K.T. Wong a proposé une approche basée sur l’estimateur par produit vectoriel à partir d’une antenne vectorielle composée de six éléments spatialement répartis [79]. L’utilisation de la tech-nique DHS permet de prendre en compte la répartition spatiale des éléments, à partir de l’opéra-teurC+, en plus des couplages inter-éléments. Ainsi, le champ EM est directement recomposé au centre de l’antenne, à condition que le nombre de capteurs soit suffisant. En effet, plus la taille de l’antenne augmente, plus l’ordre des modes sphériques rayonnantsNs est élevé. Pour résoudre le système linéaire (II.47) deM équations à Nh inconnues, la conditionM ≥ Nh doit être respectée. Ainsi, siM ≤Nh, le champ EM (E0,H0) recomposé à partir dea−est erroné.
Quatre topologies ont été choisies arbitrairement pour faire l’objet d’une étude paramétrique.
Nous avons simulé leur précision d’estimation en utilisant cette approche et en augmentant la distance de séparation, notéed, dans le but d’analyser les effets de la taille de l’antenne sur les performances. La figure II.8 montre les quatre architectures d’antennes analysées, composées de dipôles élémentaires, non couplés.
(a) (b) (c) (d)
FigureII.8 – Topologies des antennes vectorielles simulées, composées de trois dipôles élec-triques élémentaires orthogonaux et de trois dipôles magnétiques élémentaires orthogonaux.
Techniques de traitement adaptées aux antennes vectorielles 51
Pour chaque topologie, l’erreur d’estimation est calculée dans l’ensemble de l’espace 3D. La figure II.13 donne l’erreur maximale obtenue en fonction de la distance d, normalisée par la longueur d’ondeλ.
FigureII.9 – Distance angulaire maximale de l’erreur d’estimationΔa(φ, θ) en fonction ded/λ pour quatre topologies A,B,C et D.
Parmi ces quatre topologies d’antennes, les résultats de simulation montrent que la topologie A est la plus performante, permettant d’atteindre une meilleure précision d’estimation que les trois autres. Cependant, on constate que quelque soit l’antenne, plus la distance d augmente, plus l’erreur d’estimation est importante. Ces erreurs sont causées par la non prise en compte de la composante spatiale avec la méthode DHS (limitation au mode sphérique fondamental, M =6)
Pour analyser la cause de ces erreurs, nous traçons la répartition d’amplitude normalisée des harmoniques sphériques dans les deux modes TEr et TMr, notéeNTEp,qr et NTMp,qr, contribuant au rayonnement du champEet du champ Het calculée à partir des composantes deC+associées à la topologie A : deux modes, les répartitions d’amplitude sont identiques en raison de la séparation équidistance et symétrique des capteurs électriques et magnétiques (cf. figure II.8a).
FigureII.10 – Répartition des amplitudes des harmoniques sphériques contribuant au rayonne-ment du champEpourd=0 (bleu),d= 0.1λ(vert) etd =0.2λ(rouge).
FigureII.11 – Répartition des amplitudes des harmoniques sphériques contribuant au rayonne-ment du champHpourd= 0 (bleu),d =0.1λ(vert) etd= 0.2λ(rouge).
Techniques de traitement adaptées aux antennes vectorielles 53
Le nombre maximal d’harmoniques pouvant être prises en compte lors de la recomposition du champ EM enOest deNh = M. Dans le cas de l’antenne vectorielle à six éléments, cette limite est deNh= 6 ce qui signifie que les harmoniques incluses dans la recomposition du champ sont d’ordre 1 (mode fondamental). Cependant, l’ordre maximal Ns des modes sphériques contri-buant significativement au rayonnement, augmente en fonction de d (cf. figure II.10 et figure II.11), et ceci indépendamment de la topologie d’antennes. On constate donc que les antennes ne comportent pas suffisamment de capteurs pour considérer les harmoniques d’ordre supé-rieur à 1 qui, dans le cas étudié, se propagent en raison de la répartition spatiale appliquée aux éléments rayonnants. Par conséquent, l’information apportée par ces harmoniques d’ordre su-périeur est négligée, provoquant une mauvaise recomposition du champ enOet donc une erreur d’estimation.
Afin d’évaluer quelle topologie d’antennes est la plus performante en termes de précision d’esti-mation, on utilise généralement la borne de Cramer Rao définie en (I.10). Cependant, cette borne n’est applicable que pour des estimateurs non biaisés. Or, on constate que si le nombre d’har-moniques est supérieur à celui des capteurs, l’estimateur par produit vectoriel devient biaisé (cf.
figure II.13) empêchant l’utilisation de la borne de Cramer Rao.
Ainsi, sans aller jusqu’à l’estimation de la précision angulaire qui peut être coûteuse en temps de calcul, un critère, noté ηe, basé sur la connaissance de la matrice C+, a été établi. Il résulte de la décomposition en valeurs singulières deC+donnée ci-après :
C+ =UΣV =
où ui et vi correspondent respectivement aux ième vecteurs singuliers gauche et droite et σ1 σ2 . . . σM sont les valeurs singulières deM+. Il consiste à calculer le rapport entre la moyenne des valeurs singulières de M+, qui représente la quantité de puissance moyenne rayonné par les M premières harmoniques sphériques et la valeur de conditionnement de M+ représentant la sensibilité de l’estimation de direction d’arrivée au petite variation en sortie d’antennes :
ηe= Σ¯
cond(Σ) (II.53)
Σ¯ est la moyenne des valeurs singulières de M+etcond(Σ) son conditionnement. Un critère de référence ηeRe f peut être utilisé pour comparer l’efficacité relative d’estimation entre plusieurs topologies d’antennes :
ηeN = ηe
ηeRe f (II.54)
La figure II.12 montre le critèreηeN pour les quatre topologies d’antennes précédemment simu-lées (cf. figure II.8), en prenant comme référence, l’antenne à six éléments colocalisés.
Le critère obtenu pour chaque configuration d’antennes est cohérent avec les erreurs d’estima-tion maximales (cf. figure II.13). Plus la distance augmente, plus la précision d’estimad’estima-tion est dégradée. Malgré cette dégradation de performances, on constate que la topologie A reste celle qui offre la meilleure précision d’estimation.
FigureII.12 – Critère d’efficacité d’estimation relative à l’antenne composée de six éléments colocalisés en fonction ded/λpour quatre topologies A,B,C et D.
Cette étude préliminaire montre que les estimations sont plus précises avec une antenne à élé-ments colocalisés ce qui, dans le cadre de notre étude, est intéressant afin de réponse aux critères de compacité. Cependant, cette approche n’a pas encore été évaluée avec des antennes réalistes en présence de couplage mutuel et d’éventuelles perturbations de rayonnement. Il est donc né-cessaire de vérifier les bonnes performances de cette méthode avant de confirmer son intérêt.