L'imagerie du tenseur de diusion (DTI : Diusion Tensor

L'imagerie du tenseur de diusion (DTI,  diusion tensor imaging ) repose sur le fait que, dans le cerveau, la diusion des molécules d'eau se fait de manière ani-sotrope et, plus particulièrement, dans la direction des bres de substance blanche. Ce que nous appelons dans la suite tenseur de diusion est une matrice 3 × 3 sy-métrique, dénie positive, représentant la mobilité des molécules dans un milieu anisotrope (on se ramène au cas isotrope lorsque la matrice est l'identité). Voyons d'abord le modèle puis les interprétations possibles de la DTI.

182 Annexe B. L'Imagerie par Résonance Magnétique : IRM B.3.3.1 Modèle

Le modèle du tenseur de diusion se base sur les lois de Fick, notamment :

J =−D∇C, (B.10)

qui relie le ux J (de diusion des particules d'une espèce chimique A dans un milieu B) avec le coecient de diusion D (de A dans le milieu B) et ∇C est le gradient de la concentration (de A) du milieu C, ∇ est l'opérateur gradient. En prenant de plus en compte la loi de conservation de la masse :

∂C

∂t ⁼−∇ · J, (B.11)

on obtient la formule :

∂C

∂t ⁼∇ · (D∇C) = D∇²C. (B.12)

Il a été montré que cette relation est équivalente à : ∂P (R, τ)

∂t ^{= D}∇²P (R, τ), (B.13)

où P (R, τ) est la probabilité qu'une molécule d'eau se déplace d'une distance R durant la période τ. Si l'on considère que le mouvement de la molécule est gaussien, une solution de cette dernière équation est donnée par :

P (x + R/x, τ) = √ ¹ (4πτ )3∥D∥^exp ( −RTD(x)−1R 4τ ) . (B.14)

D est ici le tenseur de diusion, x un vecteur de position, R la matrice de déplace-ment à partir du vecteur de position, et T est la transposée.

Une fois les équations établies, nous pouvons estimer la valeur du tenseur de diusion et ce, à l'aide des caractéristiques d'atténuation du signal vues précédem-ment (équation (B.8)). On peut montrer que la diusion le long d'une direction peut s'exprimer en fonction du tenseur de diusion :

D =RTD(x)R. (B.15)

Il en résulte que pour estimer les six paramètres libres de la matrice symétrique du tenseur de diusion, il sut de mesurer l'atténuation du signal dans six directions non parallèles, puis de résoudre le système suivant :

A_i = exp(−bxT

i Dxi), i = 1, . . . , 6, (B.16) où les xisont les directions d'application du gradient. On remarque que D est inver-sible car les vecteurs choisis sont non colinéaires. Ce modèle nous amène également au fait que pour obtenir une matrice de tenseur, nous avons besoin d'au moins six directions de gradients diérentes, et d'une image non pondérée en diusion (b = 0), souvent appelée image b0, qui est une image pondérée en T2.

B.3. L'IRM de diusion (IRMd) 183 B.3.3.2 Interprétations

La DTI donne accès aux caractéristiques locales, et non globales, des bres de substance blanche, il faut donc évaluer les tenseurs de diusion en chaque voxel du volume du cerveau. La matrice explicative D comporte six degrés de liberté. An d'étudier cette matrice, il faut la diagonaliser et prendre en compte ses valeurs propres et vecteurs propres. Notons λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 les valeurs propres et e1, e2, e3 les vecteurs propres correspondants. Avec ce modèle, il est assez évident de voir que, dans un milieu isotrope, les trois valeurs propres sont égales et, dans un milieu anisotrope, le vecteur e1 est en fait la direction supposée correcte des bres en chaque voxel (gureB.6).

Figure B.6  Tenseur de diusion, visualisation du principal vecteur propre de D et donc de la direction locale des bres, coupe sagittale, image réalisée en utilisant le logiciel FSL

À partir des caractéristiques locales de la matrice D, nous pouvons avoir une idée de la représentation des bres et ce, de plusieurs façons diérentes. La première est l'étude de la fraction d'anisotropie (FA) du système [Basser et al. 1994], voir gureB.7 (gauche) : FA= √ 3 2 √∑ i(λ_i− λ)2 ∑ iλ2 i , (B.17)

où λ est la moyenne des valeurs propres. La FA est comprise entre 0 et 1 et, plus on est proche de 1, plus la diusion est importante (on se situe alors dans l'axe d'un

184 Annexe B. L'Imagerie par Résonance Magnétique : IRM faisceau de bres). La FA mesure la déviation de D par rapport au tenseur isotrope (matrice identité).

Un autre critère souvent utilisé pour visualiser l'anisotropie du cerveau est la diusion moyenne ou MD ( Mean diusivity ) :

M D = ¹

3^Tr(D), (B.18)

où Tr(D) est la trace du tenseur D (c'est la somme des valeurs propres).

Figure B.7  Vue axiale d'une image de la fraction d'anisotropie à gauche, et du coecient de diusion apparent à droite, mêmes coupes, images réalisées avec le logiciel anatomist.

B.3.3.3 Limites

L'imagerie du tenseur de diusion est la première technique mise en ÷uvre an de modéliser de manière locale la direction des bres de substance blanche dans le cerveau. Les avantages de cette technique sont le peu de paramètres nécessaires et l'utilisabilité en routine clinique (applications cliniques courantes). Mais cette petite révolution connaît cependant des limites. En eet, nous supposons que le modèle de mouvement des molécules d'eau est gaussien pour résoudre la dérivée partielle (voir équation (B.14)), modèle qui suppose que la diusion est libre, or ce n'est pas le cas. De plus, le fait que l'on ne se base que sur six directions est une contrainte importante, ne permettant pas de visualiser des croisements de bres. Or, la taille des voxels étant souvent de 2 mm dans les directions x, y et z, ce qui est très grossier, et la taille des bres étant beaucoup plus faible (de l'ordre du µm), cela implique que nous ne travaillons pas bre par bre mais par faisceaux de bres, plus ou moins gros. Les croisements sont sûrement nombreux au sein d'un voxel et ne seront pas visibles. Ce problème se nomme eet de volume partiel. De plus, en général, lorsque l'on utilise la DTI, on ne prend en compte que le vecteur propre correspondant à la

B.4. Un bref état de l'art de la tractographie 185