance aux différents paramètres sont exposés dans le tableau 4.1.
Dmeau Dmperox. Dmthio. Tin Tu hc λ
G1 46, 6 −295 −145 −2, 98 −2, 88 0, 0 0, 0
G2 11, 3 −3, 38 −3, 69 −9, 07 −7, 01 0, 0 0, 0
Table 4.1 – Sensibilités des fonctions de performances thermo-chimiques autour du point moyen de fonctionnement
Comme il n’est pas possible de comparer l’influence des paramètres par l’analyse di- recte des sensibilités, il est nécessaire d’évaluer les élasticités correspondantes εj,i =
µi Gj(µ) ∂Gj(x) ∂xi
µ. Ainsi, les figures 4.6a et 4.6b permettent de hiérarchiser directement l’im- portance des paramètres pour les fonctions de performance G1 et G2.
(a) (b)
Figure 4.6 – Élasticités des paramètres des fonctions de performance G1(a) et G2(b)
autour du point moyen de fonctionnement
L’analyse des élasticités montre la prépondérance du débit d’eau Dmeau par rapport
aux autres paramètres. Bien que d’élasticité plus faible, les sensibilités des deux autres débits Dmthio. et Dmperox. ainsi que des températures Tin et Tu ne sont pas négligeables.
Par contre, il est intéressant de noter que les sensibilités aux paramètres hc et λ, et,
par conséquent, les élasticités associées, sont nulles. En fait, la perturbation infligée par la différence finie n’est pas suffisante pour percevoir une variation dans le résultat du modèle ModER. En d’autres termes, la fonction densité de flux satisfaisant l’équilibre thermo- chimique au point moyen de fonctionnement satisfait aussi l’équilibre au point perturbé, et ce même après avoir diminué le critère de convergence.
L’analyse des sensibilités et des élasticités permet aussi de qualifier les paramètres. Ainsi, le débit d’eau tend à faire augmenter G1 et diminuer G2, ce qui, d’un point de vue
physique, est tout à fait réaliste puisque l’augmentation de ce débit dilue le mélange, et par conséquent limite la réactivité, l’exothermie et donc la température maximale (G1), mais
limite aussi le rendement (G2). À l’inverse, l’augmentation des débits des réactifs concentre
température maximale et du rendement. Enfin de la même manière l’augmentation des températures d’entrée du fluide procédé et du fluide utilité active la réaction. Finalement le problème revient bien à optimiser la valeur des paramètres pour maximiser le rendement tout en limitant le pic de température.
4.2.3 Choix des variables aléatoires pour l’étude fiabiliste
Le choix des paramètres à prendre en compte comme variables aléatoires est une étape importante permettant de limiter la taille du système à résoudre. Une nouvelle variable représente un nombre de calculs supplémentaires non négligeable, surtout si les gradients, lors de la recherche du point de conception par exemple, sont calculés par différences finies. À contrario, considérer une variable déterministe peut sensiblement modifier le résultat du calcul fiabiliste s’il s’avère que son impact n’est pas négligeable.
L’étude de sensibilité précédemment réalisée permet de classifier l’importance des paramètres sur les fonctions de performance, mais seulement autour du point moyen de fonction- nement. L’hypothèse forte réalisée consiste à dire que l’ordre de classement mais aussi l’importance relative des paramètres, en se basant sur leur élasticité, reste le même dans tout le domaine d’étude. Dans ce cas, le coefficient de convection hc et la conductiv-
ité thermique du SiC λ sont considérés déterministes. Par contre, même si pour G1 les
paramètres Dmperox. et Dmthio. semblent légèrement moins influents, ils seront malgré
tout considérés comme des variables aléatoires.
Le système est donc composé de 5 variables aléatoires : Dmeau, Dmperox., Dmthio., Tin et
Tu. Comme peu d’informations statistiques sont disponibles sur ces variables, leur distri-
bution est considérée normale, de moyenne égale à la valeur du point de fonctionnement optimal. Ne disposant pas d’informations contradictoires, les variables sont aussi consid- érées indépendantes. La valeur des écart-types est choisie suivant les informations fournies par les industriels du secteur. Pour les débits, les pompes d’alimentation ont un intervalle de confiance de ±2%, et si on considère qu’il représente ±2σ, alors l’écart-type de chacun des débits est égal à 1% de leur moyenne. Concernant la température des fluides, une estimation majorée de l’écart-type est utilisée, et dans les deux cas ce dernier est pris égal à 2, 5°C. Finalement le tableau 4.2 reprend les paramètres (moyennes µ et écart-types σ) des distributions normales représentant chaque variable aléatoire considérée, et ce pour chacune des fonctions de performance G1 et G2.
Dmeau Dmperox. Dmthio. Tin Tu
µ 4, 01 0, 189 0, 416 50, 0 40, 0
σ 4, 01.10−2 1, 89.10−3 4, 16.10−3 2, 5 2, 5
Table 4.2 – Paramètres des distributions normales des variables aléatoires du modèle thermo-chimique (débits en kg.h−1 et températures en °C)